Ejercicios Resueltos 3.8 Representación de funciones

Sea $$ f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función cuya derivada tiene por gráfica la formada por los segmentos que unen los puntos $$ (-1, -2) $$, $$ (2, 2) $$ y $$ (4, -1) $$. a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de $$ f $$ y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. b) Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$?

La figura muestra la gráfica de una función $$ f $$ impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) definida en $$ [-3, 3] $$. La parte de la gráfica correspondiente a $$ x > 0 $$ consta de un segmento constante en $$ y = 1 $$ para $$ x \in (0,1) $$, y de un segmento que une los puntos $$ (1,2) $$ y $$ (3,3) $$. a) Calcula $$ f(0) $$. b) Completa la gráfica de $$ f $$ para $$ x < 0 $$. c) Calcula $$ f'(x) $$ en los puntos donde exista. [GRAPH: piecewise_odd_function | -3, 3]

De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la representada en la figura (la gráfica de $$ f' $$ es siempre positiva o cero, crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$, alcanzando su máximo en $$ f'(1)=1 $$). a) Halla la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? c) Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$. [GRAPH: given_derivative_graph | 0, 4]

Sea $$ \ln(x) $$ y sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{1}{x (\ln(x))^2} $$. Determina el conjunto $$ D $$ sabiendo que está formado por todos los puntos $$ x \in \mathbb{R} $$ para los que existe $$ f(x) $$.

Sea $$ f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Esboza la gráfica de f.

Sea $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \ln(x^2 + 1) $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función $$ f $$ (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Calcula $$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} \right) $$.

Sea f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} . Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f .

Sea f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} . Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f .

Sea f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} . Esboza la gráfica de f .

Sea $$ f:(1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ la función dada por $$ f(x) = \frac{x(\ln x)^2}{(x-1)^2} $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala.

Sea $$ f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^2 - |x| $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Sabiendo que $$F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$F(x) = e^{x^2}$$ es una primitiva de $$f$$, comprueba que $$f$$ es creciente.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x|x - 4| $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función dada por $$ f(x) = x^2 + px + q $$. Calcula los valores de $$ p $$ y $$ q $$ sabiendo que la función $$ f $$ tiene un extremo en $$ x = -6 $$ y su valor en él es $$ -2 $$.

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ Haz un esbozo de la gráfica de $$f$$.

Sea $$ f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos $$ (-1, -2) $$, $$ (2, 2) $$ y $$ (4, -1) $$. Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$? [GRAPH: (4/3)*x - 2/3; (-3/2)*x + 5 | -1, 4]

Dada la función $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ g(x) = 2x + |x^2 - 1| $$. Esboza la gráfica de $$ g $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} $$. Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x} $$ para $$ x \neq 0 $$ y $$ x \neq 2 $$. Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x} $$ para $$ x \neq 0 $$ y $$ x \neq 2 $$. Con los datos obtenidos de sus asíntotas y monotonía, esboza la gráfica de $$ f $$.

Dada la función $$ f(x)=x^2 e^{-x} $$, halla su derivada $$ f' $$ y razona cuál de las dos funciones, $$ f $$ o $$ f' $$, toma valores negativos para abscisas mayores que dos.

Considera la función f definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Calcula las asíntotas de la gráfica de f.

Considera la función f definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Determina los extremos relativos de $$ f $$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

Determina los parámetros $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$ de la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$, sabiendo que corta al eje de abscisas en $$ x = -2 $$ y $$ x = 1 $$, y tiene un mínimo en $$ x = 1 $$.

Dada la función $$ f $$ definida para $$ x \neq -1 $$ por $$ f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Dada la función $$ f $$ definida para $$ x \neq -1 $$ por $$ f(x) = \frac{x^3}{(1+x)^2} $$. Halla los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas.

Considera la función dada por $$ f(x) = \sqrt{3+|x|} $$ para $$ x \in [-3, 3] $$. Expresa la función $$ f $$ definida a trozos.

Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x) = \frac{x^2}{x+2} $$. a) Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de $$ f $$. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} $$. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de $$ f $$ (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x} $$ para $$ x \neq 0 $$ y $$ x \neq 2 $$. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. a) Calcula $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$. b) Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de $$ f $$ (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Sea $$ f $$ la función definida, para $$ x \neq 2 $$ y $$ x \neq -2 $$, por $$ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} $$ para $$ x \neq 1 $$. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Estudia la posición de la gráfica de $$ f $$ respecto de sus asíntotas.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. a) Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Determina los extremos relativos de $$ f $$ y los puntos de inflexión de su gráfica. c) Esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2} $$ definida para $$ x \neq -2 $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f : [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x (\cos x + \text{sen}\, x) $$. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de $$ f $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $$. a) Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $$ f $$ y calcula sus extremos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = x^2 e^{-x^2} .

Apartado a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f .

Apartado b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Apartado c) Esboza la gráfica de f .

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x(x-3)^2$$. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$f$$.

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x(x-3)^2$$. Haz un esbozo de la gráfica de $$f$$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) $$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$?

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x|x-2|$$. Haz un esbozo de la gráfica de $$f$$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 2 - x|x| $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 + |x - 1| $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$f$$ la función definida, para $$x \neq 0$$, por $$f(x) = x e^{\frac{1}{x}}$$. Determina las asíntotas de la gráfica de $$f$$.

Dada la función $$f$$ definida, para $$x \neq 0$$, por $$f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$$ determina las asíntotas de su gráfica.

Determina la función $$f : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $$(0,1)$$, $$f'(0)=0$$ y $$f''(x)=\frac{1}{x+1}$$.

Determina la única función derivable $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ que cumple que $$f(0)=1$$, $$f'(0)=1$$ y $$f''(x)=e^x(x+2)$$.

De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$. [GRAPH: dibujo_derivada | 0, 4]

Sea $$f : [0,2\pi] \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = e^x(\sin x + \cos x)$$. Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $$f$$.

Sea $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{x}} $$. Calcula el punto de inflexión de la gráfica de $$ f $$.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x \cdot (x - 2) $$. Determina, si existen, los puntos de inflexión de $$ f $$.

Sea la función $$ f : [1, e] \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 - 8\ln(x) $$ donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de $$ f $$.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$. Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $$ f $$.

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x$$ para $$x > 0$$. Determina el punto de la gráfica de $$f$$ en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

Sea f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \dfrac{3x + 1}{\sqrt{x}} .

Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f .

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = (x - a) \cdot e^x$$. Para $$a = 1$$, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.

Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (5 - x) \cdot e^{x - 4}$$. Determina los puntos de la gráfica de $f$ cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ dada por: $$f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

Considera la función $$ f(x) = \frac{1}{x \cdot |x|} $$, para $$ |x| \neq 0 $$.

Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$, así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

Se consideran las funciones $$f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ y $$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = \sqrt{3x}$$ y $$g(x) = \frac{1}{3}x^2$$. Haz un esbozo de sus gráficas.

Sean $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ y $$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ las funciones definidas por: $$f(x) = x^2 + |x|$$ ; $$g(x) = 2$$. Determina los puntos de corte de las gráficas de $$f$$ y $$g$$. Esboza dichas gráficas.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definidas por: $$ f(x) = 2 - x^2 $$ y $$ g(x) = |x| $$. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$ para $x \neq 1$. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

Dada la función $$ f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \ln x $$, donde $$ \ln $$ es la función logaritmo neperiano, se pide: Comprueba que la recta de ecuación $$ y = -ex + 1 + e^2 $$ es la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$ para $x \neq 1$. Esboza la gráfica de $f$ indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ función definida por $f(x) = x + xe^{-x}$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ que es paralela a la recta $x - y + 1 = 0$.

Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ función definida por $f(x) = x + xe^{-x}$. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

Sea $$ f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^2 - |x| $$. Calcula los extremos relativos de $$ f $$ (puntos donde se alcanzan y valor de la función).

Considera la función definida por $$ f(x) = -x + \frac{4}{x^2} $$ para $$ x \neq 0 $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x}{x^2+1} . Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f . Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f .

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x}{x^2+1} . Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \frac{x}{x^2+1} . Esboza la gráfica de f .

