9.2 9.2 Interpretación de un test
9.2 Interpretación de un test de hipótesis: nivel de significación y potencia
En esta sección aprenderemos a interpretar correctamente un contraste de hipótesis.
Empezaremos viendo por qué es imposible minimizar a la vez los dos tipos de error y cómo se resuelve este conflicto acotando la probabilidad del error tipo I, lo que conduce al concepto de nivel de significación.
A continuación definiremos la potencia de un test.
Después veremos la interpretación correcta de no rechazar la hipótesis nula: por qué nunca debe decirse que se acepta.
Para terminar resolveremos dos ejemplos de interpretación en contexto y un tercero sobre la potencia del test.
Nivel de significación y potencia
Nuestro objetivo es equivocarnos lo menos posible, es decir, que la probabilidad de equivocarnos sea mínima.
Lo ideal sería hallar un test que minimizara a la vez la probabilidad de ocurrencia de ambos errores, pero esto no es posible en general, ya que al disminuir uno tiende a aumentar el otro, aunque no de forma complementaria.
Por ello, lo que se hace es acotar la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos, el de tipo I.
A esta cota se le denomina nivel de significación y se denota \(\alpha \): se exige que la probabilidad de rechazar \(H_0 \) cuando \(H_0 \) es cierta sea menor o igual que \(\alpha \)
Usualmente \(\alpha \) toma los valores \(0,10 \), \(0,05 \) o \(0,01 \)
Una vez fijado el nivel de significación, se trata de encontrar una regla de decisión, es decir, un test, que minimice la probabilidad de error tipo II.
La potencia de una prueba estadística es la probabilidad de que la prueba rechace correctamente la hipótesis nula cuando esta es falsa, y se denota \(1 - \beta \), donde \(\beta \) es la probabilidad del error tipo II.
Dicho de otro modo, la potencia mide la capacidad del test para detectar que \(H_0 \) es falsa cuando efectivamente lo es.
Un test con potencia alta rara vez deja escapar una hipótesis nula falsa; un test con potencia baja puede no rechazar \(H_0 \) aun siendo falsa, simplemente porque no tiene fuerza suficiente para detectar la discrepancia.
La potencia aumenta con el tamaño de la muestra: con más datos es más fácil distinguir la realidad de la hipótesis nula.
Interpretación correcta de los resultados
Es una constante en Estadística acompañar toda afirmación con una medida del error que pueda cometerse al realizarla, porque nunca estamos libres de error al hacer inferencias: las afirmaciones se basan en el análisis de una muestra, no de toda la población.
Tal y como están diseñados los contrastes de hipótesis, tan solo estamos controlando el error tipo I.
En caso de no rechazar \(H_0 \), no debe interpretarse como que \(H_0 \) es cierta, ya que en general se desconoce la probabilidad del error tipo II, sino que los datos no aportan suficiente evidencia para dudar de su validez.
Este es el motivo por el que no se debe decir que se acepta la hipótesis nula: cuando \(H_0 \) es cierta, la probabilidad de equivocarnos al rechazar es muy pequeña, \(\alpha \), y está acotada; pero cuando \(H_0 \) es falsa, la probabilidad de equivocarnos al aceptar es elevada y no la podemos controlar porque no podemos calcularla.
Así, sería más correcto decir que no existen evidencias significativas para rechazar \(H_0 \) que decir que aceptamos tal hipótesis.
Cuando no la rechazamos, es porque no hay evidencias de lo contrario, no porque tengamos una gran seguridad de ello y, de cualquier forma, no podríamos dar una medida de la probabilidad de equivocarnos.
Son expresiones correctas: no se rechaza \(H_0 \); no hay evidencias significativas para rechazar que la media vale cuarenta; los datos son compatibles con la hipótesis nula.
Son expresiones incorrectas o engañosas: se acepta \(H_0 \); se ha demostrado que la media vale cuarenta; la hipótesis nula es cierta con probabilidad uno menos alfa.
Obsérvese que no rechazar no prueba nada: solo indica que la muestra no ha aportado pruebas suficientes en contra.
Se contrasta si la longitud media de las hojas del jacarandá es de cuarenta centímetros con nivel de significación cero coma cero cinco.
El test no rechaza la hipótesis nula.
Interpreta correctamente el resultado y explica por qué sería incorrecto afirmar que la longitud media es exactamente de cuarenta centímetros.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos traduciendo el resultado del test al lenguaje de la evidencia significativa.
