Asintotas oblicuas

Question

Ecuación y fórmulas de la asíntota oblicua

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio
  
    1. Ecuación y fórmulas de la asíntota oblicua La recta $y = mx + n ,\ \text{con}\ m \neq 0$, es asíntota oblicua de $f$ si la distancia vertical entre la curva y la recta tiende a cero cuando $x \to \pm\infty$ Los coeficientes se obtienen con estos dos límites, calculados para cada extremo por separado: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$ Para que exista la asíntota oblicua, ambos límites deben ser finitos y cumplirse $m \neq 0$: si resulta $m = 0$, la asíntota es horizontal, y si $m = \pm\infty$, no hay asíntota oblicua sino una rama parabólica. En las funciones racionales hay asíntota oblicua si y solo si el grado del numerador supera en exactamente una unidad al grado del denominador, y en ese caso la recta coincide con el cociente entero de la división polinómica. Una asíntota oblicua no puede coexistir con una horizontal en el mismo extremo. Ejemplo: Para $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$: $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ y $n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, luego $y = x$ es asíntota oblicua. Ejemplo 1: Asíntota oblicua por división polinómica Halla la asíntota oblicua de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el grado del numerador supera en uno al del denominador, condición que garantiza la asíntota oblicua. A continuación efectuaremos la división polinómica, cuyo cociente entero es la ecuación de la asíntota. Para terminar verificaremos el resultado con las fórmulas de $m$ y $n$

PASO 1
División polinómica.
Dividimos $x^2 + 1$ entre $x - 1$:
$$\frac{x^2 + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}$$
El cociente entero es $x + 1$ y el resto dividido por el divisor tiende a cero en el infinito.

PASO 2
Verificación con las fórmulas.

$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1$$
  $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\frac{x^2 + 1}{x - 1} - x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$$

Conclusión
La asíntota oblicua es la recta $y = x + 1$, válida en ambos extremos.

Ejemplo 2: Asíntota oblicua con asíntota vertical y posición relativa
  
Estudia las asíntotas de $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 2}$ e indica la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua.
Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por buscar la asíntota vertical en el cero del denominador. A continuación obtendremos la asíntota oblicua mediante la división polinómica. Para terminar estudiaremos el signo del resto, que indica si la curva va por encima o por debajo de la asíntota en cada extremo.

PASO 1
Asíntota vertical.
El denominador se anula en $x = -2$ y el numerador vale $4 + 6 + 2 = 12 \neq 0$, luego la recta $x = -2$ es asíntota vertical.

PASO 2
Asíntota oblicua.
El grado del numerador supera en uno al del denominador. Dividimos:
$$\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 2} = (x - 5) + \frac{12}{x + 2}$$
Comprobación: $(x + 2)(x - 5) + 12 = x^2 - 3x - 10 + 12 = x^2 - 3x + 2$ La asíntota oblicua es $y = x - 5$

PASO 3
Posición relativa.
$$f(x) - (x - 5) = \frac{12}{x + 2}$$
Hacia $+\infty$ el denominador es positivo y la curva va por encima de la asíntota; hacia $-\infty$ el denominador es negativo y la curva va por debajo.

Conclusión
La función tiene asíntota vertical $x = -2$ y asíntota oblicua $y = x - 5$; la curva se acerca a la oblicua por encima hacia $+\infty$ y por debajo hacia $-\infty$

Ejemplo 3: Asíntota oblicua que pasa por el origen
  
Halla la asíntota oblicua de $f(x) = \frac{2x^3 - x}{x^2 + 1}$ y estudia la posición relativa.
Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar las fórmulas de $m$ y $n$, ya que la división polinómica también es posible pero los límites son directos. A continuación interpretaremos el valor obtenido para $n$ Para terminar estudiaremos el signo de la diferencia entre la función y la asíntota.

PASO 1
Cálculo de $m$
$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3 - x}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3 - x}{x^3 + x} = 2$$

PASO 2
Cálculo de $n$
$$n = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\frac{2x^3 - x}{x^2 + 1} - 2x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3x}{x^2 + 1} = 0$$
La asíntota oblicua es $y = 2x$, una recta que pasa por el origen.

PASO 3
Posición relativa.
$$f(x) - 2x = \frac{-3x}{x^2 + 1}$$
El denominador es siempre positivo. Hacia $+\infty$ el numerador es negativo y la curva va por debajo de la asíntota; hacia $-\infty$ el numerador es positivo y la curva va por encima.

Conclusión
La asíntota oblicua es $y = 2x$ en ambos extremos; la curva se acerca por debajo hacia $+\infty$ y por encima hacia $-\infty$

Ejemplo 4: Estudio completo de una función racional con dos asíntotas
  
Realiza el estudio de asíntotas de $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$: asíntota vertical con sus laterales, asíntota oblicua y posición relativa.
Explicación
Para resolver este ejercicio empezaremos por la asíntota vertical, calculando los límites laterales en el cero del denominador. A continuación hallaremos la asíntota oblicua con la división polinómica. Para terminar determinaremos por dónde se acerca la curva a la oblicua en cada extremo.

PASO 1
Asíntota vertical y laterales.
El denominador se anula en $x = 1$ y el numerador vale $1 + 2 = 3 \neq 0$:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{3}{0^-} = -\infty$$
  $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty$$

La recta $x = 1$ es asíntota vertical.

PASO 2
Asíntota oblicua.
$$\frac{x^2 + 2x}{x - 1} = (x + 3) + \frac{3}{x - 1}$$
Comprobación: $(x - 1)(x + 3) + 3 = x^2 + 2x - 3 + 3 = x^2 + 2x$ La asíntota oblicua es $y = x + 3$

PASO 3
Posición relativa respecto a la oblicua.
$$f(x) - (x + 3) = \frac{3}{x - 1}$$
Hacia $+\infty$ la diferencia es positiva y la curva va por encima; hacia $-\infty$ es negativa y la curva va por debajo.

Conclusión
La función tiene asíntota vertical $x = 1$ (con laterales $-\infty$ y $+\infty$) y asíntota oblicua $y = x + 3$, a la que se acerca por encima hacia $+\infty$ y por debajo hacia $-\infty$

Ejemplo 5: Asíntota oblicua en función irracional cuadrática
  
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 1}$ cuando $x \to +\infty$
Explicación
Para resolver este ejercicio calcularemos la pendiente m dividiendo la función entre x y tomando el límite en más infinito. A continuación obtendremos la ordenada en el origen n calculando el límite de la diferencia f(x) - mx, multiplicando y dividiendo por el conjugado para salvar la indeterminación infinito menos infinito.

PASO 1
Cálculo de la pendiente m.
$$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4x + 1}}{x}$$
Como $x > 0$, introducimos $x$ dentro de la raíz como $x^2$:
$$m = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2 + 4x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{1 + 0 + 0} = 1$$

PASO 2
Cálculo de la ordenada en el origen n.
$$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 4x + 1} - x\right)$$
Se presenta la indeterminación $\infty - \infty$. Multiplicamos y dividimos por el binomio conjugado:

$$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 4x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 4x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 4x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + x}$$
  $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 1}{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + x}$$

Dividimos numerador y denominador entre $x$:
$$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{4 + 0}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

PASO 3
Ecuación de la asíntota oblicua.
Sustituimos $m = 1$ y $n = 2$ en la ecuación de la recta $y = mx + n$:
$$y = x + 2$$

Conclusión
La recta de ecuación $y = x + 2$ es la asíntota oblicua de la función cuando $x \to +\infty$

3.3.3 Asintotas oblicuas

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