5.2 5.2.6 Derivada de la función inversa

5.2.6 Derivada de la función inversa

Condiciones de existencia y diferenciabilidad local

Sea $ f: I \to J $ una función continua y estrictamente monótona (creciente o decreciente) en un intervalo abierto $ I $. En virtud del Teorema de la Función Inversa Continua, admite una función inversa unívoca $ g = f^{-1}: J \to I $ que también es continua y estrictamente monótona del mismo tipo en $ J = f(I) $

Por definición de inversa, se verifica la identidad de composición:

$$ f(f^{-1}(y)) = y \quad \forall y \in J $$

Si $ f $ es derivable en el punto $ x_0 \in I $ y su derivada no se anula ($ f'(x_0) e 0 $), la función inversa $ f^{-1} $ es automáticamente derivable en el punto correspondiente $ y_0 = f(x_0) \in J $

Teorema de la derivada de la función inversa y deducción

Derivamos respecto a $ y $ ambos miembros de la identidad fundamental $ f(f^{-1}(y)) = y $ aplicando la Regla de la Cadena:

$$ \frac{d}{dy}[f(f^{-1}(y))] = \frac{d}{dy}[y] \implies f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1 $$

Despejando la derivada de la función inversa:

$$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{donde } y = f(x) $$

En la notación diferencial de Leibniz, la fórmula adopta una forma intuitiva de cociente recíproco:

$$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $$

Interpretación geométrica y cálculo práctico

Geométricamente, la gráfica de la función inversa $ y = f^{-1}(x) $ es la curva simétrica de la gráfica de $ y = f(x) $ respecto a la bisectriz del primer cuadrante ($ y = x $).

Si la recta tangente a la curva original en $ (x_0, y_0) $ tiene pendiente $ m = f'(x_0) $, la recta tangente a la gráfica de la inversa en el punto reflejado $ (y_0, x_0) $ tiene por pendiente el valor recíproco $ m' = \frac{1}{m} $

📝 Ejemplo:

Deducción de la derivada de la función logaritmo natural $ g(y) = \ln(y) $ como inversa de la exponencial $ f(x) = e^x $

Como $ f'(x) = e^x $ y $ x = \ln(y) $:

$$ (\ln)'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} $$

📝 Ejemplo 1 Deducir rigurosamente la fórmula de la derivada de la función arcoseno $ y = \arcsin(x) $ para $ x \in (-1, 1) $ utilizando el Teorema de la Derivada de la Función Inversa

👉 PASO 1

La función directa es $ x = f(y) = \sin(y) $ definida en el intervalo fundamental de biyectividad $$ y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$

👉 PASO 2

Calculamos la derivada de la función directa respecto a $ y $:

$$ f'(y) = \frac{dx}{dy} = \cos(y) $$

👉 PASO 3

Por el teorema de la función inversa:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos(y)} $$

👉 PASO 4

Debemos expresar el resultado exclusivamente en función de la variable original $ x $

Utilizamos la identidad pitagórica fundamental:

$$ \cos^2(y) + \sin^2(y) = 1 \implies \cos(y) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

👉 PASO 5

Determinamos el signo analizando el intervalo de definición:

Como $$ y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$, el ángulo pertenece al primer o cuarto cuadrante, donde el coseno es estrictamente positivo ($ \cos(y) > 0 $).

Por tanto, elegimos obligatoriamente el signo positivo:

$$ \cos(y) = +\sqrt{1 - x^2} $$

👉 PASO 6

Sustituimos en la derivada inversa:

$$ \frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \forall x \in (-1, 1) $$

✅ Conclusión

Queda demostrada de manera constructiva y exacta la fórmula de la derivada del arcoseno.

📝 Ejemplo 2 Deducir rigurosamente la fórmula de la derivada de la función argumento tangente hiperbólica $ y = \operatorname{argtanh}(x) $ para $ x \in (-1, 1) $

👉 PASO 1

La función directa es la tangente hiperbólica:

$$ x = f(y) = \tanh(y) \quad \text{con } y \in \mathbb{R} $$

👉 PASO 2

Calculamos la derivada de la función directa respecto a $ y $:

$$ f'(y) = \frac{dx}{dy} = \operatorname{sech}^2(y) = 1 - \tanh^2(y) $$

👉 PASO 3

Aplicamos el teorema de la función inversa:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{1 - \tanh^2(y)} $$

👉 PASO 4

Sustituimos la ligadura directa $ \tanh(y) = x $:

$$ \frac{d}{dx}[\operatorname{argtanh}(x)] = \frac{1}{1 - x^2} \quad \forall x \in (-1, 1) $$

✅ Conclusión

La derivada es exactamente $$ \frac{d}{dx}[\operatorname{argtanh}(x)] = \frac{1}{1 - x^2} $$

📝 Ejemplo 3 Dada la función trascendente estrictamente creciente $ f(x) = 2e^x + x^3 + x - 1 $, calcular el valor exacto de la derivada de su función inversa en el punto $ y_0 = 1 $, es decir, $ (f^{-1})'(1) $

👉 PASO 1

Verificamos que la función es biyectiva analizando su derivada:

$$ f'(x) = 2e^x + 3x^2 + 1 $$

Como $ e^x > 0 $, $ 3x^2 \ge 0 $ y $ 1 > 0 $, se cumple:

$$ f'(x) \ge 2(0) + 0 + 1 = 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

Por tanto, la función es estrictamente creciente en todo $ \mathbb{R} $ y admite función inversa derivable.

