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2.7.6 Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano

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Principio de dualidad: el vector director de la recta es el vector normal del plano

Para construir la recta \(r \) que pasa por \(P(x_0, y_0, z_0) \) y es perpendicular al plano \(\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \), basta tomar como vector director de la recta el vector normal del plano:

$$\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (A, B, C) $$

Las ecuaciones de la recta normal son, en paramétricas y en forma continua:

$$\begin{cases} x = x_0 + \lambda A \\ y = y_0 + \lambda B \\ z = z_0 + \lambda C \end{cases} \iff \frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C} $$
Ejemplo:

La recta que pasa por \(P(1, 1, 1) \) y es perpendicular al plano \(\pi: x + 2y + 3z = 6 \) toma como vector director el normal \((1, 2, 3) \): \((x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda(1, 2, 3) \)

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Proyección ortogonal de un punto sobre un plano

La proyección ortogonal de un punto \(P \) sobre un plano \(\pi \) es el punto \(M \) de intersección de la recta normal a \(\pi \) por \(P \) con el propio plano.

El procedimiento es: trazar la recta normal, sustituir sus paramétricas en la ecuación del plano, despejar \(\lambda \) y obtener \(M \)

Ejemplo:

La proyección ortogonal de \(P(0, 0, 0) \) sobre \(\pi: x + 2y + 3z = 6 \) se obtiene sustituyendo \((\lambda, 2\lambda, 3\lambda) \) en el plano: \(14\lambda = 6 \), luego $$M = \left(\frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{9}{7}\right) $$

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Punto simétrico respecto a un plano

El simétrico \(P^\prime \) de \(P \) respecto al plano \(\pi \) verifica que la proyección \(M \) es el punto medio del segmento \(PP^\prime \)

Por tanto:

$$M = \frac{P + P^\prime}{2} \rightarrow P^\prime = 2M - P $$
Ejemplo:

El simétrico de \(P(0, 0, 0) \) respecto al plano anterior es $$P' = 2M - P = \left(\frac{6}{7}, \frac{12}{7}, \frac{18}{7}\right) $$, porque la proyección \(M \) es el punto medio del segmento \(PP' \)

Ejemplo 1: Recta perpendicular a un plano por un punto

Halla la recta perpendicular al plano \(\pi: 2x - 5y + 3z - 7 = 0 \) que pasa por el punto \(P(4, 0, -1) \)

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector normal del plano, que será el vector director de la recta.

A continuación escribiremos las ecuaciones paramétricas.

Para terminar las pasaremos a forma continua.

PASO 1

Vector director de la recta.

El vector normal del plano es \(\vec{n}_\pi = (2, -5, 3) \), y por la dualidad coincide con el vector director de la recta: \(\vec{d}_r = (2, -5, 3) \)

PASO 2

Ecuaciones de la recta.

Con el punto \(P(4, 0, -1) \), las paramétricas son:

$$r: \begin{cases} x = 4 + 2\lambda \\ y = -5\lambda \\ z = -1 + 3\lambda \end{cases} $$

y la forma continua:

$$r: \frac{x - 4}{2} = \frac{y}{-5} = \frac{z + 1}{3} $$
Conclusión

La recta buscada es $$r: \frac{x - 4}{2} = \frac{y}{-5} = \frac{z + 1}{3} $$

Ejemplo 2: Proyección ortogonal del origen sobre un plano

Halla la proyección ortogonal del punto \(O(0, 0, 0) \) sobre el plano \(\pi: x + y + z = 3 \)

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por trazar la recta normal al plano que pasa por el origen.

A continuación la cortaremos con el plano sustituyendo las paramétricas.

Para terminar identificaremos la proyección.

PASO 1

Recta normal por el origen.

El vector normal es \(\vec{n}_\pi = (1, 1, 1) \), luego la recta normal por \(O \) es:

$$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} $$
PASO 2

Corte con el plano.

Sustituimos en \(x + y + z = 3 \):

$$\lambda + \lambda + \lambda = 3 \rightarrow 3\lambda = 3 \rightarrow \lambda = 1 $$

El punto de corte es \(M(1, 1, 1) \)

Conclusión

La proyección ortogonal del origen sobre el plano es \(M(1, 1, 1) \)

Ejemplo 3: Punto simétrico respecto a un plano

Halla el punto simétrico del origen \(O(0, 0, 0) \) respecto al plano \(\pi: x + y + z = 3 \)

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por hallar la proyección del origen sobre el plano, que es el punto medio entre el origen y su simétrico.

A continuación despejaremos el simétrico de la fórmula del punto medio.

Para terminar daremos el resultado.

PASO 1

Punto medio entre O y su simétrico.

Por el ejemplo anterior, la proyección del origen sobre el plano es \(M(1, 1, 1) \), y \(M \) es el punto medio del segmento que une \(O \) con su simétrico \(O^\prime \)

PASO 2

Cálculo del simétrico.

De \(M = \frac{O + O^\prime}{2} \) despejamos:

$$O^\prime = 2M - O = 2(1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2) $$
Conclusión

El simétrico del origen respecto al plano es \(O^\prime(2, 2, 2) \)

Ejemplo 4: Simétrico de un punto respecto a un plano

Halla el punto simétrico de \(A(1, 2, 3) \) respecto al plano \(\pi: 2x - y + z - 4 = 0 \)

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por trazar la recta normal al plano que pasa por A.

