3.6.3 Derivada de una constante y de una potencia
Derivada de una constante
Si \(f(x) = k \), donde \(k \) es un número real fijo, la función no varía nunca y su tasa de cambio es nula.
Aplicando la definición:
Por tanto, la derivada de cualquier constante es cero. ¡Cuidado! El número \(e \) es una constante (vale aproximadamente \(2,718 \)), así que la derivada de \(f(x) = e \) es cero, no \(e^x \)
La derivada de cualquier constante es nula: \((7)' = 0 \), porque la función no varía nunca.
Derivada de la potencia
Para \(n \) un número natural, la derivada de \(f(x) = x^n \) es:
Es decir, el exponente baja multiplicando y el nuevo exponente es una unidad menor.
La demostración para \(n \) natural se hace por inducción (ver ejemplo 5) y la fórmula se extiende a exponentes enteros, racionales y reales.
Aplicando la regla de la potencia: \((x^5)' = 5x^4 \)
Potencias con exponentes negativos y fraccionarios
La misma fórmula \((x^r)' = r x^{r-1} \) vale para \(r \) entero negativo o fraccionario.
Antes de derivar conviene reescribir las raíces y los denominadores como potencias: \(\frac{1}{x^n} = x^{-n} \) y \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n} \)
Reescribiendo como potencias: $$\left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} $$ y $$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{x} } $$
Deriva \(f(x) = 7 \), \(g(x) = \pi \) y \(h(x) = e \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar que las tres funciones son constantes.
A continuación aplicaremos la regla de la derivada de una constante a cada una.
Para terminar recordaremos el caso especial del número \(e \)
Aplicación de la regla.
Como \(7 \), \(\pi \) y \(e \) son números fijos que no dependen de \(x \):
La derivada de cualquier constante es cero; en particular, la derivada de la función constante \(h(x) = e \) es \(0 \)
Deriva \(f(x) = x^6 \) y \(g(x) = x \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la potencia a cada función.
A continuación escribiremos el resultado.
Para terminar observaremos el caso particular del exponente uno.
Aplicación de la fórmula.
\((x^6)' = 6x^5 \) y, como caso particular, \((x)' = 1 \)
Deriva \(f(x) = \frac{1}{x^3} \) y \(g(x) = \sqrt{x} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por reescribir cada función como una potencia.
A continuación aplicaremos la fórmula de la derivada de la potencia.
Para terminar expresaremos el resultado en forma de fracción o raíz.
Reescritura como potencias.
Derivación.
\(\left(\frac{1}{x^3}\right)' = -\frac{3}{x^4} \) y \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x} } \), válida para \(x > 0 \)
Deriva y simplifica \(f(x) = \frac{x^4 + 3x\sqrt{x}}{x^2} \) para \(x > 0 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por simplificar la fracción escribiendo cada término como una potencia de \(x \)
A continuación derivaremos término a término.
Para terminar expresaremos el resultado con raíces.
Simplificación previa.
Dividimos cada término del numerador entre \(x^2 \) y usamos que \(3x\sqrt{x} = 3x \cdot x^{1/2} = 3x^{3/2} \):
Derivación término a término.
La derivada simplificada es \(f'(x) = 2x - \frac{3}{2x\sqrt{x} } \) para \(x > 0 \)
Demuestra por inducción que \((x^n)' = nx^{n-1} \) para todo \(n \) natural.
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar la fórmula para \(n = 1 \)
A continuación supondremos que es cierta para \(n \) y la probaremos para \(n+1 \) usando la regla del producto.
Para terminar concluiremos por el principio de inducción.
Caso base \(n = 1 \)
\((x^1)' = (x)' = 1 = 1 \cdot x^{0} \), luego la fórmula se cumple.
Paso inductivo.
Suponemos cierta la hipótesis \((x^n)' = nx^{n-1} \) y derivamos \(x^{n+1} = x^n \cdot x \) con la regla del producto:
Por el principio de inducción, la fórmula \((x^n)' = nx^{n-1} \) es válida para todo \(n \) natural.