1.2 1.2.5 Completitud de ℝ

1.2.5 Completitud de ℝ

Cotas superiores, cotas inferiores y acotación

Sea $A \subset R $ un subconjunto no vacío de la recta real:

Cota Superior y Conjunto Acotado Superiormente:

Decimos que un número real $k \in R $ es una cota superior de $A $ si supera o iguala a todos los elementos del conjunto:

$$x \le k, \quad \forall x \in A $$

Si existe al menos una cota superior, se dice que el conjunto $A $ está acotado superiormente.

Cota Inferior y Conjunto Acotado Inferiormente:

Decimos que un número real $m \in R $ es una cota inferior de $A $ si es menor o igual que todos los elementos del conjunto:

$$m \le x, \quad \forall x \in A $$

Si existe al menos una cota inferior, se dice que el conjunto $A $ está acotado inferiormente.

Conjunto Acotado:

Un conjunto $A $ está acotado si y sólo si está acotado simultáneamente de forma superior e inferior.

Esto equivale a la existencia de una constante real $M > 0 $ tal que:

$$|x| \le M, \quad \forall x \in A $$

📝 Ejemplo conceptual:

El intervalo abierto $A = (2, 7) $ está acotado superiormente (por ejemplo por 7, 8, 10) e inferiormente (por 2, 0, -5).

Por tanto, es un conjunto acotado.

Supremo, ínfimo, máximo y mínimo

Supremo y Máximo:

Llamamos supremo de un conjunto acotado superiormente $A $, y lo denotamos $\sup(A) $, a la menor de todas sus cotas superiores:

- $\sup(A) $ es una cota superior: $x \le \sup(A), \; \forall x \in A $

2. Si $k $ es cualquier otra cota superior de $A $, entonces $\sup(A) \le k $

Caracterización épsilon del supremo:

$$\forall \epsilon > 0, \; \exists x \in A \quad \text{tal que} \quad x > \sup(A) - \epsilon $$

Si además el supremo pertenece al conjunto, $\sup(A) \in A $, se denomina máximo del conjunto: $\max(A) = \sup(A) $

Ínfimo y Mínimo:

Llamamos ínfimo de un conjunto acotado inferiormente $A $, denotado $\inf(A) $, a la mayor de todas sus cotas inferiores:

- $\inf(A) $ es una cota inferior: $\inf(A) \le x, \; \forall x \in A $

2. Si $m $ es cualquier otra cota inferior, entonces $m \le \inf(A) $

Caracterización épsilon del ínfimo:

$$\forall \epsilon > 0, \; \exists x \in A \quad \text{tal que} \quad x < \inf(A) + \epsilon $$

Si además el ínfimo pertenece al conjunto, $\inf(A) \in A $, se denomina mínimo del conjunto: $\min(A) = \inf(A) $

📝 Ejemplo: comparativo:

Para el intervalo $[3, 8) $:

$\inf = 3 $. Como $3 \in [3, 8) \implies \min = 3 $

$\sup = 8 $. Pero como $$8 \notin [3, 8) \implies \text{no existe máximo} $$

El axioma de completitud (o axioma del supremo)

El Axioma del Supremo es el postulado fundamental que diferencia a los números reales $R $ de los números racionales $Q $:

Todo subconjunto no vacío $A \subset R $ acotado superiormente posee un supremo que es un número real: $\sup(A) \in R $

De forma dual, todo subconjunto no vacío acotado inferiormente posee un ínfimo en $R $

¿Por qué falla en los números racionales?

El conjunto $$A = \{q \in Q : q > 0, \; q^2 < 2\} \subset Q $$ está acotado superiormente en $Q $ (por ejemplo por 2).

Sin embargo, su cota superior mínima es $\sqrt{2} $, que no es un número racional.

En $Q $ este conjunto no tiene supremo.

En $R $, gracias al axioma de completitud, $\sup(A) = \sqrt{2} \in R $. Los reales no tienen fisuras.

