3.3.2 Asintotas horizontales

Definición y existencia de asíntotas horizontales

La recta horizontal $y = b $ es una asíntota horizontal de $f $ si el límite de la función en $+\infty $ o en $-\infty $ es el valor finito $b $:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b_1 \quad \text{o} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = b_2 $$

Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales distintas, una para cada extremo, y ambas pueden coincidir en la misma recta.

La posición relativa de la curva respecto a la asíntota se estudia con el signo de la diferencia $f(x) - b $ para valores grandes de $x $:

si es positiva, la curva se acerca por encima;

si es negativa, por debajo.

Además, la curva puede cortar a su asíntota horizontal en puntos finitos, algo que nunca ocurre con las verticales.

Por último, si en un extremo existe asíntota horizontal, en ese mismo extremo no puede existir asíntota oblicua.

📝 Ejemplo:

La recta $y = 2 $ es asíntota horizontal de $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} $, porque $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2 $

📝 Ejemplo 1: Asíntota horizontal de una función racional sencilla

Halla la asíntota horizontal de $f(x) = \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite de la función cuando $x $ tiende a más y menos infinito.

Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, el límite será el cociente de los coeficientes principales.

Para terminar escribiremos la ecuación de la asíntota.

👉 PASO 1

Límite en el infinito.

Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x $:

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2 $$

✅ Conclusión

La recta $y = 2 $ es asíntota horizontal de la función tanto hacia $+\infty $ como hacia $-\infty $

📝 Ejemplo 2: Posición relativa y corte con la asíntota

Estudia la asíntota horizontal de $f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 + 1} $ e indica por dónde se acerca la curva en cada extremo.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el límite en el infinito para obtener la asíntota.

A continuación estudiaremos el signo de la diferencia entre la función y la asíntota, que nos dirá si la curva se acerca por encima o por debajo.

Para terminar comprobaremos si la curva corta a su asíntota en algún punto finito.

👉 PASO 1

Cálculo de la asíntota.

El grado del numerador es menor que el del denominador, luego:

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1} = 0 $$

La asíntota horizontal es la recta $y = 0 $, es decir, el propio eje $OX $, en ambos extremos.

👉 PASO 2

Posición relativa de la curva.

Estudiamos el signo de $f(x) - 0 = \frac{2x - 1}{x^2 + 1} $

El denominador es siempre positivo, así que el signo lo decide el numerador: $2x - 1 > 0 $ cuando $x > \frac{1}{2} $, y es negativo cuando $x < \frac{1}{2} $

Por tanto, hacia $+\infty $ la curva se acerca a la asíntota por encima, y hacia $-\infty $ lo hace por debajo.

👉 PASO 3

Corte con la asíntota.

Igualamos la función a cero: $\frac{2x - 1}{x^2 + 1} = 0 $, de donde $2x - 1 = 0 $ y $x = \frac{1}{2} $

La curva corta a su asíntota en el punto $\left(\frac{1}{2}, 0\right) $

✅ Conclusión

La asíntota horizontal es $y = 0 $ en ambos extremos; la curva la corta en $x = \frac{1}{2} $, acercándose por encima hacia $+\infty $ y por debajo hacia $-\infty $

📝 Ejemplo 3: Dos asíntotas horizontales distintas

Halla las asíntotas horizontales de $f(x) = \frac{3e^x}{e^x + 2} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio calcularemos por separado el límite cuando $x $ tiende a más infinito y cuando tiende a menos infinito, porque en funciones con exponenciales el comportamiento en cada extremo puede ser distinto.

Para terminar escribiremos cada asíntota con su extremo correspondiente.

👉 PASO 1

Límite cuando $x \to +\infty $

Dividimos numerador y denominador por $e^x $:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x}{e^x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{e^x}} = \frac{3}{1 + 0} = 3 $$

👉 PASO 2

Límite cuando $x \to -\infty $

Ahora $e^x $ tiende a cero:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3e^x}{e^x + 2} = \frac{0}{0 + 2} = 0 $$

✅ Conclusión

La función tiene dos asíntotas horizontales distintas: la recta $y = 3 $ hacia $+\infty $ y la recta $y = 0 $ hacia $-\infty $

📝 Ejemplo 4: Asíntota horizontal sin cortes con la curva

Estudia la asíntota horizontal de $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 + 1} $, la posición relativa en cada extremo y si la curva la corta.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la asíntota calculando el límite en el infinito.

A continuación analizaremos el signo de la diferencia entre la función y la asíntota en cada extremo.

Para terminar resolveremos la ecuación que daría los puntos de corte y veremos si tiene solución.

👉 PASO 1

Cálculo de la asíntota.

Numerador y denominador tienen grado tres:

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 + 1} = 1 $$

La asíntota horizontal es $y = 1 $ en ambos extremos.

👉 PASO 2

Posición relativa.

$$f(x) - 1 = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 + 1} - 1 = \frac{-2x^2 - 1}{x^3 + 1} $$

El numerador $-2x^2 - 1 $ es siempre negativo.

Hacia $+\infty $ el denominador es positivo, luego la diferencia es negativa y la curva se acerca por debajo.

Hacia $-\infty $ el denominador es negativo, luego la diferencia es positiva y la curva se acerca por encima.

👉 PASO 3

Posibles cortes.

$f(x) = 1 $ equivale a $-2x^2 - 1 = 0 $, ecuación sin solución real.

La curva nunca corta a su asíntota.

✅ Conclusión

La asíntota horizontal es $y = 1 $; la curva se acerca por debajo hacia $+\infty $ y por encima hacia $-\infty $, sin llegar a cortarla nunca.

📝 Ejemplo 5: Asíntotas horizontales distintas en más infinito y en menos infinito

Halla las asíntotas horizontales de la función irracional $f(x) = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 1} $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio calcularemos por separado los límites en el infinito positivo y en el infinito negativo, prestando especial atención a la extracción del factor común x dentro del radical, ya que la raíz cuadrada de x al cuadrado es igual al valor absoluto de x, lo que introduce un cambio de signo fundamental para valores negativos.

👉 PASO 1

Límite cuando $x \to +\infty $

Para $x > 0 $, tenemos $\sqrt{x^2} = |x| = x $:

$$\sqrt{4x^2 + 1} = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{1}{x^2}\right)} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} $$

Dividimos numerador y denominador entre $x $:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 $$

Por tanto, la recta $y = 2 $ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty $

👉 PASO 2

Límite cuando $x \to -\infty $

Para $x < 0 $, tenemos $\sqrt{x^2} = |x| = -x $:

$$\sqrt{4x^2 + 1} = |x|\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} $$

Dividimos numerador y denominador entre $x $:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{-\sqrt{4 + 0}}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2 $$

Por tanto, la recta $y = -2 $ es asíntota horizontal cuando $x \to -\infty $

✅ Conclusión

La función posee dos asíntotas horizontales diferentes: la recta $y = 2 $ en el infinito positivo y la recta $y = -2 $ en el infinito negativo.