4.3 4.3.1 Límites

4.3.1 Límites

Definición formal de límite: criterio épsilon-delta de Cauchy

Decimos que el límite de una función $ f(x) $ cuando $ x $ tiende a un punto de acumulación $ x_0 $ es igual a un número real $ L \in \mathbb{R} $, y escribimos $ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $, si para todo radio de tolerancia $ \varepsilon > 0 $ existe una distancia de proximidad $ \delta > 0 $ tal que:

$$ 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon $$

Es fundamental recalcar que el límite analiza el comportamiento de la función en las inmediaciones de $ x_0 $, independientemente de lo que ocurra exactamente en $ x = x_0 $ (de hecho, $ f(x_0) $ puede no existir).

📝 Ejemplo:

Demostremos que $ \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7 $. Dado $ \varepsilon > 0 $, acotamos la distancia:

$$ |f(x) - L| = |(2x + 1) - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < \varepsilon \iff |x - 3| < \frac{\varepsilon}{2} $$

Basta elegir $ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $. Para cualquier $ x $ tal que $ 0 < |x - 3| < \delta $, se garantiza que $ |(2x + 1) - 7| < \varepsilon $

Límites laterales y condición de existencia

El comportamiento direccional de una función se analiza mediante los límites laterales:

- Límite por la izquierda: $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L_1 $ (valores con $ x < x_0 $).

- Límite por la derecha: $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L_2 $ (valores con $ x > x_0 $).

📐 Teorema: de Existencia del Límite

El límite global $ \lim_{x \to x_0} f(x) $ existe si y solo si existen ambos límites laterales finitos y coinciden plenamente:

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L $$

📝 Ejemplo:

Para la función signo $ f(x) = \frac{x}{|x|} $ en el origen $ x_0 = 0 $:

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{-x} = -1 $$

Como los límites laterales son finitos pero distintos ($ 1 e -1 $), el límite global $ \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} $ no existe.

Límites infinitos y asíntotas verticales

Decimos que el límite de una función en un punto es infinito, $ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty $, si para cualquier cota real superior $ M > 0 $ existe $ \delta > 0 $ tal que si $ 0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M $

Cuando al menos uno de los límites laterales en un punto $ x_0 $ es $ +\infty $ o $ -\infty $, la recta vertical $ x = x_0 $ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

📝 Ejemplo:

Para la función racional $ f(x) = \frac{1}{x - 2} $, cuando $ x \to 2^+ $, el denominador es positivo y tiende a cero: $ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty $. Cuando $ x \to 2^- $, el denominador es negativo: $ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty $. La recta $ x = 2 $ es una asíntota vertical.

Límites en el infinito y asíntotas horizontales

El comportamiento asintótico en los extremos de la recta real se describe mediante:

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \; \exists K > 0 : x > K \implies |f(x) - L| < \varepsilon $$

Si este límite existe y es finito, la recta horizontal $ y = L $ es una asíntota horizontal de la gráfica hacia $ +\infty $

📝 Ejemplo:

Para la función racional fraccionaria $ f(x) = \frac{3x^2 + 5}{x^2 - 1} $:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 5}{x^2 - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3 $$

La recta horizontal $ y = 3 $ es una asíntota horizontal tanto hacia $ +\infty $ como hacia $ -\infty $

Álgebra de límites e indeterminaciones fundamentales

Si $ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $ y $ \lim_{x \to x_0} g(x) = M $ son límites finitos, se verifican las reglas de linealidad y producto: $ \lim (f \pm g) = L \pm M $, $ \lim (f \cdot g) = L \cdot M $, y si $ M e 0 $, $$ \lim \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{L}{M} $$

Cuando las operaciones directas involucran ceros o infinitos incompatibles, surgen las siete indeterminaciones clásicas del cálculo:

- Algebraicas: $ \frac{0}{0} $, $ \frac{\infty}{\infty} $, $ \infty - \infty $, $ 0 \cdot \infty $