A continuación hallaremos su intersección con el plano, que es el punto medio.

Para terminar calcularemos el simétrico con la fórmula del punto medio.

PASO 1

Recta normal y punto medio.

El vector normal es \(\vec{n}_\pi = (2, -1, 1) \), luego:

$$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} $$

Sustituimos en \(2x - y + z - 4 = 0 \):

$$2(1 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + (3 + \lambda) - 4 = 0 $$

Operando: $$2 + 4\lambda - 2 + \lambda + 3 + \lambda - 4 = 6\lambda - 1 = 0 $$, de donde \(\lambda = \frac{1}{6} \)

El punto medio es:

$$M = \left(1 + \frac{2}{6}, 2 - \frac{1}{6}, 3 + \frac{1}{6}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{11}{6}, \frac{19}{6}\right) $$
PASO 2

Punto simétrico.

Aplicamos \(A^\prime = 2M - A \):

$$A^\prime = 2\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{6}, \frac{19}{6}\right) - (1, 2, 3) = \left(\frac{8}{3} - 1, \frac{11}{3} - 2, \frac{19}{3} - 3\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right) $$
Conclusión

El simétrico de \(A \) respecto al plano es $$A^\prime\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}\right) $$

Ejemplo 5: Proyección y distancia de un punto a un plano

Halla la proyección ortogonal del punto \(P(3, -1, 4) \) sobre el plano \(\pi: x + 2y - z + 1 = 0 \) y calcula la distancia de \(P \) al plano.

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por trazar la recta normal al plano por P.

A continuación hallaremos su corte con el plano, que es la proyección.

Para terminar calcularemos la distancia como el módulo del vector que une P con su proyección.

PASO 1

Recta normal por P.

El vector normal es \(\vec{n}_\pi = (1, 2, -1) \), luego:

$$r: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 4 - \lambda \end{cases} $$
PASO 2

Proyección sobre el plano.

Sustituimos en \(x + 2y - z + 1 = 0 \):

$$(3 + \lambda) + 2(-1 + 2\lambda) - (4 - \lambda) + 1 = 0 $$

Operando: $$3 + \lambda - 2 + 4\lambda - 4 + \lambda + 1 = 6\lambda - 2 = 0 $$, de donde \(\lambda = \frac{1}{3} \)

La proyección es:

$$M = \left(3 + \frac{1}{3}, -1 + \frac{2}{3}, 4 - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right) $$

Comprobación en el plano: $$\frac{10}{3} + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - \frac{11}{3} + 1 = \frac{10 - 2 - 11 + 3}{3} = 0 $$

PASO 3

Distancia de P al plano.

La distancia es el módulo de \(\overrightarrow{PM} \):

$$\overrightarrow{PM} = M - P = \left(\frac{10}{3} - 3, -\frac{1}{3} + 1, \frac{11}{3} - 4\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $$
$$d(P, \pi) = |\overrightarrow{PM}| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
Conclusión

La proyección de \(P \) es $$M\left(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right) $$ y la distancia de \(P \) al plano es \(d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3} \) unidades.

Ejemplo 6: Recta normal, proyección y distancia en un caso completo

Halla la recta perpendicular al plano \(\pi: 2x + y - 2z = 1 \) que pasa por \(P(1, 3, 0) \), calcula su punto de corte con el plano y la distancia de \(P \) al plano.

Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por escribir la recta normal al plano por P.

A continuación hallaremos su intersección con el plano.

Para terminar calcularemos la distancia como el módulo del vector que une P con la proyección.

PASO 1

Recta normal.

El vector normal es \(\vec{n}_\pi = (2, 1, -2) \), luego:

$$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases} $$
PASO 2

Punto de corte con el plano.

Sustituimos en \(2x + y - 2z = 1 \):

$$2(1 + 2\lambda) + (3 + \lambda) - 2(-2\lambda) = 1 $$

Operando: $$2 + 4\lambda + 3 + \lambda + 4\lambda = 5 + 9\lambda = 1 $$, de donde $$9\lambda = -4 \rightarrow \lambda = -\frac{4}{9} $$

La proyección es:

$$M = \left(1 + 2\left(-\frac{4}{9}\right), 3 - \frac{4}{9}, -2\left(-\frac{4}{9}\right)\right) = \left(\frac{1}{9}, \frac{23}{9}, \frac{8}{9}\right) $$

Comprobación: $$2\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{23}{9} - 2\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{2 + 23 - 16}{9} = 1 $$

PASO 3

Distancia de P al plano.

$$\overrightarrow{PM} = M - P = \left(\frac{1}{9} - 1, \frac{23}{9} - 3, \frac{8}{9} - 0\right) = \left(-\frac{8}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right) $$
$$d(P, \pi) = |\overrightarrow{PM}| = \sqrt{\frac{64 + 16 + 64}{81}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} $$
Conclusión

La recta normal es \(r: (1, 3, 0) + \lambda(2, 1, -2) \), corta al plano en $$M\left(\frac{1}{9}, \frac{23}{9}, \frac{8}{9}\right) $$ y la distancia de \(P \) al plano es \(d(P, \pi) = \frac{4}{3} \) unidades.