1.4.1 Definición de matriz inversa

Definición de matriz inversa

Una matriz cuadrada $A $ de orden $n $ tiene matriz inversa cuando existe otra matriz cuadrada $A^{-1} $, del mismo orden, que verifica:

$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n $$

donde $I_n $ es la matriz identidad de orden $n $

Es imprescindible que el producto dé la identidad en los dos órdenes:

si solo se cumple en uno, $A^{-1} $ no es la inversa de $A $

Ejemplo:

Para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$, la matriz $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} $$ verifica $$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 $$, luego es su inversa.

Condición de existencia: matriz regular y matriz singular

Una matriz cuadrada es regular cuando tiene inversa, y singular cuando no la tiene.

La condición necesaria y suficiente la da el determinante:

$$A \text{ es regular } \iff |A| \neq 0 $$

$$A \text{ es singular } \iff |A| = 0 $$

Por tanto, antes de calcular una inversa siempre hay que comprobar que el determinante no se anula.

Ejemplo:

La matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} $$ tiene determinante $|A| = 4 - 4 = 0 $, luego es singular y no tiene matriz inversa.

Unicidad de la matriz inversa

Cuando una matriz cuadrada tiene inversa, esta es única: no pueden existir dos matrices distintas que verifiquen la definición.

La demostración utiliza la propiedad asociativa del producto de matrices:

si $B $ y $C $ fueran ambas inversas de $A $, entonces

$$B = B \cdot I_n = B \cdot (A \cdot C) = (B \cdot A) \cdot C = I_n \cdot C = C $$

Así pues, la inversa de una matriz, cuando existe, es una sola.

Ejemplo:

La matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$ es regular, porque $|A| = 3 - 2 = 1 \neq 0 $, y su única inversa es $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$, ya que $A \cdot A^{-1} = I_2 $

Ejemplo 1: Comprobar que una matriz es la inversa de otra

Dadas $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$, comprueba que $B $ es la inversa de $A $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto $A \cdot B $

A continuación calcularemos el producto en el orden contrario $B \cdot A $

Para terminar comprobaremos que ambos productos coinciden con la matriz identidad.

PASO 1

Cálculo del producto $A \cdot B $

Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de

la segunda:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

PASO 2

Cálculo del producto $B \cdot A $

Repetimos el cálculo cambiando el orden de los factores:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Conclusión

Como $A \cdot B = B \cdot A = I_2 $, la matriz $B $ es la inversa de $A $

Ejemplo 2: Decidir si una matriz tiene inversa

Estudia si las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$ tienen inversa.

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de cada matriz.

A continuación aplicaremos la condición de existencia de la inversa.

Para terminar clasificaremos cada matriz como regular o singular.

PASO 1

Determinante de $A $

$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 $$

Como $|A| = -2 \neq 0 $, la matriz $A $ es regular y por tanto tiene inversa.

PASO 2

Determinante de $B $

$$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0 $$

Como $|B| = 0 $, la matriz $B $ es singular y por tanto no tiene inversa.

Conclusión

La matriz $A $ tiene inversa por ser regular, mientras que la matriz $B $ no tiene inversa por ser singular.

Ejemplo 3: Calcular la inversa de una matriz de orden dos y comprobarla

Calcula la matriz inversa de $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y comprueba que el resultado es correcto.

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la matriz es regular calculando su determinante.

A continuación aplicaremos la fórmula de la inversa para una matriz de orden dos.

Para terminar multiplicaremos la matriz original por la obtenida para verificar que el producto es la identidad.

PASO 1

Determinante y fórmula de la inversa.

Sabemos que $|A| = -2 \neq 0 $, luego $A $ tiene inversa.

La fórmula directa para la inversa de una matriz dos por dos es:

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Sustituyendo los valores $a = 1 $, $b = 2 $, $c = 3 $ y $d = 4 $:

$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

PASO 2

Comprobación del resultado.

Multiplicamos la matriz por su supuesta inversa:

$$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Conclusión

La inversa de $A $ es $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$, y la comprobación confirma que es correcta.

Ejemplo 4: Demostrar que dos matrices son inversas entre sí

Dadas $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$, demuestra que son inversas la una de la otra y escribe $A^{-1} $

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto $A \cdot B $

A continuación calcularemos el producto $B \cdot A $

Para terminar identificaremos la inversa.

PASO 1

Cálculo del producto $A \cdot B $

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

PASO 2

Cálculo del producto $B \cdot A $

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Conclusión

Como $A \cdot B = B \cdot A = I_2 $, las matrices son inversas entre sí y $$A^{-1} = B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Ejemplo 5: Valores del parámetro para los que no existe la inversa

Halla los valores de $m $ para los que la matriz $$A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 2 & m \end{pmatrix} $$ no tiene inversa.

Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz en función de $m $

A continuación igualaremos el determinante a cero, que es la condición de matriz singular.

Para terminar resolveremos la ecuación obtenida.

PASO 1

Determinante en función de $m $

$$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m \cdot m - 1 \cdot 2 = m^2 - 2 $$

PASO 2

Condición de matriz singular.

La matriz no tiene inversa cuando su determinante se anula:

$$m^2 - 2 = 0 \implies m^2 = 2 \implies m = \sqrt{2} \text{ o } m = -\sqrt{2} $$

Conclusión

La matriz $A $ es singular, y por tanto no tiene inversa, para $m = \sqrt{2} $ y para $m = -\sqrt{2} $;

para cualquier otro valor de $m $ la matriz es regular.