- Exponenciales: $ 1^\infty $, $ 0^0 $, $ \infty^0 $

📝 Ejemplo 1 Calcular el límite indeterminado algebraico de tipo $ \frac{0}{0} $ mediante factorización de polinomios:

$$ L = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^4 - 2x^3 - x + 2} $$

👉 PASO 1

Evaluamos en el punto $ x = 2 $:

- Numerador: $ 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 $

- Denominador: $ 2^4 - 2(2^3) - 2 + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0 $

Se trata de una indeterminación del tipo $ [0/0] $. Por el teorema del factor, $ (x - 2) $ divide exactamente a ambos polinomios.

👉 PASO 2

Factorizamos el numerador $ P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $ dividiendo entre $ (x - 2) $ por Ruffini:

El cociente obtenido es $ x^2 - x - 2 $

Factorizamos el trinomio: $ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $

Por tanto, el numerador es:

$$ x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)^2 (x + 1) $$

lo que muestra que $ x = 2 $ es una raíz de multiplicidad 2 en el numerador.

👉 PASO 3

Factorizamos el denominador $ Q(x) = x^4 - 2x^3 - x + 2 $ agrupando términos:

$$ x^3(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(x^3 - 1) $$

Descomponemos la diferencia de cubos $ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $:

$$ Q(x) = (x - 2)(x - 1)(x^2 + x + 1) $$

👉 PASO 4

Sustituimos ambas descomposiciones factoriales en la fracción:

$$ L = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)^2 (x + 1)}{(x - 2)(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

👉 PASO 5

Cancelamos el factor indeterminado común $ (x - 2) $ para $ x \ne 2 $:

$$ L = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

👉 PASO 6

Evaluamos sustituyendo $ x = 2 $:

$$ L = \frac{(2 - 2)(2 + 1)}{(2 - 1)(2^2 + 2 + 1)} = \frac{0 \cdot 3}{1 \cdot (4 + 2 + 1)} = \frac{0}{7} = 0 $$

✅ Conclusión

El valor del límite es $ L = 0 $

📝 Ejemplo 2 Calcular el límite irracional indeterminado que combina raíces de distinto índice:

$$ L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} $$

👉 PASO 1

Al evaluar en $ x = 1 $ obtenemos directamente la indeterminación $ [0/0] $

👉 PASO 2

Empleamos el método de cambio de variable unificador para eliminar simultáneamente ambos radicales.

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:

$$ \operatorname{mcm}(2, 3) = 6 $$

Efectuamos el cambio de variable:

$$ x = t^6 \quad \text{con } t > 0 $$

Cuando $ x \to 1 $, la nueva variable tiende a $ t \to \sqrt[6]{1} = 1 $

👉 PASO 3

Expresamos los radicales en términos de la nueva variable $ t $:

- Numerador: $ \sqrt{x} - 1 = \sqrt{t^6} - 1 = t^3 - 1 $

- Denominador: $$ \sqrt[3]{x} - 1 = \sqrt[3]{t^6} - 1 = t^2 - 1 $$

👉 PASO 4

Reescribimos el límite en términos de $ t $:

$$ L = \lim_{t \to 1} \frac{t^3 - 1}{t^2 - 1} $$

👉 PASO 5

Factorizamos la diferencia de cubos en el numerador y la diferencia de cuadrados en el denominador:

$$ t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1) $$

$$ t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1) $$

👉 PASO 6

Cancelamos el factor común $ (t - 1) $ y evaluamos en $ t = 1 $:

$$ L = \lim_{t \to 1} \frac{t^2 + t + 1}{t + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} $$

✅ Conclusión

El valor del límite es $ L = \frac{3}{2} $

📝 Ejemplo 3 Calcular el límite trigonométrico en un punto finito distinto de cero mediante traslación de variable:

$$ L = \lim_{x \to \pi/4} \frac{\cos(x) - \sin(x)}{1 - \tan(x)} $$

👉 PASO 1

Al evaluar directamente en $ x = \pi/4 $:

$$ \frac{\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)}{1 - \tan(\pi/4)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - 1} = \frac{0}{0} $$

