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Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes

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Concepto de diferencial total exacta y campo conservativo

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma diferencial simétrica:

$$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$

se dice exacta o en diferenciales totales en una región conexa \(D \subset \mathbb{R}^2\) si existe una función diferenciable de dos variables \(U(x, y)\) cuya diferencial total coincide idénticamente con el primer miembro de la ecuación:

$$dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = M(x, y)dx + N(x, y)dy$$

Si la ecuación es exacta, la solución general viene dada por la ecuación implícita de curvas de nivel del potencial:

$$U(x, y) = C$$
Ejemplo: Para \(2x \, dx + 2y \, dy = 0\) la diferencial total es \(d(x^2 + y^2) = 0\) cuya solución es la circunferencia \(x^2 + y^2 = C\)
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Teorema de condición necesaria y suficiente de exactitud (Schwarz)

Sean \(M(x, y)\) y \(N(x, y)\) funciones continuamente derivables en un dominio simplemente conexo D. La ecuación \(M dx + N dy = 0\) es exacta si y solo si sus derivadas parciales cruzadas son idénticas:

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad \forall (x, y) \in D$$

Esta igualdad garantiza por el teorema de Schwarz que las segundas derivadas del potencial conmutan:

$$\frac{\partial^2 U}{\partial y \partial x} = \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}$$
Ejemplo: En la ecuación \((2xy + 3)dx + (x^2 - 4y)dy = 0\) se verifica \(\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\) y \(\frac{\partial N}{\partial x} = 2x\) siendo exacta
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Algoritmo de integración para la reconstrucción del potencial

Para hallar la función potencial \(U(x, y)\) seguimos un proceso en dos etapas:

En primer lugar, integramos la primera derivada parcial respecto a x considerando y constante:

$$U(x, y) = \int M(x, y) dx + g(y)$$

En segundo lugar, derivamos esta expresión respecto a y e igualamos al segundo coeficiente \(N(x, y)\)

$$\frac{\partial}{\partial y}\left[ \int M(x, y)dx \right] + g'(y) = N(x, y) \implies g'(y) = N(x, y) - \frac{\partial}{\partial y}\left[ \int M(x, y)dx \right]$$

La condición de exactitud asegura que la expresión de \(g'(y)\) no contiene la variable x, permitiendo calcular \(g(y)\) mediante una integración simple respecto de y.

Ejemplo: Si \(M = y\) y \(N = x\) integramos \(U = xy + g(y)\) y derivando \(x + g'(y) = x \implies g'(y) = 0 \implies U(x,y) = xy = C\)
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Teoría de factores integrantes para ecuaciones no exactas

Cuando una ecuación diferencial \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) no es exacta, a veces es posible multiplicarla por una función no nula \(\mu(x, y)\) tal que la ecuación resultante:

$$(\mu M) dx + (\mu N) dy = 0$$

sea rigurosamente exacta. La condición de exactitud exige que:

$$\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x}(\mu N) \implies \mu \frac{\partial M}{\partial y} + M \frac{\partial \mu}{\partial y} = \mu \frac{\partial N}{\partial x} + N \frac{\partial \mu}{\partial x}$$

Casos especiales deterministas de factor integrante:

1. Si el cociente \(\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = f(x)\) el factor integrante depende exclusivamente de x:

$$\mu(x) = e^{\int f(x) dx}$$

2. Si el cociente \(\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = g(y)\) el factor integrante depende exclusivamente de y:

$$\mu(y) = e^{\int g(y) dy}$$
Ejemplo: Si \(\frac{M_y - N_x}{N} = -\frac{2}{x}\) el factor integrante es \(\mu(x) = e^{-2\ln(x)} = \frac{1}{x^2}\)

; domain=[-3; 3]; labels=Curvas de nivel del potencial U]

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Problemas de Cauchy para ecuaciones exactas

Un problema de valor inicial consiste en encontrar la curva integral del haz \(U(x, y) = C\) que pasa por un punto dado \((x_0, y_0)\) La constante C se determina de forma única evaluando el potencial en las condiciones iniciales:

$$C = U(x_0, y_0)$$
Ejemplo: Si \(U(x,y) = x^2 + y^2\) con condición \(y(0) = 2\) la constante es \(C = 0^2 + 2^2 = 4\) resultando la circunferencia particular \(x^2 + y^2 = 4\)
Explicación

A continuación resolvemos cinco problemas ilustrativos de ecuaciones diferenciales exactas y con factores integrantes siguiendo la metodología docente de construcción del potencial.

Ejemplo 1 Ecuación diferencial exacta directa con términos polinómicos

Comprobación de la igualdad de derivadas cruzadas y construcción del potencial U de dos variables

Ecuación diferencial:

$$(2xy + 3)dx + (x^2 - 4y)dy = 0$$
Ejemplo 2 Ecuación diferencial exacta de tercer grado

Verificación de simetría de derivadas parciales e integración sucesiva con función de ajuste

Ecuación diferencial:

$$(3x^2 y + 2xy)dx + (x^3 + x^2 + 2y)dy = 0$$
Ejemplo 3 Ecuación diferencial con factor integrante dependiente solo de x

Cálculo del factor de Euler unidimensional, transformación en exacta y resolución del potencial

Ecuación diferencial:

$$(2x^2 + y)dx + (x^2 y - x)dy = 0$$
Ejemplo 4 Problema de valor inicial para ecuación diferencial exacta

Obtención del potencial de Cauchy y fijación determinista de la constante con el punto dado

Ecuación diferencial:

$$(4x^3 + 3xy^2)dx + (3x^2 y + 2y)dy = 0, \quad y(1) = 2$$
Ejemplo 5 Ecuación diferencial con factor integrante dependiente de y

Deducción del factor integrante mu de y y resolución completa de la ecuación resultante

Ecuación diferencial:

$$y(2xy + 1)dx - x \, dy = 0$$
Conclusión

La condición de simetría en las derivadas cruzadas caracteriza a los campos diferenciales exactos y permite hallar sus curvas integrales mediante integración del potencial.