3.11.5 Integrales exponenciales
1. Integral de la exponencial natural Para la base \(y\), la función exponencial es su propia derivada, luego también es su propia primitiva: \(\int e^x \, dx = e^x + C\) En su forma compuesta (casi-inmediata), si aparece la derivada del exponente multiplicando: \(\int u'(x) \cdot e^{u(x)} \, dx = e^{u(x)} + C\) Ejemplo: En forma compuesta: \(\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C\) 2. Integral de la exponencial de base general Para una base \(a > 0\) con \(a \ne 1\), como la derivada de \(a^x\) es \([a^x]' = a^x \ln a\), hay que dividir entre \(\ln a\): \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\) Y en su versión compuesta: \(\int u'(x) \cdot a^{u(x)} \, dx = \frac{a^{u(x)}}{\ln a} + C\) Ejemplo: Para la base \(2\) hay que dividir entre \(\ln 2\): \(\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C\) Ejemplo 1: Exponente cuadrático casi-inmediato Calcula \(\int x e^{3x^2 + 1} \, dx\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(3x^2 + 1\) A continuación multiplicaremos y dividiremos por \(6\) para completar la derivada. Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([3x^2 + 1]' = 6x\), multiplicamos y dividimos por \(6\):
Aplicación de la fórmula.
$$\int x e^{3x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{6}e^{3x^2 + 1} + C$$
Calcula \(\int 5^{2x - 1} \, dx\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(2x - 1\) A continuación ajustaremos la constante para completar la derivada. Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial de base general.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([2x - 1]' = 2\), multiplicamos y dividimos por \(2\):
Aplicación de la fórmula con división entre el logaritmo.
$$\int 5^{2x - 1} \, dx = \frac{5^{2x - 1}}{2\ln 5} + C$$
Calcula \(\int \cos x \cdot e^{\operatorname{sen} x} \, dx\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(\operatorname{sen} x\) A continuación comprobaremos que su derivada está presente de forma inmediata. Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente.
Como \([\operatorname{sen} x]' = \cos x\), la derivada del exponente aparece exactamente multiplicando, sin necesidad de ajuste.
Aplicación directa de la fórmula.
$$\int \cos x \cdot e^{\operatorname{sen} x} \, dx = e^{\operatorname{sen} x} + C$$
Calcula \(\int 2x \cdot 3^{x^2 + 1} \, dx\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(x^2 + 1\) A continuación comprobaremos que está presente de forma inmediata. Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial de base general compuesta.
Derivada del exponente.
Como \([x^2 + 1]' = 2x\), la derivada aparece exactamente multiplicando.
Aplicación de la fórmula con división entre el logaritmo.
$$\int 2x \cdot 3^{x^2 + 1} \, dx = \frac{3^{x^2 + 1}}{\ln 3} + C$$
Calcula \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el exponente \(x^3\) A continuación ajustaremos la constante para completar la derivada. Para terminar aplicaremos la fórmula de la exponencial compuesta.
Derivada del exponente y ajuste.
Como \([x^3]' = 3x^2\), multiplicamos y dividimos por \(3\):
Aplicación de la fórmula.
$$\int x^2 e^{x^3} \, dx = \frac{1}{3}e^{x^3} + C$$