3.11.5 Integrales exponenciales
Integral de la exponencial natural
Para la base \(y \), la función exponencial es su propia derivada, luego también es su propia primitiva:
En su forma compuesta (casi-inmediata), si aparece la derivada del exponente multiplicando:
En forma compuesta: \(\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C \)
Integral de la exponencial de base general
Para una base \(a > 0 \) con \(a \ne 1 \), como la derivada de \(a^x \) es \([a^x]' = a^x \ln a \), hay que dividir entre \(\ln a \):
Y en su versión compuesta:
Para la base \(2 \) hay que dividir entre \(\ln 2 \): \(\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \)
Calcula \(\int x e^{3x^2 + 1} \, dx \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(3x^2 + 1 \)
A continuación multiplicaremos y dividiremos por \(6 \) para completar la derivada.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([3x^2 + 1]' = 6x \), multiplicamos y dividimos por \(6 \):
Aplicación de la fórmula.
$$\int x e^{3x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{6}e^{3x^2 + 1} + C $$
Calcula \(\int 5^{2x - 1} \, dx \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(2x - 1 \)
A continuación ajustaremos la constante para completar la derivada.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial de base general.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([2x - 1]' = 2 \), multiplicamos y dividimos por \(2 \):
Aplicación de la fórmula con división entre el logaritmo.
$$\int 5^{2x - 1} \, dx = \frac{5^{2x - 1}}{2\ln 5} + C $$
Calcula $$\int \cos x \cdot e^{\operatorname{sen} x} \, dx $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(\operatorname{sen} x \)
A continuación comprobaremos que su derivada está presente de forma inmediata.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente.
Como \([\operatorname{sen} x]' = \cos x \), la derivada del exponente aparece exactamente multiplicando, sin necesidad de ajuste.
Aplicación directa de la fórmula.
$$\int \cos x \cdot e^{\operatorname{sen} x} \, dx = e^{\operatorname{sen} x} + C $$
Calcula \(\int 2x \cdot 3^{x^2 + 1} \, dx \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(x^2 + 1 \)
A continuación comprobaremos que está presente de forma inmediata.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial de base general compuesta.
Derivada del exponente.
Como \([x^2 + 1]' = 2x \), la derivada aparece exactamente multiplicando.
Aplicación de la fórmula con división entre el logaritmo.
$$\int 2x \cdot 3^{x^2 + 1} \, dx = \frac{3^{x^2 + 1}}{\ln 3} + C $$
Calcula \(\int x^2 e^{x^3} \, dx \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(x^3 \)
A continuación ajustaremos la constante para completar la derivada.
Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([x^3]' = 3x^2 \), multiplicamos y dividimos por \(3 \):
Aplicación de la fórmula.
$$\int x^2 e^{x^3} \, dx = \frac{1}{3}e^{x^3} + C $$