1.5.1 Ecuaciones matriciales

Ecuaciones del tipo AX = B

El producto de matrices no es conmutativo: en general $A \cdot B \neq B \cdot A $, por lo que el lado por el que se multiplica es decisivo.

Si la incógnita $X $ está a la derecha de $A $, se multiplica por la izquierda por la inversa de $A $:

$$A \cdot X = B \implies A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B $$

Esto exige que $A $ sea cuadrada e invertible, es decir, $|A| \neq 0 $

Ejemplo:

Para resolver $A \cdot X = B $ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} $ se multiplica por la izquierda por $A^{-1} $: $$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Ecuaciones del tipo XA = B

Si la incógnita está a la izquierda de $A $, se multiplica por la derecha por la inversa:

$$X \cdot A = B \implies (X \cdot A) \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1} $$

Ejemplo:

En $$X \cdot A = B ,\ \text{con}\ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 11 \end{pmatrix} $, la incógnita está a la izquierda y se multiplica por la derecha: $$X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13/2 & -1/2 \end{pmatrix} $$

Ecuaciones con suma y factor común

En ecuaciones como $A \cdot X + B = C $ primero se despeja el término con $X $

Si la incógnita aparece multiplicada por un escalar, se saca factor común usando la matriz identidad $I $: $A \cdot X - 3X = B \iff (A - 3I) \cdot X = B $, y se resuelve como una ecuación del tipo $A \cdot X = B $ siempre que $|A - 3I| \neq 0 $

Ejemplo:

La ecuación $$A \cdot X - 2X = B ,\ \text{con}\ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ y $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} $, se escribe $(A - 2I)X = B $ sacando factor común con la identidad; como $$A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$, queda $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} $

Ejemplo 1: Resolver AX + B = C

Resuelve $A \cdot X + B = C $ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$, $$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ y $$C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar el término con la incógnita.

A continuación calcularemos la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicaremos por la izquierda.

PASO 1

Despeje de $A \cdot X $

$$A \cdot X + B = C \implies A \cdot X = C - B $$

Calculamos $$C - B = \begin{pmatrix} 5 - 3 & 1 - (-1) \\ 2 - 0 & 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

PASO 2

Inversa y producto por la izquierda.

$|A| = 1 \neq 0 $, luego existe $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Entonces $$X = A^{-1} \cdot (C - B) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 2: Resolver XA = B

Resuelve $X \cdot A = B $ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la matriz de coeficientes es invertible.

A continuación calcularemos su inversa y multiplicaremos por la derecha.

PASO 1

Inversa de $A $

$|A| = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1 \neq 0 $, luego $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

PASO 2

Producto por la derecha.

$$X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 7 \end{pmatrix} $$

Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 7 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 3: Resolver AX - 3X = B

Resuelve $A \cdot X - 3X = B $ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por sacar factor común la incógnita usando la matriz identidad.

A continuación comprobaremos que la matriz resultante es invertible y resolveremos la ecuación.

PASO 1

Factor común.

$A \cdot X - 3X = (A - 3I) \cdot X = B $, donde $$A - 3I = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$

Su determinante es $|A - 3I| = (-2)(-2) - 0 = 4 \neq 0 $

PASO 2

Resolución.

$$(A - 3I)^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$, luego $$X = (A - 3I)^{-1} \cdot B = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 4: Ecuación AX = B con inversa no trivial

Resuelve $A \cdot X = B $ con $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la inversa de la matriz de coeficientes.

A continuación multiplicaremos por la izquierda para despejar la incógnita y comprobaremos el resultado.

PASO 1

Cálculo de la inversa.

$|A| = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 $, luego $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

PASO 2

Despeje de $X $

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

PASO 3

Comprobación.

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = B $$

Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 5: Ecuación XA = B con fracciones

Resuelve $X \cdot A = B $ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la inversa de la matriz de coeficientes.

A continuación multiplicaremos por la derecha, operando con fracciones, y comprobaremos el resultado.

PASO 1

Cálculo de la inversa.

$|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0 $, luego $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

PASO 2

Despeje de $X $

$$X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $$

PASO 3

Comprobación.

$$X \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = B $$

Conclusión

La solución es $$X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} $$