1.3.1 Matriz escalonada
Matriz escalonada y pivotes
Una matriz está en forma escalonada cuando cumple dos condiciones: las filas nulas, si las hay, están todas al final, y el primer elemento no nulo de cada fila no nula está en una columna más a la derecha que el de la fila anterior.
Ese primer elemento no nulo de cada fila se llama pivote.
En una matriz escalonada con tres pivotes no nulos \(p_1 \), \(p_2 \) y \(p_3 \), el aspecto general es:
donde el símbolo \(* \) representa cualquier número.
Observa que los pivotes forman una escalera descendente hacia la derecha.
La matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ está en forma escalonada: las filas nulas están al final y los pivotes, \(1 \) y \(4 \), avanzan hacia la derecha al bajar de fila.
Matriz escalonada reducida por filas
Una matriz escalonada es reducida por filas cuando, además, todos los pivotes valen \(1 \) y cada pivote es el único elemento no nulo de su columna.
Su aspecto general es:
Toda matriz escalonada reducida es escalonada, pero no al revés.
La matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ es escalonada reducida por filas: sus pivotes valen \(1 \) y cada uno es el único elemento no nulo de su columna.
Decide si la matriz $$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ está escalonada e indica sus pivotes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por localizar el primer elemento no nulo de cada fila.
A continuación comprobaremos que cada pivote está más a la derecha que el anterior y que no hay filas nulas antes del final.
Localización de los pivotes.
Los primeros elementos no nulos de cada fila son \(p_1 = 3 \), \(p_2 = 4 \) y \(p_3 = -1 \), situados en las columnas \(1 \), \(3 \) y \(4 \) respectivamente.
Comprobación de las condiciones.
Las columnas de los pivotes cumplen \(1 < 3 < 4 \), por lo que cada pivote está más a la derecha que el anterior, y no hay ninguna fila nula.
La matriz \(M \) está escalonada, con pivotes \(3 \), \(4 \) y \(-1 \)
Decide si $$R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ es escalonada reducida por filas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que la matriz es escalonada.
A continuación verificaremos que los pivotes valen uno y son los únicos elementos no nulos de sus columnas.
Comprobación de la forma escalonada.
Los pivotes son \(1 \) en la columna 1, \(1 \) en la columna 3 y \(1 \) en la columna
4.
Cada uno está más a la derecha que el anterior y no hay filas nulas, luego la matriz es escalonada.
Comprobación de la condición de reducida.
Los tres pivotes valen \(1 \) y en las columnas 1, 3 y 4 no hay ningún otro elemento distinto de cero.
La matriz \(R \) es escalonada reducida por filas.
Decide si $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$ es escalonada e, en su caso, si es reducida por filas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por localizar los pivotes y comprobar la forma escalonada.
A continuación analizaremos si cumple las dos condiciones extra de la forma reducida.
Pivotes y forma escalonada.
Los pivotes son \(2 \), \(5 \) y \(-2 \), en las columnas \(1 < 2 < 3 \)
No hay filas nulas, luego la matriz es escalonada.
Condición de reducida.
Los pivotes no valen \(1 \), ya que son \(2 \), \(5 \) y \(-2 \), por lo que la matriz no puede ser reducida por filas.
La matriz \(A \) es escalonada, pero no es reducida por filas.
Decide si $$N = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ es escalonada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por localizar los pivotes de cada fila.
A continuación comprobaremos si sus columnas avanzan siempre hacia la derecha.
Localización de los pivotes.
Los pivotes son \(1 \) en la columna 1, \(4 \) en la columna 3 y \(2 \) en la columna
2.
Comprobación del orden de las columnas.
Las columnas de los pivotes son 1, 3 y 2, y se cumple que \(3 > 2 \): el pivote de la tercera fila está a la izquierda del pivote de la segunda fila, rompiendo la escalera.
La matriz \(N \) no es escalonada, porque el pivote de la tercera fila no está a la derecha del pivote de la segunda.
Determina para qué valores de \(a \) la matriz $$P = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ es escalonada.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar los pivotes según el valor del parámetro.
A continuación analizaremos en qué casos se cumplen las dos condiciones de la forma escalonada.
Estudio de los pivotes según \(a \)
Si \(a \neq 1 \), la segunda fila no es nula y su pivote es \(a - 1 \), en la columna
3.
La primera fila tiene su primer elemento no nulo en la columna 1 si \(a \neq 0 \), y en la columna 2 si \(a = 0 \)
En ambos casos la columna del pivote de la primera fila es menor que
3.
Caso especial \(a = 1 \)
Si \(a = 1 \), la segunda fila queda \((0, 0, 0) \), y las dos filas nulas están al final.
La primera fila tiene pivote \(1 \) en la columna 1, luego la matriz también es escalonada.
Conclusión del estudio.
En todos los casos los pivotes avanzan hacia la derecha y las filas nulas quedan al final.
La matriz \(P \) es escalonada para todo valor real de \(a \)