La propiedad arquimediana

Una consecuencia directa de la completitud de $R $ es la Propiedad Arquimediana:

El conjunto de los números naturales $N $ no está acotado superiormente en $R $

Formulaciones equivalentes:

1. Para cualquier número real $x \in R $, existe un número natural $n \in N $ tal que:

$$n > x $$

2. Para todo número real positivo $\epsilon > 0 $, existe un natural $n \in N $ tal que:

$$\frac{1}{n} < \epsilon $$

📝 Ejemplo:

Si $\epsilon = 0{,}0001 $, basta tomar $n = 10001 \in N $ para que $\frac{1}{10001} < 0{,}0001 $

Para índices impares ($$n = 2k - 1 $$)

$$(-1)^{2k-1} = -1 \implies b_{2k-1} = -1 + \frac{1}{2k - 1} $$

Los primeros términos impares son: $b_1 = -1 + 1 = 0 $, $$b_3 = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67 $$, $b_5 = -1 + \frac{1}{5} = -0{,}8 $, decreciendo estrictamente hacia - 1.

👉 PASO 2

Determinación del supremo y del máximo.

Todos los términos de la subsucesión par satisfacen:

$$b_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Todos los términos de la subsucesión impar son menores o iguales que 0:

$$b_{2k-1} \le 0 < \frac{3}{2} $$

Por tanto, el mayor valor alcanzado por cualquier elemento del conjunto es exactamente $\frac{3}{2} $

Como $\frac{3}{2} = b_2 \in B $, concluimos que:

$$\sup(B) = \max(B) = \frac{3}{2} $$

👉 PASO 3

Determinación del ínfimo y del mínimo.

Para los términos impares, $-1 + \frac{1}{2k-1} > -1 $ para todo natural.

A medida que $k \to \infty $, $\frac{1}{2k-1} \to 0 $, aproximándose arbitrariamente a $-1 $

Por tanto, $\inf(B) = -1 $

Sin embargo, no existe ningún número natural tal que $b_n = -1 $, ya que requeriría $\frac{1}{n} = 0 $, lo cual es imposible.

Por tanto, $-1 \notin B $

✅ Conclusión

Para el conjunto $B $, $\sup(B) = \max(B) = \frac{3}{2} $, $\inf(B) = -1 $ y no existe mínimo.

📝 Ejemplo 1:

Cálculo de supremo e ínfimo en un conjunto fraccionario discreto

Determinación analítica rigurosa con caracterización épsilon de cotas extremas

Determinar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo (si existen) del conjunto numérico:

$$A = \left\{\frac{n}{n + 1} : n \in N\right\} = \left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots\right\} $$

👉 PASO 1

Análisis de monotonía de los elementos del conjunto.

Sea $a_n = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} $

A medida que $n $ crece en $N $, el denominador $n + 1 $ aumenta, lo que hace que $\frac{1}{n + 1} $ decrezca estrictamente hacia cero.

Por tanto, la sucesión $a_n $ es estrictamente creciente:

$$a_1 = \frac{1}{2} < a_2 = \frac{2}{3} < a_3 = \frac{3}{4} < \dots < 1 $$

👉 PASO 2

Cálculo del ínfimo y del mínimo.

Como la sucesión es estrictamente creciente, el primer término es la menor de todas las cotas:

$$a_n \ge a_1 = \frac{1}{2}, \quad \forall n \in N $$

Por tanto, $\inf(A) = \frac{1}{2} $

Como ademas $\frac{1}{2} \in A $ (obtenido para $n = 1 $), el mínimo existe y coincide con el ínfimo:

$$\min(A) = \frac{1}{2} $$

👉 PASO 3

Cálculo del supremo y análisis del máximo.

