4.1.11 Probabilidad del complementario

FÓRMULA FUNDAMENTAL DEL COMPLEMENTARIO

Dado que $A $ y $\bar{A} $ son incompatibles y su unión es el espacio seguro ($A \cup \bar{A} = E $):

$$P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}) = P(E) = 1 $$

Despejando la probabilidad del complementario:

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Ejemplo:

Si la probabilidad de que llueva mañana es $0,3 $, la de que no llueva es $1 - 0,3 = 0,7 $: el suceso «no llover» es el complementario de «llover».

LA ESTRATEGIA DE "AL MENOS UNO"

El cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos un suceso entre varios suele ser sumamente complejo si se calcula directamente.

La regla del complementario proporciona un atajo extraordinario:

$$P(\text{al menos un éxito}) = 1 - P(\text{ningún éxito}) $$

Ejemplo:

La probabilidad de obtener al menos un 6 en dos lanzamientos es $$1 - P(\text{ningún 6}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0,306 $$: mucho más corto que sumar los casos «exactamente uno» y «exactamente dos».

Ejemplo 1: Probabilidad de obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos

Lanzamos un dado equilibrado 4 veces.

Calcula la probabilidad de obtener al menos un seis.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por observar que el cálculo directo de "al menos un seis" exigiría sumar las probabilidades de obtener exactamente uno, dos, tres y cuatro seises, lo cual es muy laborioso.

A continuación aplicaremos la estrategia del suceso contrario: calcular la probabilidad de no obtener ningún seis, que es mucho más sencilla porque los lanzamientos son independientes.

Para terminar obtendremos la probabilidad pedida restando de uno con la fórmula del complementario.

PASO 1

Probabilidad del suceso contrario.

El suceso contrario de "al menos un seis" es "no obtener ningún seis en los 4 lanzamientos".

Los lanzamientos son independientes y en cada uno la probabilidad de no obtener un seis es $\frac{5}{6} $

Por la regla de la multiplicación para sucesos independientes:

$$P(\text{ningún 6}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0,4823 $$

PASO 2

Aplicación de la fórmula del complementario.

Un suceso y su contrario son incompatibles y su unión es el espacio seguro, de modo que $P(A) + P(\bar{A}) = 1 $, de donde $P(A) = 1 - P(\bar{A}) $

Aplicando esta fórmula al suceso "al menos un seis":

$$P(\text{al menos un 6}) = 1 - P(\text{ningún 6}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0,5177 $$

Conclusión

La probabilidad de obtener al menos un seis en 4 lanzamientos es $\frac{671}{1296} \approx 0,5177 $, es decir, un 51,77 %.

Ejemplo 2: Probabilidad de no obtener un seis en un lanzamiento

Al lanzar un dado equilibrado, calcula la probabilidad de no obtener un seis.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar el suceso y su contrario.

A continuación calcularemos la probabilidad del suceso directo con la regla de Laplace.

Para terminar aplicaremos la fórmula del complementario.

PASO 1

Suceso directo y su probabilidad.

Sea $A $ el suceso "obtener un seis".

El dado tiene 6 resultados equiprobables y solo uno es favorable, luego por la regla de Laplace:

$$P(A) = \frac{1}{6} $$

PASO 2

Aplicación de la fórmula del complementario.

El suceso pedido, "no obtener un seis", es el complementario $\bar{A} $

Como $A \cup \bar{A} = E $ y ambos son incompatibles, se cumple $P(\bar{A}) = 1 - P(A) $

Sustituyendo:

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,833 $$

Conclusión

La probabilidad de no obtener un seis es $\frac{5}{6} \approx 0,833 $

Ejemplo 3: El problema clásico de los dados del caballero de Méré

Calcula la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 dados equilibrados, el famoso problema que el caballero de Méré planteó a Pascal en el siglo XVII.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por definir el suceso contrario, cuya probabilidad es directa gracias a la independencia de los lanzamientos.

A continuación calcularemos la probabilidad de no obtener ningún seis desarrollando el producto de las cuatro probabilidades.

Para terminar aplicaremos la fórmula del complementario para obtener la probabilidad de "al menos un seis".

PASO 1

El suceso contrario y su probabilidad.

El suceso contrario de "al menos un seis" es "no obtener ningún seis en los 4 lanzamientos".

