4.2 4.2.6 Funciones hiperbólicas

ci-4-2-6 4.2.6 Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se originan a partir de la descomposición canónica de la función exponencial $ e^x $ en su parte impar y su parte par:

Seno hiperbólico: Es la parte impar de la exponencial y se define para todo $$ x \in \mathbb{R} $$ como

$$ \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $$

Su dominio es $ \operatorname{Dom}(\sinh) = \mathbb{R} $ y su imagen abarca toda la recta real $ \operatorname{Im}(\sinh) = \mathbb{R} $. Es estrictamente creciente y una función impar: $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $

Coseno hiperbólico: Es la parte par de la exponencial y se define para todo $$ x \in \mathbb{R} $$ como

$$ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$

Su dominio es $ \operatorname{Dom}(\cosh) = \mathbb{R} $ y su imagen está restringida a los números reales mayores o iguales que uno: $ \operatorname{Im}(\cosh) = [1, +\infty) $, alcanzando su mínimo absoluto en $ x = 0 $ con $ \cosh(0) = 1 $. Es una función estrictamente par: $ \cosh(-x) = \cosh(x) $

📝 Ejemplo: de valores hiperbólicos: Evaluamos en $ x = 0 $: $ \sinh(0) = \frac{e^0 - e^0}{2} = 0 $ y $ \cosh(0) = \frac{e^0 + e^0}{2} = 1 $. En $ x = \ln(2) $:

$$ \sinh(\ln 2) = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}, \qquad \cosh(\ln 2) = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} $$

A partir de estas dos se definen las restantes cuatro funciones hiperbólicas:

- Tangente hiperbólica: $$ \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} $$, con dominio $ \mathbb{R} $ e imagen acotada $ (-1, 1) $. Posee dos asíntotas horizontales: $ y = 1 $ cuando $ x \to +\infty $ y $ y = -1 $ cuando $ x \to -\infty $

- Cotangente hiperbólica: $ \coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} $, con dominio $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ e imagen $ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $

- Secante hiperbólica: $$ \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} $$, con dominio $ \mathbb{R} $ e imagen $ (0, 1] $

- Cosecante hiperbólica: $$ \operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} $$, con dominio e imagen $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $

📝 Ejemplo: de tangente hiperbólica:

Para $ x = 1 $, $$ \tanh(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{e^1 + e^{-1}} = \frac{e^2 - 1}{e^2 + 1} \approx \frac{7.389 - 1}{7.389 + 1} \approx 0.7616 $$

La denominación "hiperbólica" proviene de la analogía geométrica directa con la hipérbola equilátera $ X^2 - Y^2 = 1 $. Así como las coordenadas de un punto en la circunferencia goniométrica $ X^2 + Y^2 = 1 $ vienen dadas por $ (\cos t, \sin t) $, las coordenadas de la rama derecha de una hipérbola equilátera están parametrizadas por $ (X, Y) = (\cosh t, \sinh t) $

En efecto, se satisface la Identidad Fundamental Hiperbólica:

$$ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

📝 Ejemplo: de comprobación analítica de la identidad fundamental:

$$ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$

Otras identidades algebraicas hiperbólicas fundamentales (análogas a las circulares, con variaciones de signos debidas a la regla de Osborn):

Tangente hiperbólica: $$ 1 - \tanh^2(x) = \operatorname{sech}^2(x) $$

Suma y diferencia de argumentos

$$ \sinh(a \pm b) = \sinh(a)\cosh(b) \pm \cosh(a)\sinh(b) $$

$$ \cosh(a \pm b) = \cosh(a)\cosh(b) \pm \sinh(a)\sinh(b) $$

Argumento doble

$$ \sinh(2x) = 2\sinh(x)\cosh(x), \qquad \cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2\cosh^2(x) - 1 = 1 + 2\sinh^2(x) $$

📝 Ejemplo: de aplicación física (La Catenaria): Una cadena o cable homogéneo flexible de densidad lineal uniforme suspendido entre dos apoyos bajo la acción exclusiva de la gravedad adopta de forma natural la forma de una curva catenaria, descrita matemáticamente por la ecuación $ y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) $, donde el parámetro $ a = \frac{T_0}{\rho g} $ representa la relación entre la tensión mecánica horizontal y el peso por unidad de longitud