👉 PASO 2

Expresamos la tangente del denominador en términos de senos y cosenos:

$$ 1 - \tan(x) = 1 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} $$

👉 PASO 3

Sustituimos esta expresión en la fracción principal:

$$ \frac{\cos(x) - \sin(x)}{1 - \tan(x)} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}} $$

👉 PASO 4

Como $ x \to \pi/4 $ con $ x \ne \pi/4 $, el factor $ \cos(x) - \sin(x) \ne 0 $, por lo que se cancela algebraicamente:

$$ \frac{(\cos x - \sin x) \cos(x)}{\cos x - \sin x} = \cos(x) $$

👉 PASO 5

Evaluamos el límite de la función resultante de forma directa:

$$ L = \lim_{x \to \pi/4} \cos(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

✅ Conclusión

El límite existe y su valor exacto es $ L = \frac{\sqrt{2}}{2} $

📝 Ejemplo 4 Calcular el límite que contiene la indeterminación de tipo potencia exponencial $ 1^\infty $:

$$ L = \lim_{x \to 0} \left( \cos x \right)^{1/x^2} $$

👉 PASO 1

Evaluamos directamente en $ x = 0 $:

$$ \lim_{x \to 0} \cos(x) = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty $$

👉 PASO 2

Transformamos la expresión exponencial mediante la identidad analítica $ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} $:

$$ L = \exp\left( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} \right) $$

👉 PASO 3

Para analizar el límite del exponente $ K = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} $, sumamos y restamos 1 en el argumento del logaritmo:

$$ \ln(\cos x) = \ln(1 + (\cos x - 1)) $$

Como $ \cos(x) - 1 \to 0 $ cuando $ x \to 0 $, aplicamos el equivalente logarítmico $ \ln(1 + u) \sim u $:

$$ \ln(\cos x) \sim \cos(x) - 1 = -(1 - \cos x) $$

👉 PASO 4

Aplicamos el equivalente infinitesimal fundamental del coseno $ 1 - \cos(x) \sim \frac{x^2}{2} $:

$$ \ln(\cos x) \sim -\frac{x^2}{2} $$

👉 PASO 5

Sustituimos este equivalente en el exponente $ K $:

$$ K = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} $$

👉 PASO 6

Recuperamos el valor final del límite original:

$$ L = e^K = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} $$

✅ Conclusión

El valor del límite es $ L = \frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-1/2} $

📝 Ejemplo 5 Determinar si existe el límite multirrama en el origen y calcular los límites laterales:

$$ f(x) = \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} \quad \text{en } x_0 = 0 $$

👉 PASO 1

Analizamos el comportamiento de la función exponencial interna $ e^{1/x} $ distinguiendo si la aproximación se realiza por la derecha o por la izquierda.

👉 PASO 2

Calculamos el límite lateral por la derecha ($ x \to 0^+ $, con $ x > 0 $):

Cuando $ x \to 0^+ $, el exponente tiende a más infinito:

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \implies \lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty $$

Obtenemos una indeterminación del tipo $ [\infty/\infty] $. Para resolverla, dividimos numerador y denominador por el término dominante $ e^{1/x} $:

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} $$

Como $ e^{-1/x} \to 0 $:

$$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 $$

👉 PASO 3

Calculamos el límite lateral por la izquierda ($ x \to 0^- $, con $ x < 0 $):

Cuando $ x \to 0^- $, el exponente tiende a menos infinito:

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \implies \lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0 $$

Aquí no hay indeterminación alguna; evaluamos por sustitución directa:

$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 $$

👉 PASO 4

Comparamos ambos límites laterales:

$$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \ne -1 = \lim_{x \to 0^-} f(x) $$

✅ Conclusión

Los límites laterales son $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $ y $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 $. Al ser distintos, el límite global en el origen $ \lim_{x \to 0} f(x) $ no existe.