2.8.5 Posición relativa de tres planos
1. Discusión general por el Teorema de Rouché-Fröbenius Tres planos forman un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, con matriz de coeficientes \(M\) y matriz ampliada \(M^\prime\): \(\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z = -D_1 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z = -D_2 \\ A_3 x + B_3 y + C_3 z = -D_3 \end{cases}\) El Teorema de Rouché-Fröbenius clasifica la posición relativa en cinco casos: \(\text{rg}(M) = 3, \; \text{rg}(M^\prime) = 3\) (sistema compatible determinado): se cortan en un único punto \(P\), formando el vértice de un triedro. \(\text{rg}(M) = 2, \; \text{rg}(M^\prime) = 2\) (sistema compatible indeterminado): se cortan en una recta común, es decir, pertenecen al mismo haz de planos, salvo que dos sean coincidentes y el tercero secante a ellos. \(\text{rg}(M) = 2, \; \text{rg}(M^\prime) = 3\) (sistema incompatible): no tienen ningún punto común global. Si ningún par es paralelo, se cortan dos a dos formando las caras de un prisma triangular; si dos son paralelos, el tercero es secante a ambos. \(\text{rg}(M) = 1, \; \text{rg}(M^\prime) = 2\) (sistema incompatible): son planos paralelos, ya sean tres paralelos distintos o dos coincidentes y uno paralelo a ellos. \(\text{rg}(M) = 1, \; \text{rg}(M^\prime) = 1\) (sistema compatible indeterminado): los tres planos son totalmente coincidentes. Ejemplo: Los planos \(x = 1\), \(y = 2\) y \(z = 3\) forman un sistema con \(\text{rg}(M) = \text{rg}(M') = 3\): se cortan en el único punto \((1, 2, 3)\) Ejemplo 1: Triedro, corte en un único punto Estudia la posición relativa de los planos \(\pi_1: x + y = 2\), \(\pi_2: y + z = 3\) y \(\pi_3: x + z = 1\), y halla el punto común.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes. A continuación, al ser no nulo, resolveremos el sistema. Para terminar identificaremos la posición geométrica.
Determinante de la matriz M.
Por el Teorema de Rouché-Fröbenius, con \(\text{rg}(M) = \text{rg}(M^\prime) = 3\), es un sistema compatible determinado.
Resolución del sistema.
Sumando las tres ecuaciones: \(2(x + y + z) = 6\), luego \(x + y + z = 3\) Restando cada ecuación:
Los tres planos se cortan en el único punto \(P(0, 2, 1)\), vértice de un triedro.
Estudia la posición relativa de \(\pi_1: x + y = 1\), \(\pi_2: y + z = 1\) y \(\pi_3: x - z = 2\)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de M. A continuación estudiaremos el rango de la ampliada buscando la contradicción. Para terminar describiremos la configuración geométrica.
Rango de la matriz M.
luego \(\text{rg}(M) = 2\)
Rango de la ampliada.
Restando las dos primeras ecuaciones: \((x + y) - (y + z) = x - z = 1 - 1 = 0\), pero la tercera exige \(x - z = 2\): contradicción. Por tanto \(\text{rg}(M^\prime) = 3\) y el sistema es incompatible. Ningún par de normales \((1, 1, 0)\), \((0, 1, 1)\), \((1, 0, -1)\) es proporcional, luego no hay planos paralelos.
Los planos se cortan dos a dos formando las caras laterales de un prisma triangular, sin ningún punto común a los tres.
Estudia la posición relativa de \(\pi_1: x + y + z = 1\), \(\pi_2: 2x + y - z = 2\) y \(\pi_3: 3x + 2y = 3\), y halla la recta común.
Para resolver este apartado empezaremos por buscar dependencias lineales entre las ecuaciones. A continuación determinaremos los rangos. Para terminar hallaremos la recta intersección.
Dependencia entre las ecuaciones.
Sumando las dos primeras: \((x + y + z) + (2x + y - z) = 3x + 2y = 1 + 2 = 3\), que es exactamente la tercera ecuación. Luego \(\pi_3 = \pi_1 + \pi_2\) y \(\text{rg}(M) = \text{rg}(M^\prime) = 2\): sistema compatible indeterminado.
Recta común.
