1.1 1.1.1 Números naturales
1.1.1 Números naturales
Definición y conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales es el sistema numérico más elemental, originado por la necesidad universal de contar elementos en colecciones discretas y ordenar secuencias finitas.
En el marco del Cálculo Infinitesimal universitario adoptamos la convención estándar en la que el cero no se incluye en el conjunto de los números naturales:
Si un algoritmo procesa una lista de datos y cuenta el número de iteraciones realizadas con éxito, el contador toma valores en \(N \). Para tres iteraciones completadas escribimos \(n = 3 \in N \)
Operaciones internas y clausura en los números naturales
En el conjunto \(N \) se definen de forma canónica dos operaciones cerradas o internas: la adición o suma, y el producto o multiplicación.
Para cualquier par de números naturales \(a, b \in N \), tanto su suma como su producto son siempre números naturales bien determinados:
Tomando los números naturales \(a = 7 \) y \(b = 12 \), su suma es \(7 + 12 = 19 \in N \), y su producto es \(7 \cdot 12 = 84 \in N \). En ambos casos el resultado permanece dentro del conjunto de partida.
Propiedades algebraicas fundamentales de las operaciones
Las operaciones de adición y multiplicación en el conjunto \(N \) satisfacen las siguientes leyes axiomáticas fundamentales:
- Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos o de los factores no altera el resultado de la operación:
- Propiedad Asociativa: El agrupamiento de los términos no altera el resultado final:
- Propiedad Distributiva: La multiplicación se distribuye respecto de la adición:
- Elemento Neutro Multiplicativo: El número uno es el único elemento neutro para el producto en los números naturales:
En cambio, en \(N \) no existe elemento neutro para la suma (el cero no es natural) ni existen elementos simétricos u opuestos.
Comprobamos estas leyes con valores concretos.
Para la conmutatividad y asociatividad: \(4 + 11 = 11 + 4 = 15 \), y \((2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12 = 2 + (3 + 7) \). Para la distributiva: \(3 \cdot (4 + 6) = 3 \cdot 10 = 30 \), coincidiendo exactamente con \(3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 12 + 18 = 30 \)
Limitaciones del sistema: no clausura de la sustracción
La operación de resta o sustracción no es una operación interna en el conjunto \(N \). Dados dos números naturales \(a, b \in N \), la diferencia \(a - b \) sólo pertenece a \(N \) cuando el minuendo es estrictamente mayor que el sustraendo (\(a > b \)).
Si tomamos \(a = 4 \) y \(b = 9 \), la diferencia resulta \(4 - 9 = -5 \notin N \). Asimismo, si tomamos \(a = b = 4 \), tenemos \(4 - 4 = 0 \notin N \)
Por tanto, ecuaciones lineales simples como \(x + 5 = 2 \) carecen de solución en \(N \), motivando la extensión al conjunto de los números enteros.
Principio del buen orden
Una propiedad axiomática y estructural determinante del conjunto de los números naturales es el Principio del Buen Orden:
Todo subconjunto no vacío \(S \subset N \) posee un elemento mínimo o primer elemento:
Consideremos el conjunto de los múltiplos impares de tres mayores que diez:
El conjunto \(S \) es un subconjunto no vacío de \(N \). En virtud del principio del buen orden, posee un elemento mínimo indiscutible, que en este caso es exactamente \(m = 15 \)
1. Por tanto:
Despeje del valor de la suma.
Dividimos entre dos:
En general, para cualquier número natural \(n \in N \), la suma de los primeros \(n \) números naturales viene dada por la fórmula cerrada:
La suma de los primeros 100 números naturales es exactamente igual a \(5050 \)
Ecuaciones algebraicas discretas con soluciones naturales
Resolución rigurosa de ecuaciones lineales analizando las restricciones del dominio natural
Determinar todos los números naturales \(n \in N \) que satisfacen la ecuación lineal \(3n + 14 = 5n - 6 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aislar la incógnita mediante trasposición de términos semejantes.
A continuación calcularemos el valor algebraico de la incógnita.
Para terminar comprobaremos si dicho valor pertenece estrictamente al conjunto de los números naturales.
Agrupación de términos semejantes.
Restamos \(3n \) en ambos miembros y sumamos 6 en ambos miembros de la ecuación:
Despeje del valor de la incógnita.
Dividimos ambos miembros entre dos:
Validación en el conjunto de los naturales.
El valor obtenido es \(n = 10 \). Como 10 es un número entero positivo mayor que cero, verificamos que:
La ecuación lineal posee una única solución en el conjunto de los números naturales, que es \(n = 10 \)
Inecuaciones racionales con incógnita natural
Estudio de una desigualdad algebraica para valores enteros positivos
Hallar el conjunto de todos los números naturales \(n \in N \) que verifican la desigualdad \(\frac{4n + 9}{n + 1} \le 3 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por analizar el signo del denominador para operar con la inecuación.
A continuación multiplicaremos por el denominador para obtener una desigualdad lineal equivalente.
Para terminar contrastaremos el intervalo solución obtenido con el conjunto de los números naturales.
