4.2 4.2.1 Funciones polinómicas
4.2.1 Funciones polinómicas
Definición y forma canónica de una función polinómica
Una función polinómica de grado \( n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \) es una expresión de la forma:
$$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad (a_n e 0) $$
donde los coeficientes \( a_i \in \mathbb{R} \) son números reales y \( a_n \) es el coeficiente principal o director.
El dominio de cualquier función polinómica es todo el conjunto de los números reales: \( \operatorname{Dom}(P) = \mathbb{R} \)
La función \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \) es una función polinómica de grado 3 con coeficiente principal \( a_3 = 2 \) y término independiente \( a_0 = -7 \). Está definida y es continua y derivable en todo \( \mathbb{R} \)
Teoremas del Resto y del Factor
La divisibilidad de polinomios se apoya en dos teoremas algebraicos fundamentales:
Al dividir un polinomio \( P(x) \) por el binomio mónico lineal \( (x - c) \), el resto de la división es una constante idéntica al valor numérico del polinomio evaluado en \( c \):
Un número real \( c \) es raíz o cero del polinomio (\( P(c) = 0 \)) si y solo si el binomio \( (x - c) \) divide exactamente a \( P(x) \), de modo que:
Consideremos el polinomio \( P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \). Evaluamos en \( c = 2 \):
Como el resto es cero, \( c = 2 \) es una raíz y por tanto \( (x - 2) \) es un factor de \( P(x) \). Dividiendo por Ruffini obtenemos $$ P(x) = (x - 2)(x^2 - 2x - 3) = (x - 2)(x - 3)(x + 1) $$
Multiplicidad de raíces e intersección con el eje de abscisas
Una raíz \( c \) tiene multiplicidad \( k \in \mathbb{N} \) si \( (x - c)^k \) divide a \( P(x) \) pero \( (x - c)^{k+1} \) no lo divide.
El comportamiento geométrico depende de la paridad de \( k \):
- Multiplicidad Impar: La gráfica del polinomio atraviesa efectivamente el eje horizontal de abscisas.
- Multiplicidad Par: La gráfica hace contacto tangente con el eje horizontal sin llegar a cruzarlo (rebota).
En la función \( P(x) = (x - 1)^2 (x + 3)^3 \), la raíz \( x = 1 \) tiene multiplicidad par \( k = 2 \), por lo que la gráfica es tangente al eje y rebota en \( (1, 0) \). La raíz \( x = -3 \) tiene multiplicidad impar \( k = 3 \), por lo que la gráfica cruza el eje horizontal con tangencia de inflexión en \( (-3, 0) \)
Factorización irreducible sobre los números reales
Sobre el cuerpo de los números reales \( \mathbb{R} \), el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que todo polinomio con coeficientes reales se descompone de forma única como producto de una constante, factores lineales \( (x - c) \) (raíces reales) y factores cuadráticos irreducibles \( (x^2 + px + q) \) con discriminante estrictamente negativo \( p^2 - 4q < 0 \) (raíces complejas conjugadas).
El polinomio bicuadrado \( P(x) = x^4 - 16 \) se descompone por diferencia de cuadrados sucesiva:
El factor cuadrático \( x^2 + 4 \) es irreducible en \( \mathbb{R} \) porque no tiene raíces reales (\( \Delta = -16 < 0 \)).
Comportamiento asintótico en el infinito
Cuando \( |x| \to \infty \), el término de mayor grado \( a_n x^n \) domina por completo sobre todos los demás sumandos:
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas (salvo los polinomios de grado 1, cuyas asíntotas son ellos mismos); poseen ramas parabólicas divergentes en los extremos.
Por el teorema del factor, ser divisible por \( (x - 2) \) significa que \( P(2) = 0 \), y ser divisible por \( (x + 3) \) significa que \( P(-3) = 0 \)
Planteamos la primera ecuación evaluando en \( x = 2 \):
Planteamos la segunda ecuación evaluando en \( x = -3 \):
Dividiendo entre 3: \( 10 - 9a - b = 0 \implies 9a + b = 10 \)
Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales por reducción restando la primera de
la segunda:
Sustituyendo en
la primera: \( b = -4a = -4(2) = -8 \)
El polinomio resulta ser \( P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 \)
Factorizamos el polinomio dividiendo sucesivamente por sus factores conocidos \( (x - 2) \) y \( (x + 3) \) mediante la regla de Ruffini:
- Dividiendo entre \( (x - 2) \) obtenemos el cociente \( x^3 + 4x^2 + x - 6 \)
- Dividiendo este cociente entre \( (x + 3) \) obtenemos \( x^2 + x - 2 \)
Las raíces del cociente cuadrático son:
Los parámetros son \( a = 2 \) y \( b = -8 \), y la factorización completa es \( P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2) \)
Identificamos los ceros del polinomio y sus respectivas multiplicidades:
- \( x = -2 \) con multiplicidad par \( k = 2 \)
- \( x = 1 \) con multiplicidad impar \( k = 3 \)
- \( x = 3 \) con multiplicidad impar \( k = 1 \)
Los ceros dividen la recta real en cuatro intervalos abiertos:
Observamos que el factor \( (x + 2)^2 \ge 0 \) es estrictamente positivo para todo \( x \ne -2 \), por lo que no influye en los cambios de signo en los intervalos.