Los tres planos pertenecen al mismo haz. Con \(\pi_1\) y \(\pi_2\): restando, \((2x + y - z) - (x + y + z) = x - 2z = 2 - 1 = 1\) Parametrizamos con \(z = t\): \(x = 1 + 2t\) y de \(\pi_1\), \(y = 1 - x - z = 1 - (1 + 2t) - t = -3t\)
Los tres planos se cortan en la recta \(r: (1, 0, 0) + t(2, -3, 1)\)
Discute según los valores de \(k\) la posición relativa de los planos \(\pi_1: x + y + z = 1\), \(\pi_2: x + ky + z = 2\) y \(\pi_3: x + y + kz = 3\), y resuelve el sistema cuando sea compatible determinado.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función de k. A continuación distinguiremos los casos según se anule o no. Para terminar resolveremos el sistema en el caso compatible determinado.
Determinante de M.
El determinante se anula si y solo si \(k = 1\)
Caso k distinto de 1.
Si \(k \neq 1\), \(\det(M) \neq 0\) y \(\text{rg}(M) = \text{rg}(M^\prime) = 3\): sistema compatible determinado, los planos forman un triedro. Resolvemos: restando la primera ecuación de
la segunda, \((k - 1)y = 1 \rightarrow y = \frac{1}{k - 1}\); restando la primera de
la tercera, \((k - 1)z = 2 \rightarrow z = \frac{2}{k - 1}\); y de
la primera, \(x = 1 - y - z = 1 - \frac{3}{k - 1} = \frac{k - 4}{k - 1}\)
Caso k igual a 1.
Si \(k = 1\), el sistema es \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{cases}\): tres planos paralelos distintos, con \(\text{rg}(M) = 1\) y \(\text{rg}(M^\prime) = 2\): sistema incompatible.
Si \(k \neq 1\) los planos se cortan en el único punto \(P\left(\frac{k - 4}{k - 1}, \frac{1}{k - 1}, \frac{2}{k - 1}\right)\); si \(k = 1\) son tres planos paralelos distintos sin puntos comunes.
Estudia la posición relativa de \(\pi_1: x + y + z = 3\), \(\pi_2: x - y + z = 1\) y \(\pi_3: 2x + y - z = 2\), y halla su punto común.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes. A continuación resolveremos el sistema por reducción. Para terminar daremos la interpretación geométrica.
Determinante de M.
luego \(\text{rg}(M) = 3\): sistema compatible determinado.
Resolución.
Sumando la primera y
la segunda: \(2x + 2z = 4 \rightarrow x + z = 2\)
Restando la segunda de
la primera: \(2y = 2 \rightarrow y = 1\)
De
la tercera: \(2x + 1 - z = 2 \rightarrow 2x - z = 1\)
Con \(x + z = 2\): sumando, \(3x = 3 \rightarrow x = 1\), y \(z = 1\)
Los tres planos forman un triedro y se cortan en el único punto \(P(1, 1, 1)\)
Estudia la posición relativa de \(\pi_1: x + y + z = 1\), \(\pi_2: 2x + 2y + 2z = 2\) y \(\pi_3: x - y = 0\)
Para resolver este apartado empezaremos por comparar los dos primeros planos entre sí. A continuación estudiaremos los rangos del sistema completo. Para terminar describiremos la intersección.
Los dos primeros planos.
Dividiendo la segunda ecuación por dos se obtiene \(x + y + z = 1\), idéntica a
la primera: \(\pi_1\) y \(\pi_2\) son coincidentes.
Rangos del sistema.
Las filas de \(M\) son \((1, 1, 1)\), \((2, 2, 2)\) y \((1, -1, 0)\): las dos primeras son proporcionales y la tercera es independiente, luego \(\text{rg}(M) = 2\), y lo mismo para la ampliada, \(\text{rg}(M^\prime) = 2\): sistema compatible indeterminado.
Recta de corte.
Basta intersecar \(\pi_1\) con \(\pi_3\) De \(x - y = 0\) sale \(x = y\); parametrizando \(x = t\), queda \(y = t\) y \(z = 1 - x - y = 1 - 2t\)
Dos de los planos son coincidentes y el tercero los corta según la recta \(r: (0, 0, 1) + t(1, 1, -2)\)