4.1.12 0.6 Probabilidad de la diferencia de conjuntos
FÓRMULA DE LA PROBABILIDAD DE LA DIFERENCIA
La probabilidad de que ocurra el suceso \(A \) y no ocurra \(B \) (denotada \(P(A \setminus B) \) o \(P(A \cap \bar{B}) \)) es:
Análogamente: $$P(B \setminus A) = P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) $$
Si \(P(A) = 0,8 \) y \(P(A \cap B) = 0,5 \), la probabilidad de que ocurra \(A \) pero no \(B \) es \(P(A \setminus B) = 0,8 - 0,5 = 0,3 \): a \(A \) se le quita su parte común con \(B \)
OCURRENCIA DE EXACTAMENTE UNO DE LOS SUCESOS
La probabilidad de que se verifique únicamente uno de los dos sucesos (diferencia simétrica) se obtiene sumando las dos diferencias disjuntas:
Con \(P(A) = 0,6 \), \(P(B) = 0,5 \) y \(P(A \cap B) = 0,2 \), la probabilidad de que ocurra exactamente uno es \(0,6 + 0,5 - 2 \cdot 0,2 = 0,7 \)
Sabiendo que \(P(A) = 0,7 \) y \(P(A \cap B) = 0,2 \), calcula la probabilidad de que ocurra el suceso \(A \) pero no ocurra el suceso \(B \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por expresar "ocurre \(A \) pero no \(B \)" como la intersección de \(A \) con el complementario de \(B \). A continuación descompondremos el suceso A en dos partes disjuntas, la parte común con B y la parte exclusiva de A, para deducir la fórmula de la diferencia.
Para terminar despejaremos la probabilidad de la diferencia y sustituiremos los valores.
El suceso pedido como diferencia de conjuntos.
Que ocurra \(A \) pero no ocurra \(B \) significa que ocurre \(A \) y a la vez ocurre el complementario de \(B \):
Descomposición de A en partes disjuntas.
El suceso \(A \) se puede partir en dos trozos que no se solapan: la parte que comparte con \(B \), que es \(A \cap B \), y la parte exclusiva de \(A \), que es \(A \cap \bar{B} \)
Al ser disjuntos, por el tercer axioma de la probabilidad:
Despejando la probabilidad de la diferencia:
Sustitución de los valores.
La probabilidad de que ocurra A pero no B es 0,5.
Sean dos sucesos \(A \) y \(B \) con \(P(A) = 0,7 \) y \(P(A \cap B) = 0,3 \)
Calcula la probabilidad de que ocurra A y no ocurra B.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la fórmula de la probabilidad de la diferencia, que se deduce de partir el suceso A en su parte común con B y su parte exclusiva.
A continuación sustituiremos directamente los valores del enunciado.
Para terminar realizaremos la resta y comprobaremos la coherencia del resultado con la monotonía de la probabilidad.
Fórmula de la probabilidad de la diferencia.
Como \(A = (A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B) \) es una unión de dos sucesos disjuntos, el tercer axioma de la probabilidad da \(P(A) = P(A \cap \bar{B}) + P(A \cap B) \), de donde despejando:
Sustitución de los valores y cálculo.
Como \(A \cap \bar{B} \subset A \), por monotonía debe cumplirse \(P(A \cap \bar{B}) \le P(A) \), y en efecto \(0,4 \le 0,7 \): el resultado es coherente.
La probabilidad de que ocurra A y no B es 0,
4.
Sean dos sucesos \(A \) y \(B \) con \(P(A) = 0,6 \), \(P(B) = 0,5 \) y \(P(A \cap B) = 0,25 \)
Calcula la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar que "exactamente uno" es la diferencia simétrica de los dos sucesos, formada por dos trozos disjuntos.
A continuación calcularemos por separado la probabilidad de que ocurra solo A y la probabilidad de que ocurra solo B con la fórmula de la diferencia.
Para terminar sumaremos ambas probabilidades, ya que los dos trozos son disjuntos.
Probabilidad de que ocurra solo A.
"Que ocurra solo \(A \)" es la diferencia \(A \setminus B \)
Aplicando la fórmula de la diferencia:
Probabilidad de que ocurra solo B.
Análogamente, "que ocurra solo \(B \)" es la diferencia \(B \setminus A \):
Suma de las dos diferencias disjuntas.
El suceso "exactamente uno de los dos" es la diferencia simétrica $$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$, unión de dos sucesos disjuntos.
Por el tercer axioma de la probabilidad:
La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos es 0,
6
0.
Sean A y B dos sucesos independientes con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,
2.
Calcula la probabilidad de que ocurra A pero no ocurra B.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la probabilidad de la intersección usando la caracterización de la independencia como producto de probabilidades.
A continuación aplicaremos la fórmula de la probabilidad de la diferencia.
Para terminar comprobaremos que el resultado coincide con el producto de P(A) por la probabilidad del complementario de B, propiedad que se conserva bajo independencia.
Probabilidad de la intersección por independencia.
Al ser \(A \) y \(B \) independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades:
Aplicación de la fórmula de la diferencia.
Comprobación con el complementario.
Si \(A \) y \(B \) son independientes, también lo son \(A \) y \(\bar{B} \), de modo que debe cumplirse \(P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \)
En efecto:
que coincide con el resultado del Paso
2.
La probabilidad de que ocurra A pero no B es 0,4.
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En una encuesta de mercado sobre dos plataformas de streaming \(A \) y \(B \), se conoce que el \(60\% \) de los usuarios está suscrito a la plataforma A (\(P(A) = 0,60 \)), el \(50\% \) a la plataforma B (\(P(B) = 0,50 \)) y el \(35\% \) está suscrito a ambas simultáneamente (\(P(A \cap B) = 0,35 \)).
Calcula:
a) La probabilidad de que un usuario esté suscrito exclusivamente a la plataforma A.
b) La probabilidad de que esté suscrito exclusivamente a la plataforma B.
c) La probabilidad de que esté suscrito a exactamente una de las dos plataformas.
Para resolver este ejercicio utilizaremos la definición operativa de la diferencia de conjuntos en términos de probabilidad.
Restaremos la probabilidad de la intersección a cada probabilidad individual para obtener la probabilidad de los sucesos exclusivos, y sumaremos ambos resultados para obtener la exclusividad total.
Probabilidad de exclusividad en A (diferencia A menos B).
El suceso "estar suscrito solo a A" es \(A \setminus B \):
Probabilidad de exclusividad en B (diferencia B menos A).
El suceso "estar suscrito solo a B" es \(B \setminus A \):
Probabilidad de estar suscrito exactamente a una plataforma.
Corresponde a la unión disjunta de ambas diferencias:
El 25% de los usuarios está suscrito solo a la plataforma A, el 15% solo a la plataforma B, y el 40% está suscrito a exactamente una de las dos plataformas.