El signo depende exclusivamente de \( (x - 1)^3 (3 - x) \):
- En \( (-\infty, -2) \): probando en \( x = -3 \), \( (-4)^3(6) = (-64)(6) < 0 \)
- En \( (-2, 1) \): probando en \( x = 0 \), \( (-1)^3(3) = -3 < 0 \)
- En \( (1, 3) \): probando en \( x = 2 \), \( (1)^3(1) = 1 > 0 \)
- En \( (3, +\infty) \): probando en \( x = 4 \), \( (3)^3(-1) = -27 < 0 \)
Para que \( P(x) \ge 0 \), seleccionamos los intervalos donde el polinomio es estrictamente positivo e incorporamos todos los puntos donde se anula (\( x = -2, 1, 3 \)).
El conjunto de soluciones de la inecuación es \( S = \{-2\} \cup [1, 3] \)
Observamos que el polinomio no tiene raíces reales, pues \( x^4 + 4 \ge 4 > 0 \) para todo número real.
Sumamos y restamos el término cuadrático \( 4x^2 \) para formar un trinomio cuadrado perfecto:
Agrupamos el trinomio como el cuadrado de un binomio:
Reescribimos la expresión completa:
Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) con \( A = x^2 + 2 \) y \( B = 2x \):
Verificamos los discriminantes de ambos factores cuadráticos:
- Para \( x^2 - 2x + 2 \): \( \Delta_1 = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 \)
- Para \( x^2 + 2x + 2 \): \( \Delta_2 = (2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 \)
Ambos factores son estrictamente irreducibles en \( \mathbb{R} \)
La factorización en factores irreducibles reales es \( P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \)
Un polinomio mónico tiene coeficiente principal \( a_n = 1 \)
La condición de que los coeficientes pertenezcan a \( \mathbb{R} \) exige que si un número complejo no real \( z_0 = a + bi \) es raíz, su complejo conjugado \( \bar{z}_0 = a - bi \) también debe ser raíz con la misma multiplicidad.
Como \( z = 1 + 2i \) es raíz, su conjugado \( \bar{z} = 1 - 2i \) también es raíz obligatoria.
El factor cuadrático real asociado a este par de raíces conjugadas es:
Incorporamos las raíces reales especificadas en el enunciado:
- Raíz doble en \( x = 0 \implies x^2 \)
- Raíz simple en \( x = -1 \implies (x + 1) \)
Multiplicamos todos los factores irreducibles:
Desarrollamos el producto de los dos últimos polinomios:
Distribuimos el término \( x^2 \):
El polinomio mónico buscado es de grado 5 y su expresión desarrollada es \( P(x) = x^5 - x^4 + 3x^3 + 5x^2 \)
Por el algoritmo de la división de polinomios, existen polinomios cociente \( Q(x) \) y resto \( R(x) \) tales que:
Como el divisor \( D(x) = x^2 - 1 \) tiene grado 2, el grado del resto debe ser estrictamente menor que 2, por lo que adopta la forma lineal general:
Factorizamos el divisor como \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Sus raíces son \( x = 1 \) y \( x = -1 \)
Evaluamos la identidad en \( x = 1 \) para anular el término que contiene al cociente:
Calculamos numéricamente \( P(1) \) a partir de la definición de \( P(x) \):
Por tanto: \( A + B = -4 \)
Evaluamos la identidad en \( x = -1 \):
Calculamos numéricamente \( P(-1) \):
Por tanto: \( -A + B = -14 \)
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones lineales:
Sumando ambas ecuaciones:
Restando la segunda ecuación de
la primera:
El resto de la división es el polinomio lineal \( R(x) = 5x - 9 \)