3.4.1 Continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo

Continuidad de una función en un punto

Una función $f $ es continua en $x = c $ si se cumplen simultáneamente tres condiciones: existe $f(c) $, es decir, el punto pertenece al dominio; existe el límite $\lim_{x \to c} f(x) $ y es finito, lo que equivale a que los dos límites laterales existan y coincidan; y el valor del límite coincide con el valor de la función:

$$\lim_{x \to c} f(x) = f(c) $$

Si falla cualquiera de las tres condiciones, la función es discontinua en ese punto.

En la práctica, con funciones definidas a trozos se comprueban los límites laterales uno a uno y se comparan con el valor puntual.

Ejemplo:

La función $f(x) = x^2 $ es continua en $x = 1 $: existe $f(1) = 1 $, existe $\lim_{x \to 1} x^2 = 1 $ y ambos coinciden.

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en el intervalo abierto $(a, b) $ si lo es en cada uno de sus puntos.

Es continua en el intervalo cerrado $[a, b] $ si lo es en $(a, b) $ y además es continua por la derecha en $a $ y por la izquierda en $b $, es decir:

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) $$

Ejemplo:

La función $f(x) = \frac{1}{x} $ es continua en el intervalo abierto $(0, +\infty) $, pero no es continua en el cerrado $[0, 1] $, porque no está definida en $0 $

Ejemplo 1: Continuidad de una función a trozos en el punto de empalme

Estudia la continuidad en $x = 1 $ de la función $$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x \le 1 \\ x^2 + 4 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio comprobaremos una a una las tres condiciones de la definición de continuidad en un punto.

Empezaremos por el valor de la función en el punto, seguiremos con los límites laterales y terminaremos comparando el límite con el valor puntual.

PASO 1

Valor de la función en el punto.

Como $x = 1 $ pertenece al primer trozo:

$$f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 $$

PASO 2

Límites laterales.

Por la izquierda usamos el primer trozo y por la derecha

el segundo:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 3) = 5 $$

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 4) = 5 $$

Ambos laterales coinciden, luego existe el límite global y vale $\lim_{x \to 1} f(x) = 5 $

PASO 3

Comparación.

Se cumple $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 5 $

Conclusión

La función es continua en $x = 1 $ porque verifica las tres condiciones de la definición.

Ejemplo 2: Continuidad lateral en el extremo de un intervalo

Estudia la continuidad de $f(x) = \sqrt{x} $ en el intervalo $[0, 4] $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que en el interior del intervalo la función es continua por ser una raíz en su dominio.

Después comprobaremos la continuidad lateral en los extremos del intervalo cerrado, que es lo único que queda por verificar.

PASO 1

Interior del intervalo.

En $(0, 4) $ la función $\sqrt{x} $ es continua en cada punto por ser una función elemental en su dominio.

PASO 2

Extremo izquierdo $x = 0 $

$f(0) = 0 $ y solo tiene sentido el lateral derecho:

$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0) $$

luego es continua por la derecha en $x = 0 $

PASO 3

Extremo derecho $x = 4 $

$f(4) = 2 $ y

$$\lim_{x \to 4^-} \sqrt{x} = 2 = f(4) $$

luego es continua por la izquierda en $x = 4 $

Conclusión

La función es continua en el intervalo cerrado $[0, 4] $

Ejemplo 3: Parámetro para lograr la continuidad

Halla el valor de $k $ para que la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} $$ sea continua en $x = 2 $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el valor de la función en el punto y el límite lateral derecho, que no dependen del parámetro.

A continuación calcularemos el límite lateral izquierdo, que sí depende de $k $

Para terminar igualaremos los tres valores, como exige la definición de continuidad.

PASO 1

Valor puntual y lateral derecho.

$$f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5 $$

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 5 $$

PASO 2

Límite lateral izquierdo.

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + k) = 4 + k $$

PASO 3

Igualación.

Para que sea continua debe cumplirse $4 + k = 5 $, de donde $k = 1 $

Conclusión

Con $k = 1 $ los dos laterales y el valor puntual valen 5, luego la función es continua en $x = 2 $

Ejemplo 4: Redefinir una función para hacerla continua

Estudia la continuidad en $x = 3 $ de $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x \neq 3 \\ k & \text{si } x = 3 \end{cases} $$ según el valor de $k $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la expresión racional, ya que el numerador y el denominador comparten un factor.

A continuación calcularemos el límite en el punto conflictivo.

Para terminar decidiremos para qué valor de $k $ se cumplen las tres condiciones de continuidad.

PASO 1

Simplificación.

Para $x \neq 3 $:

$$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$

PASO 2

Límite en $x = 3 $

$$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 $$

PASO 3

Comparación con $f(3) = k $

Si $k = 6 $, se cumple $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) $ y la función es continua.

Si $k \neq 6 $, falla la tercera condición y hay una discontinuidad evitable.

Conclusión

La función es continua en $x = 3 $ si y solo si $k = 6 $; con cualquier otro valor presenta una discontinuidad evitable.

Ejemplo 5: Dos parámetros en una función a trozos

Halla $a $ y $b $ para que sea continua en $x = 1 $ la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax & \text{si } x < 1 \\ b & \text{si } x = 1 \\ 2x + 3 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite lateral derecho, que no depende de los parámetros.

A continuación expresaremos el límite lateral izquierdo y el valor puntual en función de $a $ y $b $

Para terminar plantearemos el sistema que impone la definición de continuidad y lo resolveremos.

PASO 1

Límite lateral derecho.

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 3) = 5 $$

PASO 2

Límite lateral izquierdo y valor puntual.

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax) = 1 + a $$

$$f(1) = b $$

PASO 3

Sistema de continuidad.

Deben coincidir los tres valores:

$$1 + a = 5 \quad \text{y} \quad b = 5 $$

de donde $a = 4 $ y $b = 5 $

Conclusión

Con $a = 4 $ y $b = 5 $ la función es continua en $x = 1 $;

si $b \neq 5 $ habría una discontinuidad evitable, y si $a \neq 4 $ una de salto finito.