3.2 3.2 Definición y suma de una serie

3.2 Definición y suma de una serie

Sumas parciales y definición formal de serie convergente

Dada una sucesión de números reales $\{a_n\}_{n=1}^\infty \subset R $, una serie numérica es la suma formal de sus infinitos términos:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots $$

Sucesión de Sumas Parciales:

Para asignar un valor numérico riguroso a esta suma infinita, definimos la sucesión de sumas parciales $\{S_N\}_{N=1}^\infty $, donde cada término $S_N $ es la suma finita de los primeros $N $ términos de la serie:

$$S_N = \sum_{n=1}^N a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_N $$

📖 Definición: de Convergencia

Decimos que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n $ es convergente (o sumable) si y sólo si la sucesión de sumas parciales $\{S_N\} $ posee un límite finito $S \in R $ cuando $N \to \infty $:

$$S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n $$

Al número real $S $ se le llama suma de la serie.

- Si $\lim_{N \to \infty} S_N = \pm \infty $, la serie es divergente.

- Si $\lim_{N \to \infty} S_N $ no existe, la serie es oscilante (por ejemplo $\sum (-1)^n $, cuyas sumas parciales oscilan entre 0 y -1).

Condición necesaria de convergencia (Criterio del resto)

📐 Teorema: de la Condición Necesaria

Si la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n $ es convergente, entonces su término general tiende obligatoriamente a cero:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converge} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$

Demostración analítica:

El término general se puede expresar como la diferencia de dos sumas parciales consecutivas:

$$a_n = S_n - S_{n-1} $$

Tomando límites cuando $n \to \infty $:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim S_n - \lim S_{n-1} = S - S = 0 $$

Criterio de Divergencia (Contra-recíproco):

Si $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 $ (o no existe), la serie $\sum a_n $ diverge obligatoriamente.

¡ADVERTENCIA FUNDAMENTAL!: La condición $\lim a_n = 0 $ es estrictamente NECESARIA, pero NO ES SUFICIENTE.

Contraejemplo canónico (La Serie Armónica):

Para la serie armónica $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $, su término general tiende a cero: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $

Sin embargo, la serie armónica DIVERGE a $+\infty $

Álgebra lineal de series convergentes

Si las series $\sum_{n=1}^\infty a_n = A $ y $\sum_{n=1}^\infty b_n = B $ convergen, entonces:

Linealidad de la suma y resta

$$\sum_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n \pm \sum_{n=1}^\infty b_n = A \pm B $$

Homogeneidad (multiplicación por escalar)

$$\sum_{n=1}^\infty (c \cdot a_n) = c \sum_{n=1}^\infty a_n = c \cdot A, \quad \forall c \in R $$

Cálculo exacto: series geométricas y series telescópicas

Serie Geométrica:

$$\sum_{n=0}^\infty r^n = 1 + r + r^2 + \dots + r^n + \dots $$

- Si $|r| < 1 $, la serie converge y su suma es:

$$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 - r} \quad \text{y de forma general} \quad \sum_{n=k}^\infty a r^n = \frac{\text{primer término}}{1 - r} $$

- Si $|r| \ge 1 $, la serie diverge.

Serie Telescópica:

Una serie de la forma $\sum_{n=1}^\infty (b_n - b_{n+1}) $ colapsa por cancelación intermedia de sumandos adyacentes:

$$S_N = (b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + \dots + (b_N - b_{N+1}) = b_1 - b_{N+1} $$

Si existe el límite $\lim_{N \to \infty} b_{N+1} = B $, la serie converge a:

$$\sum_{n=1}^\infty (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{N \to \infty} b_{N+1} = b_1 - B $$

📝 Ejemplo 1 Suma exacta de una serie telescópica racional mediante fracciones simples

Cálculo de la suma de uno entre n por n más uno mediante descomposición fraccionaria

Calcular la suma exacta de la serie numérica telescópica fundamental:

$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots $$

👉 PASO 1

Descomposición en fracciones simples del término general.