En cada lanzamiento la probabilidad de no obtener un seis es $\frac{5}{6} $ y los lanzamientos son independientes, de modo que por la regla de la multiplicación:

$$P(\text{ningún 6}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0,482 $$

PASO 2

Fórmula del complementario.

$$P(\text{al menos un 6}) = 1 - P(\text{ningún 6}) = 1 - 0,482 = 0,518 $$

Conclusión

La probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 dados es 0,518, es decir, un 51,8 %. Es apenas superior al 50 %, lo que explica por qué el caballero de Méré, que apostaba a este suceso, ganaba a la larga.

Ejemplo 4: Combinación del complementario con las leyes de De Morgan

Sabiendo que P(A unión B) = 0,85, calcula la probabilidad de que no ocurra ni A ni B, es decir, P(A complementario intersección B complementario).

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por traducir "que no ocurra ni A ni B" al lenguaje de sucesos.

A continuación aplicaremos la primera ley de De Morgan para transformar la intersección de complementarios en el complementario de la unión.

Para terminar usaremos la fórmula del complementario con el dato del enunciado.

PASO 1

Traducción del enunciado al lenguaje de sucesos.

"Que no ocurra $A $" es el suceso complementario $\bar{A} $ y "que no ocurra $B $" es $\bar{B} $

Que no ocurra ninguno de los dos es la intersección de ambos complementarios:

$$\bar{A} \cap \bar{B} $$

PASO 2

Aplicación de la primera ley de De Morgan.

La primera ley de De Morgan establece que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión:

$$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B} $$

Por tanto, la probabilidad pedida es la probabilidad del complementario de la unión:

$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) $$

PASO 3

Fórmula del complementario y cálculo final.

Aplicamos $P(\bar{S}) = 1 - P(S) $ al suceso $S = A \cup B $:

$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,85 = 0,15 $$

Conclusión

La probabilidad de que no ocurra ni A ni B es 0,15.

← Anterior Lección

Índice del Bloque

Siguiente Lección →

Ejemplo 5: Número mínimo de lanzamientos para asegurar un resultado mediante el complementario

¿Cuántas veces como mínimo se debe lanzar un dado cúbico equilibrado para que la probabilidad de obtener al menos un seis sea mayor o igual al $90\% $?

Explicación

Para resolver este ejercicio definiremos el suceso complementario de "obtener al menos un seis", que es "no obtener ningún seis en ninguno de los lanzamientos". Como los lanzamientos son independientes, calcularemos la probabilidad de la intersección y plantearemos una inecuación exponencial con logaritmos para despejar el número entero mínimo de tiradas.

PASO 1

Definición del suceso mediante el complementario.

Sea $n $ el número de lanzamientos del dado.

Sea el suceso $A $ = "obtener al menos un seis en $n $ tiradas".

El suceso complementario $\overline{A} $ es:

$$\overline{A} = \text{"no obtener ningún seis en las } n \text{ tiradas"} $$

PASO 2

Probabilidad del complementario en cada tirada.

En cada tirada individual de un dado de 6 caras:

$$P(\text{no seis}) = \frac{5}{6} $$

Como los lanzamientos son independientes:

$$P(\overline{A}) = \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

PASO 3

Expresión de la probabilidad de A.

Por la regla del suceso complementario:

$$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

PASO 4

Planteamiento de la inecuación.

Exigimos que $P(A) \ge 0,90 $:

$$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \ge 0,90 \implies \left(\frac{5}{6}\right)^n \le 1 - 0,90 = 0,10 $$

PASO 5

Resolución mediante logaritmos neperianos.

Tomamos logaritmos neperianos a ambos lados (recordando que $\ln(5/6) < 0 $, lo que invierte el sentido de la desigualdad al dividir):

$$\ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^n\right) \le \ln(0,10) $$

$$n \ln\left(\frac{5}{6}\right) \le \ln(0,10) \implies n \ge \frac{\ln(0,10)}{\ln(5/6)} $$

Evaluamos numéricamente:

$$\ln(0,10) \approx -2,302585 $$

$$\ln(5/6) = \ln(0,833333) \approx -0,182322 $$

$$n \ge \frac{-2,302585}{-0,182322} \approx 12,6289 $$

Como $n $ debe ser un número entero de tiradas, redondeamos al entero superior más cercano:

$$n = 13 \text{ lanzamientos} $$

Conclusión

Es necesario lanzar el dado al menos $13 $ veces consecutivas para garantizar con una certeza de al menos el $90\% $ que aparecerá como mínimo un seis ($P = 1 - (5/6)^{13} \approx 90,65\% $).