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Resolver la ecuación hiperbólica y hallar todas sus soluciones reales exactas:

$$ 2\cosh(x) - \sinh(x) = 2 $$

👉 PASO 1

Sustituimos las definiciones exponenciales de $ \cosh(x) $ y $ \sinh(x) $:

$$ 2\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 2 $$

👉 PASO 2

Simplificamos los términos:

$$ (e^x + e^{-x}) - \frac{e^x - e^{-x}}{2} = 2 $$

Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

$$ 2(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x}) = 4 \implies 2e^x + 2e^{-x} - e^x + e^{-x} = 4 $$

$$ e^x + 3e^{-x} = 4 $$

👉 PASO 3

Multiplicamos toda la igualdad por $ e^x $ aprovechando que jamás se anula:

$$ (e^x)^2 + 3 = 4e^x \implies (e^x)^2 - 4e^x + 3 = 0 $$

👉 PASO 4

Realizamos el cambio de variable $ u = e^x > 0 $:

$$ u^2 - 4u + 3 = 0 \implies (u - 1)(u - 3) = 0 $$

Las raíces son:

$$ u_1 = 1, \qquad u_2 = 3 $$

👉 PASO 5

Deshacemos el cambio de variable tomando logaritmos neperianos:

- Para $ u_1 = 1 $: $ e^x = 1 \implies x_1 = \ln(1) = 0 $

- Para $ u_2 = 3 $: $ e^x = 3 \implies x_2 = \ln(3) $

✅ Conclusión

Las soluciones reales de la ecuación son $ x = 0 $ y $ x = \ln(3) \approx 1.0986 $

📝 Ejemplo 2 Demostrar formalmente mediante inducción o álgebra de potencias la fórmula de De Moivre para funciones hiperbólicas:

$$ (\cosh(x) + \sinh(x))^n = \cosh(nx) + \sinh(nx) \quad \forall n \in \mathbb{Z} $$

👉 PASO 1

Sumamos las definiciones analíticas fundamentales de $ \cosh(x) $ y $ \sinh(x) $:

$$ \cosh(x) + \sinh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{2e^x}{2} = e^x $$

👉 PASO 2

Elevamos la expresión a la potencia entera $ n \in \mathbb{Z} $:

$$ (\cosh(x) + \sinh(x))^n = (e^x)^n = e^{nx} $$

👉 PASO 3

Expresamos la exponencial $ e^{nx} $ en términos de las funciones hiperbólicas evaluadas en el múltiplo angular $ nx $:

$$ \cosh(nx) + \sinh(nx) = \frac{e^{nx} + e^{-nx}}{2} + \frac{e^{nx} - e^{-nx}}{2} = \frac{2e^{nx}}{2} = e^{nx} $$

👉 PASO 4

Comparando el resultado del Paso 2 y del

👉 Paso 3

$$ (\cosh(x) + \sinh(x))^n = e^{nx} = \cosh(nx) + \sinh(nx) $$

✅ Conclusión

La identidad hiperbólica análoga a la fórmula de De Moivre queda plenamente probada para todo número real $ x $ y cualquier exponente entero $ n $

📝 Ejemplo 3 Resolver el sistema simultáneo de dos ecuaciones hiperbólicas para las variables reales $ x $ e $ y $:

$$ \begin{cases} \cosh(x + y) = 5 \\ \cosh(x - y) = 3 \end{cases} $$

determinando los valores exactos de $ \cosh(x)\cosh(y) $ y $ \sinh(x)\sinh(y) $

👉 PASO 1

Recordamos las fórmulas de adición para el coseno hiperbólico:

$$ \cosh(x + y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y) = 5 $$

$$ \cosh(x - y) = \cosh(x)\cosh(y) - \sinh(x)\sinh(y) = 3 $$

👉 PASO 2

Sumamos ambas ecuaciones lineales respecto a los bloques $ U = \cosh(x)\cosh(y) $ y $ V = \sinh(x)\sinh(y) $:

$$ (U + V) + (U - V) = 5 + 3 \implies 2U = 8 \implies U = 4 $$

Por tanto:

$$ \cosh(x)\cosh(y) = 4 $$

👉 PASO 3

Restamos la segunda ecuación de

la primera:

$$ (U + V) - (U - V) = 5 - 3 \implies 2V = 2 \implies V = 1 $$

Por tanto:

$$ \sinh(x)\sinh(y) = 1 $$

👉 PASO 4

Comprobamos la consistencia física con la identidad fundamental:

$$ \cosh^2(x)\cosh^2(y) - \sinh^2(x)\sinh^2(y) = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15 $$

Como $ \cosh(u) \ge 1 $, el producto $ \cosh(x)\cosh(y) = 4 \ge 1 $ es perfectamente compatible.

