1.2 1.2.1 Números reales

1.2.1 Números reales

La crisis de los inconmensurables y la necesidad de los números reales

Los antiguos pitagóricos creían que cualquier magnitud física o geométrica del universo podía expresarse como el cociente de dos números enteros.

Esta doctrina colapsó al estudiar un cuadrado de lado unidad: aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal $d $ satisface:

$$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies d = \sqrt{2} $$

Se descubrió con estupor que no existe ninguna fracción de números enteros cuyo cuadrado sea exactamente

2. Dicha longitud era inconmensurable con el lado, lo que demostró que la recta geométrica posee infinitos puntos que no corresponden a ningún número racional.

Ejemplo conceptual:

La longitud de la circunferencia de radio unidad es $L = 2\pi \approx 6{,}283185\dots $. El número $\pi $ no puede expresarse como cociente de dos enteros; es un número irracional.

Demostración fundamental: irracionalidad de la raíz cuadrada de tres

Teorema: de Irracionalidad

El número $\sqrt{3} $ no es un número racional: $\sqrt{3} \notin Q $

Demostración por reducción al absurdo:

Supongamos que $\sqrt{3} \in Q $. Entonces existen dos enteros positivos $p, q \in N $ primos entre sí ($\text{mcd}(p, q) = 1 $) tales que:

$$\sqrt{3} = \frac{p}{q} $$

Elevando al cuadrado ambos miembros:

$$3 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 3q^2 $$

Esto implica que $p^2 $ es múltiplo de 3. Como 3 es un número primo, si divide al cuadrado $p^2 $, necesariamente divide a $p $

Por tanto, podemos escribir $p = 3k $ para algún entero $k \in N $

Sustituyendo en la identidad anterior:

$$(3k)^2 = 3q^2 \implies 9k^2 = 3q^2 \implies q^2 = 3k^2 $$

Esto significa que $q^2 $ también es múltiplo de 3, lo que obliga a que $q $ sea múltiplo de 3.

Hemos llegado a que tanto $p $ como $q $ son múltiplos de 3, contradiciendo la hipótesis de partida de que eran primos entre sí ($\text{mcd}(p, q) = 1 $).

Esta contradicción demuestra que $\sqrt{3} \notin Q $

Ejemplo: análogo:

Si un número natural $n \in N $ no es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada $\sqrt{n} $ es siempre un número irracional (como $\sqrt{5} $, $\sqrt{7} $, $\sqrt{11} $).

Clasificación del conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales, denotado por $R $, se define como la unión disjunta de los números racionales y los números irracionales:

$$R = Q \cup I \quad \text{con} \quad Q \cap I = \emptyset $$

Los números irracionales $I $ se dividen a su vez en dos categorías fundamentales:

1. Números algebraicos: son aquellos números reales que son raíces de un polinomio no nulo con coeficientes enteros (por ejemplo $\sqrt{2} $, raíz de $x^2 - 2 = 0 $, o $\sqrt[3]{5} $, raíz de $x^3 - 5 = 0 $).

2. Números trascendentes: son aquellos números reales que no son raíz de ninguna ecuación algebraica polinómica con coeficientes enteros.

Los ejemplos más ilustres en el cálculo son el número $\pi $ (razón de la circunferencia al diámetro) y el número $e $ (base de los logaritmos naturales y límite fundamental del crecimiento continuo).

Ejemplo:

El número áureo $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ es un irracional algebraico, pues es la raíz positiva del polinomio cuadrático $x^2 - x - 1 = 0 $

Ejemplo 1 Demostración de irracionalidad de combinaciones lineales algebraicas

Demostración rigurosa de que la suma de un número racional y un número irracional es siempre irracional

Demostrar formalmente que si $r \in Q $ y $x \in I $, entonces la suma $s = r + x $ es necesariamente un número irracional.

PASO 1

Planteamiento de la hipótesis de contradicción.

Sean $r \in Q $ y $x \in R \setminus Q $

Supongamos por reducción al absurdo que la suma es un número racional:

$$s = r + x \in Q $$

PASO 2

Despeje del número irracional y aplicación de la clausura de Q.

Despejamos el término $x $ en la ecuación:

$$x = s - r $$

Como $s \in Q $ y $r \in Q $, y el conjunto de los racionales $(Q, +, \cdot) $ es un cuerpo cerrado bajo la resta, la diferencia de dos racionales es invariablemente un número racional:

$$s - r \in Q \implies x \in Q $$

PASO 3

Detección de la contradicción formal.

Hemos obtenido que $x \in Q $, lo cual contradice directamente la hipótesis de que $x \in I $

Por tanto, la suposición de que $s \in Q $ es falsa.

Conclusión

La suma de cualquier número racional con un número irracional es siempre un número irracional.

Por ejemplo, $5 + \sqrt{3} $ es necesariamente irracional.

Ejemplo 2 Irracionalidad de raíces cuadradas no homogéneas

Demostración de que la suma de las raíces cuadradas de dos y tres es un número irracional

Demostrar analíticamente que el número real $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3} $ es irracional.

PASO 1

Planteamiento por contradicción y elevación al cuadrado.

Supongamos que $\alpha \in Q $

Como $\sqrt{2} > 0 $ y $\sqrt{3} > 0 $, $\alpha > 0 $

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$\alpha^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} $$

PASO 2

Aislamiento del radical no homogéneo.

