9.1 Conceptos básicos de contrastes

9.1 Conceptos básicos de los contrastes de hipótesis En esta sección presentaremos el lenguaje básico de los contrastes de hipótesis, la herramienta de la inferencia estadística que permite decidir, a partir de los datos de una muestra, si una afirmación sobre la población puede considerarse cierta o debe rechazarse. Empezaremos definiendo qué es una hipótesis estadística. A continuación definiremos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, con varios ejemplos de Biología. Después distinguiremos entre contrastes bilaterales y unilaterales. Para terminar introduciremos la idea de test como regla de decisión y los dos tipos de error que pueden cometerse al decidir, con la forma de cuantificarlos mediante probabilidades, y resolveremos tres ejemplos: la formulación de hipótesis, la identificación de los errores tipo I y tipo II y la elección entre contraste bilateral y unilateral. 1. La hipótesis estadística. En esta sección aprenderemos el lenguaje de los contrastes: afirmar que la longitud media de las hojas del jacarandá es \(40\) centímetros es una hipótesis estadística, y un test es la regla que decide, a partir de una muestra, si los datos la respaldan o la rechazan. Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la distribución de una o más variables aleatorias. Por ejemplo, afirmar que la longitud media de las hojas del jacarandá es de cuarenta centímetros es una hipótesis estadística, porque versa sobre la distribución de la variable aleatoria \(X\) igual a la longitud de la hoja. Afirmar que dos variables son independientes también es una hipótesis estadística. 2. Hipótesis nula y alternativa. Un problema de contraste de hipótesis implica siempre dos hipótesis. La hipótesis nula, que se denota \(H_0\), es la que se toma como referencia y se estudia si puede considerarse cierta. La hipótesis alternativa, que se denota \(H_1\), es la hipótesis que se admite cuando \(H_0\) es rechazada. Ejemplo: Si un biólogo quiere contrastar si la longitud media de las hojas del jacarandá es de cuarenta centímetros, las hipótesis son \(H_0: \mu = 40\) y \(H_1: \mu \neq 40\), donde \(\mu\) es la media de la variable \(X\) igual a la longitud de la hoja. Ejemplo: Si se quiere decidir si existe diferencia entre las precisiones de dos modelos de microscopio óptico, la precisión viene determinada por la variabilidad de las mediciones, luego las hipótesis son \(H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2\) y \(H_1: \sigma_X^2 \neq \sigma_Y^2\), donde \(X\) e \(Y\) recogen las medidas de cada modelo. Ejemplo: Si se estudia si un medicamento es efectivo y \(X\) es la reducción de la temperatura, con \(X\) normal de media \(\mu\), las hipótesis son \(H_0: \mu = 0\) y \(H_1: \mu > 0\) Las hipótesis no tienen por qué ser exhaustivas: lo esencial es que \(H_0\) sea la afirmación de referencia que se somete a prueba. 3. Contrastes bilaterales y unilaterales. Si \(\theta\) es el parámetro estudiado, los pares de hipótesis siguientes proporcionan contrastes bilaterales y unilaterales. El contraste bilateral es \(H_0: \theta = \theta_0\) frente a \(H_1: \theta \neq \theta_0\): se rechaza \(H_0\) tanto si el parámetro es mayor como si es menor que \(\theta_0\) Los contrastes unilaterales son \(H_0: \theta = \theta_0\) frente a \(H_1: \theta > \theta_0\), llamado unilateral derecho, y \(H_0: \theta = \theta_0\) frente a \(H_1: \theta < \theta_0\), llamado unilateral izquierdo. La elección entre bilateral y unilateral depende de la pregunta científica: en el ejemplo del medicamento se usa unilateral derecho porque solo interesa detectar si el medicamento reduce la temperatura, es decir, si \(\mu > 0\) Ejemplo: Si un laboratorio quiere comprobar si una máquina dosifica exactamente \(500\) gramos, plantea