👉 PASO 2

Buscamos la preimagen $ x_0 $ que genera el valor $ y_0 = 1 $ resolviendo:

$$ f(x_0) = 1 \implies 2e^{x_0} + x_0^3 + x_0 - 1 = 1 \implies 2e^{x_0} + x_0^3 + x_0 - 2 = 0 $$

👉 PASO 3

Probamos el valor entero elemental $ x_0 = 0 $:

$$ 2e^0 + 0^3 + 0 - 2 = 2(1) - 2 = 0 $$

Como la función es estrictamente monótona, la solución es única: $ x_0 = 0 $

👉 PASO 4

Evaluamos la derivada directa en el punto $ x_0 = 0 $:

$$ f'(0) = 2e^0 + 3(0)^2 + 1 = 2(1) + 0 + 1 = 3 $$

👉 PASO 5

Aplicamos el teorema de la derivada de la función inversa:

$$ (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3} $$

✅ Conclusión

La derivada de la función inversa en $ y_0 = 1 $ es exactamente $ (f^{-1})'(1) = \frac{1}{3} $

📝 Ejemplo 4 Calcular la segunda derivada de la función inversa $ (f^{-1})''(y_0) $ para la función del Ejemplo 3 en el mismo punto $ y_0 = 1 $

👉 PASO 1

Deducimos la fórmula de la segunda derivada de la función inversa derivando respecto a $ y $ la expresión de la primera derivada:

$$ (f^{-1})'(y) = [f'(x)]^{-1} \quad \text{donde } x = f^{-1}(y) $$

👉 PASO 2

Derivamos respecto a $ y $ aplicando la regla de la cadena:

$$ (f^{-1})''(y) = \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{f'(x)} \right) = -\frac{1}{[f'(x)]^2} \cdot \frac{d}{dy}[f'(x)] = -\frac{1}{[f'(x)]^2} \cdot f''(x) \cdot \frac{dx}{dy} $$

👉 PASO 3

Sustituimos $ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)} $:

$$ (f^{-1})''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} $$

👉 PASO 4

Del Ejemplo 3 sabemos que para $ y_0 = 1 $, el punto correspondiente es $ x_0 = 0 $ con $ f'(0) = 3 $

Calculamos la segunda derivada directa $ f''(x) $:

$$ f'(x) = 2e^x + 3x^2 + 1 \implies f''(x) = 2e^x + 6x $$

Evaluamos en $ x_0 = 0 $:

$$ f''(0) = 2e^0 + 6(0) = 2(1) = 2 $$

👉 PASO 5

Sustituimos los valores numéricos en la fórmula general deducida en el

👉 Paso 3

$$ (f^{-1})''(1) = -\frac{f''(0)}{[f'(0)]^3} = -\frac{2}{3^3} = -\frac{2}{27} $$

✅ Conclusión

La segunda derivada de la función inversa en $ y_0 = 1 $ es exactamente $ (f^{-1})''(1) = -\frac{2}{27} $

📝 Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función inversa $ g(x) = f^{-1}(x) $ de la función cúbica $ f(x) = x^3 + 4x - 2 $ en el punto cuya abscisa es $ x = 3 $

👉 PASO 1

CUIDADO con la notación: Se nos pide la recta tangente a la función inversa $ g = f^{-1} $ en la abscisa del dominio de la inversa $ y_0 = 3 $

El punto de contacto sobre la gráfica de la función inversa es $ (3, g(3)) = (3, x_0) $

👉 PASO 2

Hallamos la ordenada $ x_0 = g(3) = f^{-1}(3) $ resolviendo la ecuación directa:

$$ f(x_0) = 3 \implies x_0^3 + 4x_0 - 2 = 3 \implies x_0^3 + 4x_0 - 5 = 0 $$

Por inspección evidente, la raíz real es:

$$ x_0 = 1 $$

Por tanto, el punto de tangencia sobre la gráfica de la función inversa es $ P(3, 1) $

👉 PASO 3

Calculamos la derivada de la función directa:

$$ f'(x) = 3x^2 + 4 $$

Evaluamos en el punto $ x_0 = 1 $:

$$ f'(1) = 3(1)^2 + 4 = 3 + 4 = 7 $$

👉 PASO 4

La pendiente de la recta tangente a la función inversa en el punto $ P(3, 1) $ es el valor recíproco:

$$ m = g'(3) = (f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{7} $$

👉 PASO 5

Escribimos la ecuación de la recta tangente en la forma punto-pendiente:

$$ y - 1 = \frac{1}{7}(x - 3) \implies 7(y - 1) = x - 3 \implies 7y - 7 = x - 3 $$

$$ x - 7y + 4 = 0 \iff y = \frac{1}{7}x + \frac{4}{7} $$

✅ Conclusión

La ecuación de la recta tangente a la función inversa en la abscisa 3 es $$ y - 1 = \frac{1}{7}(x - 3) \iff x - 7y + 4 = 0 $$