Sea $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$. Para $$a = 3$$, $$b = -9$$ y $$c = 8$$, calcula los extremos relativos de $$f$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x) = \frac{\ln x}{x} , donde \ln denota logaritmo neperiano. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Sea $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función derivable definida por: $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \le 1 \\ \frac{b}{x} + \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ donde $$\ln$$ denota el logaritmo neperiano. Para $$a = 3$$ y $$b = 2$$ calcula los extremos absolutos de $$f$$ en el intervalo $$[0, e]$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2} . Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2} . Esboza la gráfica de f .

Se administra una medicina a un enfermo y $$ t $$ horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por $$ c(t) = t \cdot e^{-\frac{t}{2}} $$ miligramos por mililitro. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, ¿en algún momento hay riesgo para el paciente?

Una partícula parte de reposo y al cabo de $$ t $$ segundos, su velocidad viene dada por la función $$ v(t) = t \cdot (4 - t) $$ metros/segundo (recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo). Esboza la gráfica de la función espacio con respecto al tiempo.

Una partícula parte de reposo y al cabo de $$ t $$ segundos, su velocidad viene dada por la función $$ v(t) = t \cdot (4 - t) $$ metros/segundo (recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo). Calcula el espacio recorrido en los tres primeros segundos.

En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura $$ T(t) $$ en grados Celsius se puede modelar por la función $$ T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1} $$ donde $$ t \ge 0 $$ representa el tiempo en segundos. En relación a la función $$ T(t) $$, indica su dominio, intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad, posibles extremos y posibles asíntotas. Esboza la gráfica de dicha función.

Considera las funciones $$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = 6x - x^2$$ y $$g(x) = x^2 - 2x$$. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Se han realizado varios estudios para determinar el modo en que se transmiten los bulos en cierta red social. Un primer estudio ha establecido que el numero (aproximado) de personas $$ f(t) $$ (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función $$ f(t) = \frac{18}{1 + 2^{-t+3}} $$ donde $$ t $$ representa el tiempo (en días). Según este modelo, ¿cuántas personas empiezan a difundir el bulo?

Se han realizado varios estudios para determinar el modo en que se transmiten los bulos en cierta red social. Un primer estudio ha establecido que el numero (aproximado) de personas $$ f(t) $$ (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función $$ f(t) = \frac{18}{1 + 2^{-t+3}} $$ donde $$ t $$ representa el tiempo (en días). A medida que transcurre el tiempo, ¿está limitado el número de personas que conocen el bulo? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

En un segundo estudio, han simplificado un modelo anterior y han establecido que el numero (aproximado) de personas $$ g(t) $$ (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función $$ g(t) = \frac{18}{\pi} \text{arc}\tan(t - 3) + 9 $$ donde $$ t $$ representa el tiempo (en días). Según este segundo modelo, ¿en qué momento empieza a disminuir la velocidad a la que se propaga el bulo? ¿Cuántas personas conocen en dicho momento el bulo?

Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función $$ v $$, medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada $$ v' $$ de esta función se corresponde con $$ v'(t) = 24 - 6\sqrt{t+1} $$, donde $$ t $$ representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador. Obtén la función que determina la velocidad del cohete y la velocidad máxima que alcanza.

Sean $$ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por: $$ f(x)=\text{sen} x $$ y $$ g(x)=\cos x $$, respectivamente. Realiza un esbozo de las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$ en el intervalo $$ [0,\frac{\pi}{2}] $$.

Halla dos funciones polinómicas: la primera que tenga un único extremo relativo y la segunda que no contenga ninguno.

Sea la función f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} . Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

a) Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $$. Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

b) Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $$. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función $$ f $$.

c) Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

a) Sea $$ f : [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x (\cos x + \text{sen } x) $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. b) Sea $$ f : [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x (\cos x + \text{sen } x) $$. Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de $$ f $$.

Sean $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ y $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ las funciones definidas mediante $$f(x)=|x(x-2)|$$ y $$g(x)=x+4$$. Esboza las gráficas de $$f$$ y $$g$$ sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Sean $$f$$ y $$g$$ las funciones definidas por $$f(x)=2-x$$ y $$g(x)=\frac{2}{x+1}$$ para $$x\neq-1$$. Calcula los puntos de corte entre las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Sean $$f$$ y $$g$$ las funciones definidas por $$f(x)=2-x$$ y $$g(x)=\frac{2}{x+1}$$ para $$x\neq-1$$. Esboza las gráficas de $$f$$ y $$g$$ sobre los mismos ejes.

