2.3.2 Propiedades del producto vectorial

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Propiedades operacionales del producto vectorial

El producto vectorial posee una estructura algebraica muy particular que lo distingue del producto numérico habitual.

Las propiedades fundamentales son las siguientes:

Anticonmutativa: al intercambiar el orden de los factores cambia el sentido del vector resultante:

$$\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u}) $$

Distributiva respecto de la suma:

$$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} $$

Homogeneidad escalar: el escalar puede sacarse fuera del producto:

$$(k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v}) $$

No asociativa: en general se verifica que

$$(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \neq \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) $$

Ejemplo:

Con $\vec{u} = (1, 0, 0) $ y $\vec{v} = (0, 1, 0) $ se tiene $\vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 1) $ y $\vec{v} \times \vec{u} = (0, 0, -1) $: al intercambiar el orden cambia el sentido.

Condición de paralelismo entre dos vectores

Dos vectores no nulos son paralelos si y solo si su producto vectorial es el vector nulo, ya que en ese caso el ángulo que forman es $0 $ o $\pi $ y el seno se anula:

$$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} $$

Ejemplo:

Los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3) $ y $\vec{v} = (2, 4, 6) $ son paralelos, porque $$\vec{u} \times \vec{v} = (12 - 12, 12 - 12, 4 - 4) = \vec{0} $$

Ejemplo 1: Comprobación de la anticonmutatividad

Comprueba la propiedad anticonmutativa con los vectores $\vec{u} = (1, 0, 2) $ y $\vec{v} = (0, 3, 1) $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto vectorial de u por v mediante el determinante formal.

A continuación calcularemos el producto en el orden inverso.

Para terminar comprobaremos que ambos resultados son opuestos.

PASO 1

Cálculo de $\vec{u} \times \vec{v} $

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-6, -1, 3) $$

PASO 2

Cálculo de $\vec{v} \times \vec{u} $

$$\vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (6, 1, -3) $$

Conclusión

Se verifica que $$\vec{v} \times \vec{u} = (6, 1, -3) = -(-6, -1, 3) = -(\vec{u} \times \vec{v}) $$, luego el producto vectorial es anticonmutativo.

Ejemplo 2: Estudio del paralelismo de dos vectores

Comprueba si los vectores $\vec{u} = (2, -4, 6) $ y $\vec{v} = (-1, 2, -3) $ son paralelos.

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto vectorial de ambos vectores.

A continuación aplicaremos la condición de paralelismo.

Para terminar daremos la conclusión.

PASO 1

Cálculo del producto vectorial.

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 6 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (0, 0, 0) = \vec{0} $$

En efecto, cada determinante de orden dos se anula: $(-4) \cdot (-3) - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0 $, y análogamente para las otras dos componentes.

PASO 2

Aplicación de la condición de paralelismo.

Como $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} $, por la condición de paralelismo los vectores son paralelos.

Además se observa directamente que $\vec{u} = -2\vec{v} $, luego son proporcionales.

Conclusión

Los vectores $\vec{u} $ y $\vec{v} $ son paralelos.

Ejemplo 3: Simplificación de una expresión con productos vectoriales

Simplifica la expresión $$(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) $$

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma.

A continuación usaremos que el producto vectorial de un vector por sí mismo es el vector nulo y la anticonmutatividad.

Para terminar agruparemos los términos semejantes.

PASO 1

Aplicación de la propiedad distributiva.

Desarrollamos el producto como si fuera un producto notable, respetando el orden de los factores:

$$(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{u} - \vec{u} \times \vec{v} + \vec{v} \times \vec{u} - \vec{v} \times \vec{v} $$

PASO 2

Simplificación con las propiedades.

Todo vector es paralelo a sí mismo, luego $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} $ y $\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} $

Además, por anticonmutatividad, $$\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}) $$

Sustituyendo:

$$= \vec{0} - \vec{u} \times \vec{v} - \vec{u} \times \vec{v} - \vec{0} = -2(\vec{u} \times \vec{v}) = 2(\vec{v} \times \vec{u}) $$

Conclusión

La expresión simplificada es $2(\vec{v} \times \vec{u}) $

Ejemplo 4: Módulo de una combinación con productos vectoriales

Los vectores $\vec{u} $ y $\vec{v} $ verifican $|\vec{u}| = 4 $, $|\vec{v}| = 2 $ y forman un ángulo $\alpha = 30^\circ $

Calcula $$|(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v})| $$

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por simplificar la expresión usando las propiedades del producto vectorial.

A continuación tomaremos módulos y aplicaremos la homogeneidad escalar.

Para terminar sustituiremos los datos numéricos y calcularemos el resultado.

PASO 1

Simplificación de la expresión.

Desarrollando por la propiedad distributiva y usando que el producto de un vector por sí mismo es el vector nulo:

$$(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{v} \times \vec{u} - \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} + \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v} - \vec{0} = 2(\vec{u} \times \vec{v}) $$

Observa que $$-\vec{v} \times \vec{u} = -(-(\vec{u} \times \vec{v})) = \vec{u} \times \vec{v} $$

PASO 2

Cálculo del módulo.

Por homogeneidad escalar, el factor $2 $ sale del módulo en valor absoluto:

$$|(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v})| = |2(\vec{u} \times \vec{v})| = 2|\vec{u} \times \vec{v}| = 2 \cdot |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(30^\circ) = 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 8 $$

Conclusión

El valor pedido es $8 $

Ejemplo 5: Vectores de módulo dado paralelos a uno dado

Dados $\vec{u} = (1, 2, 0) $, halla todos los vectores $\vec{w} $ tales que $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{0} $ y $|\vec{w}| = 5 $

Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por usar la condición de paralelismo para deducir la forma de w.

A continuación impondremos la condición sobre el módulo.

Para terminar obtendremos los dos vectores posibles.

PASO 1

Forma general de $\vec{w} $

La condición $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{0} $ significa, por el criterio de paralelismo, que $\vec{w} $ es paralelo a $\vec{u} $, luego existe un escalar $k $ tal que:

$$\vec{w} = k\vec{u} = k(1, 2, 0) = (k, 2k, 0) $$

PASO 2

Imposición de la condición del módulo.

$$|\vec{w}| = \sqrt{k^2 + (2k)^2 + 0^2} = \sqrt{5k^2} = |k|\sqrt{5} $$

Igualando a $5 $:

$$|k|\sqrt{5} = 5 \rightarrow |k| = \frac{5}{\sqrt{5} }= \sqrt{5} \rightarrow k = \sqrt{5} \text{ o } k = -\sqrt{5} $$

Conclusión

Los vectores son $\vec{w}_1 = (\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 0) $ y $\vec{w}_2 = (-\sqrt{5}, -2\sqrt{5}, 0) $