Despejamos el término $\sqrt{6} $:

$$\alpha^2 - 5 = 2\sqrt{6} \implies \sqrt{6} = \frac{\alpha^2 - 5}{2} $$

PASO 3

Contradicción sobre la naturaleza de la raíz de seis.

Si $\alpha \in Q $, entonces $\alpha^2 \in Q $, $\alpha^2 - 5 \in Q $, y el cociente $\frac{\alpha^2 - 5}{2} \in Q $

Esto implicaría que $\sqrt{6} \in Q $

Sin embargo, 6 no es un cuadrado perfecto ($2^2 = 4 < 6 < 9 = 3^2 $), por lo que $\sqrt{6} $ es irracional.

Esta contradicción demuestra que $\alpha $ no puede ser racional.

Conclusión

El número $\sqrt{2} + \sqrt{3} $ es estrictamente irracional.

Ejemplo 3 Construcción de un número irracional comprendido entre dos racionales

Aplicación de la densidad de los números irracionales en la recta real

Construir explícitamente un número irracional $x \in I $ estrictamente comprendido entre los racionales $a = \frac{1}{5} $ y $b = \frac{1}{4} $

PASO 1

Expresión de la longitud del intervalo en la recta.

Calculamos la distancia entre ambos extremos racionales:

$$b - a = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20} = 0{,}05 $$

PASO 2

Empleo de un irracional normalizado de cota inferior a la unidad.

Sabemos que $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\dots $ es irracional.

Dividiendo entre 2 obtenemos un irracional acotado entre 0 y 1:

$$0 < \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 < 1 $$

PASO 3

Construcción y verificación de la cota estricta.

Definimos el número real:

$$x = a + (b - a) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{40} $$

El número $x $ es irracional por ser suma de un racional ($\frac{1}{5} $) y un irracional ($\frac{\sqrt{2}}{40} $).

Además, como $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 $:

$$a < x < a + (b - a) = b \implies \frac{1}{5} < \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{40} < \frac{1}{4} $$

Conclusión

El número $$x = \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{40} \approx 0{,}235355\dots $$ es un número irracional que pertenece al intervalo $\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{4}\right) $

Ejemplo 4 Polinomio mínimo de un número algebraico en los reales

Determinación de la ecuación polinómica entera que anula a un radical doble

Hallar un polinomio con coeficientes enteros $P(x) \in Z[x] $ del cual el número real $\beta = \sqrt{1 + \sqrt{3}} $ sea raíz exacta, demostrando que $\beta $ es algebraico.

PASO 1

Eliminación sucesiva de radicales mediante elevación al cuadrado.

Partimos de la definición de la incógnita:

$$x = \sqrt{1 + \sqrt{3}} $$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$x^2 = 1 + \sqrt{3} $$

PASO 2

Aislamiento del radical restante y segunda elevación.

Aislamos el radical $\sqrt{3} $ en un miembro de la igualdad:

$$x^2 - 1 = \sqrt{3} $$

Elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros:

$$(x^2 - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 \implies (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = 3 $$

$$x^4 - 2x^2 + 1 = 3 $$

PASO 3

Reducción a forma polinómica estándar.

Restamos 3 en ambos miembros para igualar a cero:

$$x^4 - 2x^2 - 2 = 0 $$

El polinomio obtenido es $P(x) = x^4 - 2x^2 - 2 $, cuyos coeficientes $1, -2, -2 $ son todos números enteros.

Conclusión

El número $\beta = \sqrt{1 + \sqrt{3}} $ es una raíz del polinomio con coeficientes enteros $x^4 - 2x^2 - 2 = 0 $, lo que demuestra formalmente que es un número real algebraico.

Ejemplo 5 Potencias irracionales de base irracional: el teorema de Gelfond-Schneider

Demostración no constructiva de la existencia de irracionales cuya potencia es racional

Demostrar que existen dos números irracionales $a, b \in I $ tales que su potencia $a^b $ es un número racional.

PASO 1

Consideración del candidato base de partida.

Consideremos el número real:

$$\gamma = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}} $$

Sabemos con total certeza que $\sqrt{2} \in I $

Para el número $\gamma $, existen lógicamente sólo dos posibilidades excluyentes: o bien $\gamma \in Q $, o bien $\gamma \notin Q $

PASO 2

Análisis del primer escenario lógico.

Si $\gamma = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}} \in Q $, entonces hemos encontrado directamente los dos números buscados:

Tomando $a = \sqrt{2} \in I $ y $b = \sqrt{2} \in I $, la potencia $a^b = \gamma \in Q $, quedando demostrada la proposición.

PASO 3

Análisis del segundo escenario lógico.

Si por el contrario $\gamma = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}} \notin Q $, entonces $\gamma \in I $

En tal caso, tomamos como base el número irracional $a = \gamma = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}} \in I $ y como exponente el número irracional $b = \sqrt{2} \in I $

Calculamos la potencia aplicando las propiedades de los exponentes:

$$a^b = \left((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = (\sqrt{2})^2 = 2 $$

Como $2 = \frac{2}{1} \in Q $, hemos obtenido un número racional a partir de una potencia de base y exponente irracionales.

Conclusión

Queda demostrado de forma concluyente que existen números irracionales cuya potencia mutua es estrictamente racional.