Para todo $n \in N $, como $n < n + 1 $, se cumple que $\frac{n}{n+1} < 1 $. Luego 1 es una cota superior de $A $

Demostramos por la propiedad de caracterización que $\sup(A) = 1 $:

Dado cualquier $\epsilon > 0 $, queremos encontrar un elemento $a_n \in A $ tal que:

$$a_n > 1 - \epsilon \implies 1 - \frac{1}{n + 1} > 1 - \epsilon \implies \frac{1}{n + 1} < \epsilon \implies n + 1 > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \frac{1}{\epsilon} - 1 $$

Por la propiedad arquimediana, siempre existe un número natural $n \in N $ que supera dicha cota.

Por tanto, $\sup(A) = 1 $

Sin embargo, para ningún natural se cumple que $\frac{n}{n+1} = 1 $, ya que esto requeriría $n = n + 1 \implies 0 = 1 $, imposible.

Luego $1 \notin A $

✅ Conclusión

Para el conjunto $A $, $\inf(A) = \min(A) = \frac{1}{2} $, $\sup(A) = 1 $ y no existe máximo.

📝 Ejemplo 2:

Supremo e ínfimo de una sucesión oscilante alternada

Estudio de límites de subsucesiones pares e impares para acotar conjuntos discretos

Determinar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto numérico oscilante:

$$B = \left\{(-1)^n + \frac{1}{n} : n \in N\right\} $$

👉 PASO 1

Descomposición del conjunto en índices pares e impares.

Separamos los términos según la paridad del índice $n \in N $:

1. Para índices pares ($n = 2k $ con $k \in N $):

$$(-1)^{2k} = 1 \implies b_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} $$

Los primeros términos pares son: $b_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $, $b_4 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1{,}25 $, $b_6 = 1 + \frac{1}{6} $, decreciendo estrictamente hacia 1.

📝 Ejemplo 3:

Supremo e ínfimo de un conjunto continuo definido por inecuación no lineal

Determinación de extremos en un conjunto acotado definido mediante funciones continuas

Determinar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto real:

$$C = \left\{x \in R : \frac{2x - 1}{x + 4} < 1\right\} $$

👉 PASO 1

Resolución analítica de la inecuación.

Restamos 1 en ambos miembros para reducir a cero:

$$\frac{2x - 1}{x + 4} - 1 < 0 \implies \frac{2x - 1 - (x + 4)}{x + 4} < 0 \implies \frac{x - 5}{x + 4} < 0 $$

Puntos críticos: $x = 5 $ (anula el numerador) y $x = -4 $ (anula el denominador).

👉 PASO 2

Determinación del intervalo solución.

Para que el cociente de dos cantidades sea estrictamente negativo, numerador y denominador deben tener signos opuestos:

Esto ocurre exactamente cuando $x $ se encuentra estrictamente entre ambas raíces:

$$-4 < x < 5 $$

Por tanto, el conjunto es el intervalo abierto:

$$C = (-4, 5) $$

👉 PASO 3

Extracción de supremo, ínfimo, máximo y mínimo.

Para el intervalo abierto $(-4, 5) $:

Cotas superiores: cualquier número real $k \ge 5 $. La menor de ellas es 5:

$$\sup(C) = 5 $$

Como $$5 \notin (-4, 5) \implies \text{no existe máximo} $$

Cotas inferiores: cualquier número real $m \le -4 $. La mayor de ellas es -4:

$$\inf(C) = -4 $$

Como $$-4 \notin (-4, 5) \implies \text{no existe mínimo} $$

✅ Conclusión

Para el conjunto $C $, $\sup(C) = 5 $, $\inf(C) = -4 $, y carece tanto de máximo como de mínimo.

📝 Ejemplo 4:

Operaciones con conjuntos acotados: suma conjuntista de Minkowski

Demostración de que el supremo de la suma de dos conjuntos es la suma de sus supremos

Sean $A, B \subset R $ dos conjuntos no vacíos y acotados superiormente.

Demostrar rigurosamente que el conjunto suma $A + B = \{a + b : a \in A, \; b \in B\} $ está acotado superiormente y cumple:

$$\sup(A + B) = \sup(A) + \sup(B) $$

👉 PASO 1

Demostración de que la suma de supremos es cota superior.