Planteamos la partición fraccionaria:

$$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} $$

$$1 = A(n + 1) + Bn $$

Para $n = 0 \implies A = 1 $

Para $n = -1 \implies B = -1 $

Por tanto, el término general se escribe como diferencia de términos adyacentes:

$$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} $$

👉 PASO 2

Construcción de la suma parcial enésima S_N.

Escribimos la suma parcial de los primeros $N $ términos:

$$S_N = \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N + 1}\right) $$

Todos los términos intermedios se cancelan sucesivamente dos a dos:

$$S_N = 1 - \frac{1}{N + 1} $$

👉 PASO 3

Cálculo del límite de la sucesión de sumas parciales.

Tomamos el límite cuando $N \to \infty $:

$$S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{N + 1}\right) = 1 - 0 = 1 $$

✅ Conclusión

La serie telescópica es convergente y su suma total es exactamente $S = 1 $

📝 Ejemplo 2 Suma de una serie telescópica de salto doble con tres denominadores

Cancelación de sumandos con desfase de dos unidades en series telescópicas

Calcular la suma exacta de la serie numérica:

$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n + 2)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots $$

👉 PASO 1

Descomposición en fracciones simples.

$$\frac{1}{n(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 2} \implies 1 = A(n + 2) + Bn $$

Para $$n = 0 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} $$

Para $$n = -2 \implies -2B = 1 \implies B = -\frac{1}{2} $$

Por tanto:

$$a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) $$

👉 PASO 2

Desarrollo explícito de la suma parcial.

$$S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+2}\right) \right] $$

Observamos que todos los términos se cancelan excepto los dos primeros términos positivos y los dos últimos términos negativos:

$$S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2} \right) $$

👉 PASO 3

Paso al límite para hallar la suma.

$$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - 0 - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $$

✅ Conclusión

La serie converge y su suma exacta es $S = \frac{3}{4} = 0{,}75 $

📝 Ejemplo 3 Suma de una serie aritmética-geométrica combinada

Cálculo analítico multiplicando por la razón para reducir a serie geométrica pura

Calcular la suma exacta de la serie aritmético-geométrica:

$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \dots $$

👉 PASO 1

Planteamiento de la suma parcial.

Consideramos la suma parcial finita de los primeros $N $ términos:

$$S_N = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \dots + \frac{N}{2^N} $$

👉 PASO 2

Multiplicación por la razón 1/2 y resta miembro a miembro.

Multiplicamos toda la identidad por la razón $r = \frac{1}{2} $:

$$\frac{1}{2} S_N = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + \dots + \frac{N-1}{2^N} + \frac{N}{2^{N+1}} $$

Restamos miembro a miembro la segunda igualdad de

la primera:

$$S_N - \frac{1}{2} S_N = \frac{1}{2} + \left(\frac{2 - 1}{2^2}\right) + \left(\frac{3 - 2}{2^3}\right) + \dots + \left(\frac{N - (N-1)}{2^N}\right) - \frac{N}{2^{N+1}} $$

$$\frac{1}{2} S_N = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^N} \right) - \frac{N}{2^{N+1}} = \sum_{k=1}^N \frac{1}{2^k} - \frac{N}{2^{N+1}} $$

👉 PASO 3

Suma de la serie geométrica finita y cálculo del límite.

La suma geométrica interior tiene primer término $1/2 $ y razón $1/2 $:

$$\sum_{k=1}^N \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^N}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^N} $$

Por tanto:

$$\frac{1}{2} S_N = 1 - \frac{1}{2^N} - \frac{N}{2^{N+1}} \implies S_N = 2 - \frac{2}{2^N} - \frac{N}{2^N} $$

Tomamos el límite cuando $N \to \infty $. Por jerarquía de infinitos, $\lim \frac{N}{2^N} = 0 $:

$$S = \lim_{N \to \infty} S_N = 2 - 0 - 0 = 2 $$

✅ Conclusión

La serie aritmético-geométrica es convergente y su suma es exactamente $S = 2 $

📝 Ejemplo 4 Suma de series mediante descomposición lineal en sumas geométricas independientes

Separación de términos exponenciales combinados en el numerador

Calcular la suma exacta de la serie infinita:

$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n-1} + 2^{n+1}}{5^n} $$

👉 PASO 1

Descomposición fraccionaria en dos series independientes.