Eliminación del denominador fraccionario.
Dado que \(n \in N \), tenemos \(n \ge 1 \), por lo que el denominador \(n + 1 \ge 2 > 0 \)
Podemos multiplicar ambos miembros por \(n + 1 \) sin cambiar el sentido de la desigualdad:
Desarrollo y simplificación algebraica.
Aplicamos la propiedad distributiva en el miembro derecho:
Restamos \(3n \) y restamos 9 en ambos lados:
Análisis de existencia en el dominio natural.
La condición algebraica exige que \(n \le -6 \)
Sin embargo, para todo \(n \in N \) se cumple por definición que \(n \ge 1 > 0 \)
No existe ningún número natural que sea simultáneamente menor o igual que - 6.
La inecuación no posee ninguna solución en el conjunto de los números naturales; el conjunto de soluciones en \(N \) es el conjunto vacío \(\emptyset \)
Suma finita de números naturales consecutivos
Aplicación de la fórmula de Gauss para la suma aritmética discreta
Calcular el valor de la suma de los primeros 100 números naturales $$S = \sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \dots + 100 $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la suma y su orden inverso.
A continuación sumaremos término a término ambas expresiones agrupadas.
Para terminar dividiremos entre dos para obtener el valor numérico exacto.
Planteamiento de la suma directa e invertida.
Escribimos la suma directa y la suma en orden inverso:
Suma término a término de ambas expresiones.
Sumamos miembro a miembro las dos igualdades:
Cada uno de los 100 pares suma exactamente
1
0
Divisibilidad algebraica en el conjunto de los números naturales
Demostración de que la expresión n al cubo menos n es siempre múltiplo de seis para todo n natural
Demostrar que para todo número natural \(n \in N \), la cantidad \(E(n) = n^3 - n \) es divisible exactamente por 6.
Para resolver este ejemplo empezaremos por factorizar algebraicamente el polinomio.
A continuación analizaremos la naturaleza de los factores como enteros consecutivos.
Para terminar aplicaremos el principio de primalidad para deducir la divisibilidad entre seis.
Factorización algebraica del polinomio.
Extraemos factor común \(n \) y factorizamos la diferencia de cuadrados resultante:
Reordenando los factores en orden estrictamente creciente:
Propiedad de los productos de enteros consecutivos.
La expresión \((n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \) representa el producto de tres números enteros consecutivos.
En cualquier conjunto de tres enteros consecutivos se verifican siempre dos propiedades:
- Al menos uno de ellos es divisible por 2 (es par).
- Exactamente uno de ellos es divisible por 3 (los múltiplos de tres se repiten cada tres unidades).
Conclusión de divisibilidad simultánea.
Como 2 y 3 son números primos entre sí (\(\text{mcd}(2, 3) = 1 \)), si una cantidad es divisible simultáneamente por 2 y por 3, es necesariamente divisible por su producto \(2 \cdot 3 = 6 \)
Para \(n = 1 \), la expresión vale \(1^3 - 1 = 0 = 6 \cdot 0 \), y para todo \(n \ge 2 \), el resultado es un múltiplo positivo de 6 perteneciente a \(N \)
La expresión \(n^3 - n \) es siempre un múltiplo exacto de 6 para cualquier número natural \(n \)
Acotación de sucesiones discretas en el conjunto natural
Determinación de los valores naturales que satisfacen una cota fraccionaria estricta
Hallar todos los números naturales \(n \in N \) para los cuales la sucesión fraccionaria \(a_n = \frac{2n + 15}{n + 2} \) produce un número entero positivo mayor o igual que
3.
Para resolver este ejemplo empezaremos por plantear la inecuación en el dominio natural.
A continuación resolveremos algebraicamente la desigualdad para acotar los posibles valores.
Para terminar analizaremos la condición de divisibilidad entera para seleccionar los valores válidos.
Planteamiento de la inecuación en el dominio natural.
Planteamos la desigualdad con la condición dada:
Como \(n \in N \), el denominador \(n + 2 \ge 3 > 0 \)
Por tanto, podemos multiplicar ambos miembros por \(n + 2 \) sin alterar el sentido de la desigualdad:
Resolución algebraica de la inecuación.
Desarrollamos el producto distributivo:
Agrupamos términos semejantes restando \(2n \) y restando 6 en ambos miembros:
Como \(n \in N \), los candidatos naturales son \(n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
Comprobación de la condición de número entero.
Reescribimos la fracción dividiendo el numerador entre el denominador:
Para que \(a_n \) sea un número entero, el denominador \(n + 2 \) debe ser divisor exacto de 1
1.
Como 11 es un número primo, sus únicos divisores positivos son 1 y 11:
$$n + 2 = 1 \implies n = -1 \notin N $$
Verificamos que para \(n = 9 \): \(a_9 = 2 + \frac{11}{11} = 2 + 1 = 3 \ge 3 \)
El único número natural que cumple simultáneamente ser mayor o igual que 3 y generar un valor entero es \(n = 9 \)