Sean $S_A = \sup(A) $ y $S_B = \sup(B) $

Por definición de supremo, para todo $a \in A $ y todo $b \in B $ se verifica:

$$a \le S_A \quad \text{y} \quad b \le S_B $$

Sumando ambas desigualdades compatibles de orden:

$$a + b \le S_A + S_B, \quad \forall a \in A, \; \forall b \in B $$

Por tanto, la constante real $S_A + S_B $ es una cota superior del conjunto $A + B $

Por definición de supremo como la menor de las cotas superiores:

$$\sup(A + B) \le S_A + S_B = \sup(A) + \sup(B) $$

👉 PASO 2

Demostración de la desigualdad contraria mediante caracterización épsilon.

Fijemos cualquier $\epsilon > 0 $

Por la caracterización épsilon del supremo, tomando $\frac{\epsilon}{2} > 0 $:

Existe $a_0 \in A $ tal que $a_0 > S_A - \frac{\epsilon}{2} $

Existe $b_0 \in B $ tal que $b_0 > S_B - \frac{\epsilon}{2} $

Sumando ambas desigualdades:

$$a_0 + b_0 > \left(S_A - \frac{\epsilon}{2}\right) + \left(S_B - \frac{\epsilon}{2}\right) = S_A + S_B - \epsilon $$

👉 PASO 3

Conclusión de igualdad.

Como $a_0 + b_0 \in A + B $, se cumple que:

$$\sup(A + B) \ge a_0 + b_0 > S_A + S_B - \epsilon $$

Como esta desigualdad es válida para todo $\epsilon > 0 $ arbitrariamente pequeño, se deduce obligatoriamente que:

$$\sup(A + B) \ge S_A + S_B $$

Combinando con la desigualdad del Paso 1, concluimos la igualdad idéntica.

✅ Conclusión

Queda demostrado que $\sup(A + B) = \sup(A) + \sup(B) $

📝 Ejemplo 5:

Conjunto discreto acotado definido por dos variables naturales independientes

Cálculo analítico de extremos globales con dependencia multivariable discreta

Determinar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto bidimensional discreto:

$$D = \left\{\frac{1}{m} + \frac{1}{n} : m, n \in N\right\} $$

👉 PASO 1

Determinación de la cota superior máxima.

Para todo número natural $m, n \in N $, se tiene que $m \ge 1 $ y $n \ge 1 $

Por las propiedades de orden de la inversión:

$$\frac{1}{m} \le 1 \quad \text{y} \quad \frac{1}{n} \le 1 $$

Sumando ambas cotas:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \le 1 + 1 = 2, \quad \forall m, n \in N $$

El valor 2 es una cota superior de $D $

Además, evaluando en $m = 1 $ y $n = 1 $:

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2 \in D $$

Por tanto:

$$\sup(D) = \max(D) = 2 $$

👉 PASO 2

Determinación de la cota inferior estricta.

Como $m > 0 $ y $n > 0 $, ambas fracciones son estrictamente positivas:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} > 0, \quad \forall m, n \in N $$

Luego 0 es una cota inferior del conjunto $D $

👉 PASO 3

Verificación del ínfimo mediante paso al límite arquimediano.

Dado cualquier $\epsilon > 0 $, por la propiedad arquimediana podemos elegir un número natural $k \in N $ tal que $$k > \frac{2}{\epsilon} \implies \frac{1}{k} < \frac{\epsilon}{2} $$

Tomando $m = k $ y $n = k $:

$$\frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k} < \epsilon $$

Esto demuestra que 0 es la mayor de todas las cotas inferiores:

$$\inf(D) = 0 $$

Sin embargo, para ningún par de números naturales la suma de fracciones positivas puede ser cero:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \ne 0, \quad \forall m, n \in N \implies 0 \notin D $$

Por consiguiente, no existe mínimo en el conjunto.

✅ Conclusión

Para el conjunto $D $, $\sup(D) = \max(D) = 2 $, $\inf(D) = 0 $ y no existe mínimo.