Separamos la fracción en la suma de dos términos exponenciales:

$$\frac{3^{n-1} + 2^{n+1}}{5^n} = \frac{3^{n-1}}{5^n} + \frac{2^{n+1}}{5^n} $$

Reescribimos cada término aislando la potencia común enésima:

$$\frac{3^{n-1}}{5^n} = \frac{3^{-1} \cdot 3^n}{5^n} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n $$

$$\frac{2^{n+1}}{5^n} = \frac{2^1 \cdot 2^n}{5^n} = 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n $$

👉 PASO 2

Cálculo de la suma de la primera serie geométrica.

Para la primera serie $$S_1 = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n $$:

Su primer término (evaluado en $n = 1 $) es $$a_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5} $$, y su razón es $r_1 = \frac{3}{5} < 1 $

$$S_1 = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{2} $$

👉 PASO 3

Cálculo de la suma de la segunda serie geométrica y suma total.

Para la segunda serie $$S_2 = 2 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n $$:

Su primer término es $a_2 = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} $, y su razón es $r_2 = \frac{2}{5} < 1 $

$$S_2 = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} $$

Por el álgebra lineal de series convergentes:

$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3 + 8}{6} = \frac{11}{6} $$

✅ Conclusión

La serie converge y su suma exacta es $S = \frac{11}{6} \approx 1{,}8333 $

📝 Ejemplo 5 Suma de una serie telescópica con logaritmos neperianos

Cancelación de cocientes logarítmicos consecutivos

Calcular la suma exacta de la serie infinita de términos logarítmicos:

$$S = \sum_{n=2}^\infty \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \sum_{n=2}^\infty \ln\left(\frac{n^2 - 1}{n^2}\right) $$

👉 PASO 1

Factorización del argumento del logaritmo.

Factorizamos el numerador como diferencia de cuadrados y el denominador como producto:

$$\frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n \cdot n} = \left(\frac{n - 1}{n}\right) \cdot \left(\frac{n + 1}{n}\right) $$

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

$$a_n = \ln\left( \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \right) = \ln\left(\frac{n-1}{n}\right) + \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = [\ln(n-1) - \ln n] + [\ln(n+1) - \ln n] $$

👉 PASO 2

Desarrollo de la suma parcial SN mediante cancelaciones telescópicas.

Escribimos la suma de los logaritmos como el logaritmo del producto total:

$$S_N = \sum_{n=2}^N \ln\left(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\right) = \ln\left( \prod_{n=2}^N \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \right) $$

Desarrollamos el producto término a término desde $n = 2 $ hasta $N $:

Para $n = 2 $: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} $

Para $n = 3 $: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} $

Para $n = 4 $: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} $

Para $n = N $: $\frac{N-1}{N} \cdot \frac{N+1}{N} $

Agrupamos los primeros factores y los segundos factores:

$$\prod_{n=2}^N \frac{n-1}{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{N-1}{N} = \frac{1}{N} $$

$$\prod_{n=2}^N \frac{n+1}{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{N+1}{N} = \frac{N+1}{2} $$

Multiplicando ambos resultados:

$$\prod_{n=2}^N \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{1}{N} \cdot \frac{N + 1}{2} = \frac{N + 1}{2N} $$

Por tanto, la suma parcial es:

$$S_N = \ln\left(\frac{N + 1}{2N}\right) $$

👉 PASO 3

Cálculo del límite de la suma parcial.

Tomamos el límite cuando $N \to \infty $:

$$S = \lim_{N \to \infty} \ln\left(\frac{N + 1}{2N}\right) = \ln\left( \lim_{N \to \infty} \frac{N + 1}{2N} \right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2) $$

✅ Conclusión

La serie telescópica logarítmica converge y su suma exacta es $S = -\ln(2) = \ln(1/2) \approx -0{,}693147 $