1.6.9 Discusión de sistemas con parámetros: SI
Repaso del método de discusión
Para discutir un sistema con parámetros se calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro y se iguala a cero.
Para los valores que anulan el determinante hay que estudiar los rangos de \(A \) y de \((A|B) \):
si coinciden, el sistema es compatible indeterminado;
si el de la ampliada es mayor, es incompatible.
En $$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases} $$, el valor crítico \(a = -1 \) da el sistema $$\begin{cases} -x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases} $$, donde hay que comparar los rangos de \(A \) y de \((A|B) \)
El caso incompatible
Si para un valor crítico del parámetro se cumple \(\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B) \), el sistema es incompatible: no tiene solución.
Al escalonar aparece una fila \((0, 0, \dots, 0 \mid k) \) con \(k \neq 0 \), es decir, el absurdo \(0 = k \)
Para \(a = -1 \) se tiene \(\text{rg}(A) = 1 < 2 = \text{rg}(A|B) \): el sistema es incompatible y no tiene solución.
Cómo se detecta con la matriz ampliada
La clave está en la columna de términos independientes: cuando una fila de coeficientes es combinación de otras, su término independiente debe ser la misma combinación para que el sistema sea compatible;
si no cuadra, el sistema es incompatible.
Con \(a = -1 \), al escalonar $$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ aparece la fila \((0, 0 \mid 2) \): la columna de términos independientes no respeta la combinación de las filas de coeficientes, y el sistema es incompatible.
En el sistema $$\begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = 1 \end{cases} $$, estudia el caso \(m = -1 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por sustituir el valor del parámetro.
A continuación buscaremos la contradicción.
Para terminar clasificaremos el sistema.
Sustitución del parámetro.
Para \(m = -1 \) el sistema es $$\begin{cases} -x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases} $$
Búsqueda de la contradicción.
Sumando las dos ecuaciones: \((-x + y) + (x - y) = 1 + 1 \), es decir, \(0 = 2 \), un absurdo.
En términos de rangos, \(\text{rg}(A) = 1 < 2 = \text{rg}(A|B) \)
Para \(m = -1 \) el sistema es incompatible, no tiene solución.
Clasifica el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - y + z = 3 \end{cases} $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por escalonar la matriz ampliada.
A continuación identificaremos la fila contradictoria.
Para terminar clasificaremos el sistema.
Escalonamiento.
Sustituimos la fila dos por la fila dos menos la fila uno:
La segunda fila es \((0, 0, 0 \mid 1) \), es decir, \(0 = 1 \)
Clasificación.
El sistema es incompatible, no tiene solución.
Discute el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + ay + 2z = 3 \end{cases} $$ según los valores de \(a \in \mathbb{R} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante en función del parámetro.
A continuación estudiaremos los rangos para los valores críticos.
Para terminar clasificaremos cada caso.
Determinante.
El determinante es idénticamente nulo, como se comprueba por la regla de Sarrus:
Por tanto hay que estudiar los rangos directamente.
Estudio de los rangos.
Las dos primeras filas son independientes y el determinante es nulo, luego \(\text{rg}(A) = 2 \)
La tercera fila de coeficientes \((2, a, 2) \) es combinación de las dos primeras: $$(2, a, 2) = \frac{2+a}{2}(1, 1, 1) + \frac{2-a}{2}(1, -1, 1) $$
Si \(a = 0 \), la misma combinación cuadra en los términos independientes (\(3 = 1 + 2 \)) y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3 = n \): compatible indeterminado.
Si \(a \neq 0 \), la combinación de los términos independientes da \(\frac{6-a}{2} \neq 3 \), luego \(\text{rg}(A) = 2 < 3 = \text{rg}(A|B) \): incompatible.
Resolución del caso compatible.
Para \(a = 0 \), sumando y restando las dos primeras ecuaciones: \(2x + 2z = 3 \) y \(2y = -1 \), luego \(y = -\frac{1}{2} \)
Con \(z = \lambda \) se obtiene \(x = \frac{3}{2} - \lambda \)
Si \(a \neq 0 \) el sistema es incompatible;
si \(a = 0 \) es compatible indeterminado con soluciones $$\begin{cases} x = \frac{3}{2} - \lambda \\ y = -\frac{1}{2} \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$
Discute el sistema $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = a \\ x - y + z = 2 \end{cases} $$ según los valores de \(a \in \mathbb{R} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por observar la relación entre la primera y la segunda ecuación.
A continuación discutiremos los casos.
Para terminar resolveremos el caso compatible.
Relación entre las ecuaciones.
La segunda ecuación tiene los coeficientes dobles que la primera;
para que sea compatible, su término independiente debe ser el doble: \(a = 2 \)
Discusión.
Si \(a \neq 2 \), al escalonar aparece la fila \((0, 0, 0 \mid a - 2) \) con \(a - 2 \neq 0 \), luego \(\text{rg}(A) = 2 < 3 = \text{rg}(A|B) \): incompatible.
Si \(a = 2 \), la segunda ecuación es redundante y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3 = n \): compatible indeterminado.
Resolución del caso compatible.
Para \(a = 2 \), sumando y restando la primera y
la tercera: \(2x + 2z = 3 \) y \(2y = -1 \), luego \(y = -\frac{1}{2} \)
Con \(z = \lambda \) se obtiene \(x = \frac{3}{2} - \lambda \)
Si \(a \neq 2 \) el sistema es incompatible;
si \(a = 2 \) es compatible indeterminado con soluciones $$\begin{cases} x = \frac{3}{2} - \lambda \\ y = -\frac{1}{2} \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$
Discute el sistema $$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \\ x + y + z = a \end{cases} $$ según los valores de \(a \in \mathbb{R} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por estudiar la proporcionalidad entre las filas.
A continuación discutiremos los casos.
Para terminar resolveremos el caso compatible indeterminado.
Estudio de las filas.
La segunda fila es siempre el doble de \((1, 1, 1 \mid 1) \), luego es redundante.
Quedan la primera fila \((1, a, 1 \mid 1) \) y la tercera \((1, 1, 1 \mid a) \)
Discusión.
Si \(a = 1 \), las tres filas son proporcionales y \(\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 3 = n \): compatible indeterminado con dos parámetros libres.
Si \(a \neq 1 \), la primera y la tercera fila tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente, luego \(\text{rg}(A) = 1 < 2 = \text{rg}(A|B) \): incompatible.
Resolución del caso compatible.
Para \(a = 1 \) queda la ecuación \(x + y + z = 1 \)
Con \(y = \lambda \) y \(z = \mu \) se obtiene \(x = 1 - \lambda - \mu \)
Si \(a \neq 1 \) el sistema es incompatible;
si \(a = 1 \) es compatible indeterminado con soluciones $$\begin{cases} x = 1 - \lambda - \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$