A continuación explicaremos el papel del nivel de significación en la decisión.
Para terminar justificaremos por qué no puede afirmarse que la media sea exactamente cuarenta.
Interpretación correcta.
La conclusión correcta es: con un nivel de significación de cero coma cero cinco, no existen evidencias significativas para rechazar que la longitud media de las hojas sea de cuarenta centímetros.
Los datos de la muestra son compatibles con esa hipótesis.
Papel del nivel de significación.
El nivel \(\alpha = 0,05 \) significa que, si la media fuera realmente cuarenta, la probabilidad de haber rechazado erróneamente la hipótesis nula sería como máximo del cinco por ciento.
Es una garantía sobre el error tipo I, no una medida de certeza sobre la hipótesis.
Por qué no puede afirmarse la igualdad exacta.
Afirmar que la media es exactamente cuarenta equivaldría a aceptar \(H_0 \), y el error que se cometería al hacerlo, el error tipo II, no está controlado: podría ser grande.
La muestra podría ser compatible con cuarenta y también con treinta y nueve o con cuarenta y uno.
No rechazar no demuestra que la hipótesis sea cierta; solo indica falta de evidencias en contra.
En un contraste con \(\alpha = 0,01 \) se rechaza la hipótesis nula.
Explica qué significa ese rechazo y qué error podría haberse cometido.
Explicación:
Para resolver este ejercicio empezaremos interpretando el rechazo en términos de evidencia significativa.
A continuación identificaremos el error posible y su probabilidad máxima.
Significado del rechazo.
Rechazar \(H_0 \) con \(\alpha = 0,01 \) significa que los datos aportan evidencias significativas en contra de la hipótesis nula: la discrepancia observada es tan grande que resulta muy poco probable bajo \(H_0 \)
Se admite entonces la hipótesis alternativa \(H_1 \)
Error posible.
El único error que puede haberse cometido al rechazar es el error tipo I: que \(H_0 \) fuera cierta y la muestra, por azar, haya resultado extrema.
Pero la probabilidad de este error está acotada por \(\alpha \), es decir, es como máximo del uno por ciento.
Por eso el rechazo es una conclusión fuerte: viene acompañada de una medida del error.
Se contrasta \(H_0: \mu = 40 \) frente a \(H_1: \mu \neq 40 \) con una muestra de \(n = 25 \) observaciones de una población normal con \(\sigma = 3,5 \) conocida, y nivel de significación \(\alpha = 0,05 \)
Calcula la potencia del test si el verdadero valor de la media es \(\mu = 42 \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la regla de decisión en términos de la media muestral, usando el estadístico tipificado con varianza conocida.
A continuación calcularemos la distribución de la media muestral cuando la verdadera media es cuarenta y dos.
Para terminar calcularemos la probabilidad de rechazar bajo esa realidad, que es la potencia, y deduciremos la probabilidad del error tipo II.
Regla de decisión en términos de la media muestral.
El test rechaza \(H_0 \) cuando $$\left|\frac{\bar{X} - 40}{3,5/\sqrt{25}}\right| > 1,96 $$, es decir, cuando \(|\bar{X} - 40| > 1,96 \cdot 0,7 = 1,372 \)
La región crítica para \(\bar{X} \) es, por tanto, \(\bar{X} < 38,628 \) o \(\bar{X} > 41,372 \)
Distribución de la media muestral bajo la realidad alternativa.
Si la verdadera media es \(\mu = 42 \), entonces \(\bar{X} \sim N(42; 0,7) \)
La potencia es la probabilidad de que \(\bar{X} \) caiga en la región crítica bajo esta distribución:
Cálculo de la potencia y del error tipo II.
Tipificando con media \(42 \) y desviación \(0,7 \):
El otro sumando es $$P\left(Z < \frac{38,628 - 42}{0,7}\right) = P(Z < -4,82) \approx 0 $$, despreciable.
Por tanto la potencia es \(1 - \beta = 0,815 \) y la probabilidad del error tipo II es \(\beta = 0,185 \)
Conclusión:
Si la verdadera media es \(42 \), el test detecta la discrepancia con probabilidad \(0,815 \)
La potencia depende de lo lejos que esté la realidad de la hipótesis nula y del tamaño muestral: con más datos, la misma diferencia se detectaría con mayor probabilidad.