Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes

1. Concepto de diferencial total exacta y campo conservativo Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma diferencial simétrica: \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) se dice exacta o en diferenciales totales en una región conexa \(D \subset \mathbb{R}^2\) si existe una función diferenciable de dos variables \(U(x, y)\) cuya diferencial total coincide idénticamente con el primer miembro de la ecuación: \(dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = M(x, y)dx + N(x, y)dy\) Si la ecuación es exacta, la solución general viene dada por la ecuación implícita de curvas de nivel del potencial: \(U(x, y) = C\) Ejemplo: Para \(2x \, dx + 2y \, dy = 0\) la diferencial total es \(d(x^2 + y^2) = 0\) cuya solución es la circunferencia \(x^2 + y^2 = C\) 2. Teorema de condición necesaria y suficiente de exactitud (Schwarz) Sean \(M(x, y)\) y \(N(x, y)\) funciones continuamente derivables en un dominio simplemente conexo D. La ecuación \(M dx + N dy = 0\) es exacta si y solo si sus derivadas parciales cruzadas son idénticas: \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad \forall (x, y) \in D\) Esta igualdad garantiza por el teorema de Schwarz que las segundas derivadas del potencial conmutan: \(\frac{\partial^2 U}{\partial y \partial x} = \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}\) Ejemplo: En la ecuación \((2xy + 3)dx + (x^2 - 4y)dy = 0\) se verifica \(\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\) y \(\frac{\partial N}{\partial x} = 2x\) siendo exacta. 3. Algoritmo de integración para la reconstrucción del potencial Para hallar la función potencial \(U(x, y)\) seguimos un proceso en dos etapas: En primer lugar, integramos la primera derivada parcial respecto a x considerando y constante: \(U(x, y) = \int M(x, y) dx + g(y)\) En segundo lugar, derivamos esta expresión respecto a y e igualamos al segundo coeficiente \(N(x, y)\) \(\frac{\partial}{\partial y}\left[ \int M(x, y)dx \right] + g'(y) = N(x, y) \implies g'(y) = N(x, y) - \frac{\partial}{\partial y}\left[ \int M(x, y)dx \right]\) La condición de exactitud asegura que la expresión de \(g'(y)\) no contiene la variable x, permitiendo calcular \(g(y)\) mediante una integración simple respecto de y. Ejemplo: Si \(M = y\) y \(N = x\) integramos \(U = xy + g(y)\) y derivando \(x + g'(y) = x \implies g'(y) = 0 \implies U(x,y) = xy = C\) 4. Teoría de factores integrantes para ecuaciones no exactas Cuando una ecuación diferencial \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) no es exacta, a veces es posible multiplicarla por una función no nula \(\mu(x, y)\) tal que la ecuación resultante: \((\mu M) dx + (\mu N) dy = 0\) sea rigurosamente exacta. La condición de exactitud exige que: \(\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x}(\mu N) \implies \mu \frac{\partial M}{\partial y} + M \frac{\partial \mu}{\partial y} = \mu \frac{\partial N}{\partial x} + N \frac{\partial \mu}{\partial x}\) Casos especiales deterministas de factor integrante: 1. Si el cociente \(\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = f(x)\) el factor integrante depende exclusivamente de x: \(\mu(x) = e^{\int f(x) dx}\) 2. Si el cociente \(\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = g(y)\) el factor integrante depende exclusivamente de y: \(\mu(y) = e^{\int g(y) dy}\) Ejemplo: Si \(\frac{M_y - N_x}{N} = -\frac{2}{x}\) el factor integrante es \(\mu(x) = e^{-2\ln(x)} = \frac{1}{x^2}\) ; domain=[-3; 3]; labels=Curvas de nivel del potencial U] 5. Problemas de Cauchy para ecuaciones exactas Un problema de valor inicial consiste en encontrar la curva integral del haz \(U(x, y) = C\) que pasa por un punto dado \((x_0, y_0)\) La constante C se determina de forma única evaluando el potencial en las condiciones iniciales: \(C = U(x_0, y_0)\) Ejemplo: Si \(U(x,y) = x^2 + y^2\) con condición \(y(0) = 2\) la constante es \(C = 0^2 + 2^2 = 4\) resultando la circunferencia particular \(x^2 + y^2 = 4\)