✅ Conclusión

Los valores exactos de los productos hiperbólicos son $ \cosh(x)\cosh(y) = 4 $ y $ \sinh(x)\sinh(y) = 1 $

📝 Ejemplo 4 Demostrar la identidad de la tangente hiperbólica de la suma de dos argumentos:

$$ \tanh(a + b) = \frac{\tanh(a) + \tanh(b)}{1 + \tanh(a)\tanh(b)} $$

y justificar brevemente su conexión con la ley de composición relativista de velocidades de Einstein en física moderna.

👉 PASO 1

Escribimos la tangente hiperbólica por su definición en cociente:

$$ \tanh(a + b) = \frac{\sinh(a + b)}{\cosh(a + b)} $$

👉 PASO 2

Desarrollamos el numerador y el denominador mediante las fórmulas del argumento suma:

$$ \tanh(a + b) = \frac{\sinh(a)\cosh(b) + \cosh(a)\sinh(b)}{\cosh(a)\cosh(b) + \sinh(a)\sinh(b)} $$

👉 PASO 3

Dividimos tanto el numerador como el denominador entre el término no nulo $ \cosh(a)\cosh(b) $:

$$ \tanh(a + b) = \frac{\frac{\sinh(a)\cosh(b)}{\cosh(a)\cosh(b)} + \frac{\cosh(a)\sinh(b)}{\cosh(a)\cosh(b)}}{\frac{\cosh(a)\cosh(b)}{\cosh(a)\cosh(b)} + \frac{\sinh(a)\sinh(b)}{\cosh(a)\cosh(b)}} $$

👉 PASO 4

Simplificamos cada una de las cuatro fracciones resultantes:

$$ \tanh(a + b) = \frac{\frac{\sinh(a)}{\cosh(a)} + \frac{\sinh(b)}{\cosh(b)}}{1 + \frac{\sinh(a)}{\cosh(a)}\frac{\sinh(b)}{\cosh(b)}} = \frac{\tanh(a) + \tanh(b)}{1 + \tanh(a)\tanh(b)} $$

👉 PASO 5

Conexión relativista: En la Teoría de la Relatividad Especial, la rapidez de una partícula se define como el parámetro hiperbólico $ \theta $ tal que la velocidad normalizada es $ \frac{v}{c} = \tanh(\theta) $. Al componer dos transformaciones de Lorentz colineales con rapideces $ \theta_1 $ y $ \theta_2 $, las rapideces se suman linealmente $ \theta = \theta_1 + \theta_2 $, y la velocidad resultante obedece exactamente esta fórmula:

$$ \frac{v}{c} = \tanh(\theta_1 + \theta_2) = \frac{\frac{v_1}{c} + \frac{v_2}{c}}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} \implies v = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} $$

✅ Conclusión

La identidad hiperbólica queda demostrada y proporciona el fundamento matemático exacto de la composición relativista de velocidades en la física moderna.

📝 Ejemplo 5 Calcular el límite indeterminado cuando $ x \to 0 $ que involucra funciones hiperbólicas y trigonométricas circulares:

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{\cosh(x) - \cos(x)}{x \sinh(x)} $$

👉 PASO 1

Evaluamos el límite directamente:

$$ \frac{\cosh(0) - \cos(0)}{0 \cdot \sinh(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} $$

👉 PASO 2

Recordamos los desarrollos en serie de potencias de Maclaurin de orden 2 para cada una de las funciones intervinientes en el entorno de $ x = 0 $:

- Para el coseno hiperbólico: $ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) $

- Para el coseno circular: $ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) $

- Para el seno hiperbólico: $ \sinh(x) = x + o(x) \implies \sinh(x) \sim x $

👉 PASO 3

Restamos los desarrollos del numerador:

$$ \cosh(x) - \cos(x) = \left(1 + \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + o(x^2) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = x^2 + o(x^2) $$

👉 PASO 4

Analizamos el denominador sustituyendo el equivalente infinitesimal $ \sinh(x) \sim x $:

$$ x \sinh(x) \sim x(x) = x^2 $$

👉 PASO 5

Sustituimos en el límite y calculamos:

$$ L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 $$

✅ Conclusión

El valor del límite es exactamente $ L = 1 $