el contraste bilateral \(H_0: \mu = 500\) frente a \(H_1: \mu \ne 500\), pues le preocupan desviaciones en ambos sentidos. Si, en cambio, solo le preocupa que la máquina dosifique de menos, usará el unilateral izquierdo \(H_1: \mu < 500\) 4. El test como regla de decisión. Para la media \(\mu\) de la longitud de la hoja, el contraste bilateral es \(H_0: \mu = 40\) frente a \(H_1: \mu \neq 40\): se rechaza tanto si la media es mayor como si es menor. El contraste unilateral derecho \(H_0: \mu \leq 40\) frente a \(H_1: \mu > 40\) solo rechaza si la media es mayor. Una vez definidas las hipótesis, hay que hallar una medida de la discrepancia entre los datos de la experimentación y la hipótesis nula \(H_0\), de modo que si la discrepancia es muy grande se rechace tal hipótesis y en caso contrario se tome como válida. Un test, prueba o contraste de hipótesis es una regla para decidir cuándo rechazar \(H_0\) En el ejemplo del jacarandá, con \(H_0: \mu = 40\), lo lógico es recoger una muestra de hojas y calcular su media muestral \(\bar{x}\) Si \(\bar{x} = 39\) no hay evidencias de que la media no sea cuarenta. En cambio, si \(\bar{x} = 25\) no es lógico pensar que \(\mu = 40\) El test de hipótesis nos ayudará a decidir el margen admisible: ¿qué pasa si \(\bar{x} = 37\) o si \(\bar{x} = 35\)? 5. Errores tipo I y tipo II. Con \(H_0: \mu = 40\), se mide una muestra de hojas y se calcula su media \(\bar{x}\) Si \(\bar{x}\) está muy lejos de \(40\), la discrepancia es grande y se rechaza \(H_0\); si está cerca, se mantiene: esa es la regla de decisión del test. Al trabajar con muestras y no con poblaciones completas, hay que asumir la posibilidad de cometer errores al extraer conclusiones. Se denomina error tipo I al error que se comete al rechazar \(H_0\) siendo cierta. Se denomina error tipo II al error que se comete al aceptar \(H_0\) siendo falsa. La tabla de situaciones posibles es la siguiente. \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline ~ & \text{Se rechaza} H_0 & \text{No se rechaza} H_0 \\ \hline H_0 \text{cierta} & \text{Error tipo I} & \text{Decisión correcta} \\ \hline H_0 \text{falsa} & \text{Decisión correcta} & \text{Error tipo II} \\ \hline \end{array}\) Si la realidad es que \(H_0\) es cierta y la regla decide rechazar \(H_0\), se comete un error tipo I; si decide aceptar \(H_0\), la decisión es correcta. Si la realidad es que \(H_0\) es falsa y la regla decide rechazar \(H_0\), la decisión es correcta; si decide aceptar \(H_0\), se comete un error tipo II. Estos errores se deben a que las decisiones se toman a partir de muestras aleatorias, constituidas por variables aleatorias, y pueden cuantificarse con probabilidades: la probabilidad del error tipo I es la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es cierta, y la probabilidad del error tipo II es la probabilidad de aceptar \(H_0\) cuando \(H_1\) es cierta. En el ejemplo del jacarandá, si \(\bar{x} = 25\) tendremos una fuerte sospecha de que la longitud media no es de cuarenta centímetros. Pero aun siendo \(\mu = 40\), ese valor puede ocurrir aunque sea poco probable: si rechazamos la hipótesis nula cometeríamos un error tipo I. De igual forma, si obtuviéramos \(\bar{x} = 39\), lo lógico es pensar que es admisible considerar \(\mu = 40\), pero siendo \(\mu \neq 40\) también puede darse esta situación: en ese caso cometeríamos un error tipo II al no rechazar \(H_0\) Ejemplo 1: Formulación de hipótesis para la tasa metabólica basal. Un investigador quiere saber si la tasa metabólica basal media de una especie de roedor es de doscientos kilojulios por día. Fórmula las hipótesis nula y alternativa e indica si el contraste es bilateral o unilateral. Después fórmula las hipótesis para estudiar si un nuevo pienso aumenta dicha tasa metabólica.