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Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y Bernoulli

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Estructura general de una ecuación diferencial lineal de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se denomina lineal si es de primer grado respecto de la función incógnita \(y\) y de su derivada \(y'\) adoptando la forma canónica:

$$y' + P(x)y = Q(x)$$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones continuas en un intervalo abierto de la recta real. Si \(Q(x) \equiv 0\) la ecuación se denomina lineal homogénea;

si \(Q(x) \ne 0\) es no homogénea o completa.

Ejemplo: La ecuación \(y' + 2xy = 4x\) es lineal con \(P(x) = 2x\) y \(Q(x) = 4x\)
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Método del factor integrante de Euler

Para resolver la ecuación lineal completa multiplicamos todos sus términos por una función auxiliar no nula \(\mu(x)\) elegida para transformar el primer miembro en la derivada exacta de un producto:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$$

Al multiplicar la ecuación por \(\mu(x)\)

$$\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \implies \frac{d}{dx}\left[ \mu(x) y \right] = \mu(x)Q(x)$$

Integrando ambos miembros respecto de x y despejando y obtenemos la fórmula general de resolución:

$$y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right]$$
Ejemplo: Si \(P(x) = 3\) el factor integrante es \(\mu(x) = e^{3x}\)
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Método de variación de las constantes de Lagrange

Un método alternativo consiste en resolver primero la ecuación homogénea asociada \(y' + P(x)y = 0\) cuya solución por variables separadas es \(y_h = C e^{-\int P(x)dx}\)

A continuación se sustituye la constante C por una función desconocida \(C(x)\) imponiendo que la expresión \(y = C(x) e^{-\int P(x)dx}\) satisfaga la ecuación completa para despejar \(C'(x) = Q(x) e^{\int P(x)dx}\)

Ejemplo: En \(y' + y = e^x\) la homogénea es \(y_h = C e^{-x}\) y la variación de la constante conduce a \(C'(x) = e^{2x}\)
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Ecuación diferencial no lineal de Bernoulli

Se denomina ecuación de Bernoulli a toda ecuación no lineal de la forma:

$$y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \ne 0, n \ne 1)$$

Dividiendo toda la ecuación por \(y^n\)

$$y^{-n} y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)$$

Introduciendo el cambio de variable dependiente \(z = y^{1-n} \implies z' = (1-n)y^{-n}y'\) la ecuación se transforma exactamente en una ecuación lineal de primer orden para z:

$$\frac{z'}{1-n} + P(x)z = Q(x) \implies z' + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$
Ejemplo: Para \(y' + y = x y^2\) con \(n = 2\) el cambio es \(z = y^{-1}\)

; labels=Curvas de soluciones lineales]

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Teorema de existencia y unicidad de soluciones (Picard-Lindelöf)

Si los coeficientes \(P(x)\) y \(Q(x)\) son continuos en un intervalo abierto I que contiene al punto inicial \(x_0\) entonces para cualquier valor real \(y_0\) existe una única solución continua \(y(x)\) definida en todo el intervalo I que satisface la condición inicial \(y(x_0) = y_0\)

Ejemplo: El problema de Cauchy \(y' + 2y = 0, y(0) = 3\) tiene como única solución en toda la recta real a \(y = 3e^{-2x}\)
Explicación

A continuación resolvemos cinco problemas representativos de ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli siguiendo los estándares didácticos de resolución.

Ejemplo 1 Ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes con exponencial

Cálculo de la solución general aplicando el factor integrante de Euler y simplificación analítica

Ecuación diferencial: \(y' + 2y = 4e^x\)

Ejemplo 2 Ecuación diferencial lineal con coeficiente racional de primer orden

Resolución mediante factor integrante potencial y determinación del dominio de validez

Ecuación diferencial: \(y' - \frac{2}{x}y = x^3 \quad (x > 0)\)

Ejemplo 3 Problema de valor inicial para ecuación lineal con término trigonométrico

Reconocimiento de la derivada del producto y fijación de la constante con la condición inicial

Ecuación diferencial: \(x y' + y = \sin(x), \quad y(\pi) = 0\)

Ejemplo 4 Ecuación diferencial no lineal de Bernoulli con grado cuadrático

Reducción canónica a ecuación lineal mediante sustitución y resolución por factor integrante

Ecuación diferencial: \(y' + \frac{1}{x}y = x y^2\)

Ejemplo 5 Ecuación lineal con inversión de variables independiente y dependiente

Transformación considerando a x como función derivable de y para linealizar la ecuación diferencial

Ecuación diferencial: \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cos(y) + \sin(2y)}\)

Conclusión

El factor integrante permite integrar de forma determinista cualquier ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden y transformar las ecuaciones no lineales de Bernoulli.