Sea $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$g(x)=-x^2+6x-5$$. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$g$$ en el punto de abscisa $$x=4$$.

Sean $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas respectivamente por $$ f(x) = \frac{|x|}{2} $$ y $$ g(x) = \frac{1}{1+x^2} $$. Esboza las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$ sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = |\ln(x)| $$ para $$ x > 0 $$. Calcula los puntos de corte de la gráfica de $$ f $$ con la recta $$ y = 1 $$.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = |x^2-4| $$. Haz un esbozo de la gráfica de $$ f $$.

Considera la región limitada por las curvas $$ y = x^2 $$ e $$ y = -x^2 + 4x $$. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $$ f(x) = \sqrt{2x-2} $$ para $$ x \ge 1 $$, la recta $$ y=x-5 $$ y el eje de abscisas. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de $$ f $$ y las rectas.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x}{x^2+1} $$. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$ y los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \frac{x^2}{x - 1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de $$ f $$. Calcula los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$f:\left(-\frac{e}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=\ln(2x+e)$$, donde $$\ln$$ denota logaritmo neperiano. Haz un esbozo de la gráfica de $$f$$ calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.

Sean las funciones $$f,g:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=\text{sen } x$$ y $$g(x)=\text{sen } 2x$$. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Considera las funciones $$f,g:[-\pi,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=\cos(x)$$ y $$g(x)=\text{sen}(x)$$. Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

Sea la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ dada por: $$f(x)=x\cdot e^{-x^2}$$. Calcula los puntos de corte de la gráfica de $$f$$ con los ejes coordenados y los extremos relativos de $$f$$ (abscisas en los que se obtienen y los valores que se alcanzan).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = 4x^3 - x^4 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Considera la función $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (\ln(x))^2 $$ (donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $$ f $$ la función definida por: $$ f(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x < 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} $$. Calcula los puntos de corte de la gráfica de $$ f $$ con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = x^3 + 2 $$ y $$ g(x) = -x^2 + 2x + 2 $$. Calcula los puntos de corte de las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$. Esboza sus gráficas.

Considera las funciones $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ y $$g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = 5 - x^2$$ y $$g(x) = \frac{4}{x^2}$$. Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$$. Calcula los puntos de corte de la gráfica de $$f$$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.

Considera las funciones $$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=-e^x$$ y $$g(x)=-e^{-x}$$. Esboza las gráficas de dichas funciones.

Se quiere introducir una zona verde de césped en un parque urbano para hacerlo más agradable. La zona con césped está delimitada por las gráficas de las funciones $$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, dadas por $$f(x)=9x-x^2$$ y $$g(x)=x$$, donde $$x$$ representa la longitud en metros. Si el césped para plantar en esa zona tiene un precio de $$12$$ euros por metro cuadrado, ¿cuál será el coste total del césped para toda la zona verde?

Sea $$ f $$ la función definida como $$ f(x) = (x+2)\ln(x) $$ para $$ x>0 $$, donde $$ \ln(x) $$ representa al logaritmo neperiano de $$ x $$. Calcula $$ \int f(x) dx $$.

Considera la función $$ f(x) = \frac{1}{x \cdot |x|} $$, para $$ |x| \neq 0 $$.

Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.

Sea $$f$$ la función definida como $$f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$$ para $$x \neq \pm 1$$. Esboza la gráfica de $$f$$.

Sea $$f$$ la función definida por $$f(x) = \frac{e^x}{x - 1}$$ para $$x \ne 1$$. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de $$f$$.

Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = x^2 - |x|$$. Calcula los extremos relativos de $$f$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Se considera la función $$ f $$ dada por $$ f(x) = \frac{-3x^2 + 2}{x-1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Considera la función definida por $$ f(x) = -x + \frac{4}{x^2} $$ para $$ x \neq 0 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$ y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$. Estudia y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. Calcula los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2}$$ para $$x \neq -1$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Se considera la función $f : (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}$$. Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Se considera la función $f : (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}$$. Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$$ para $$x \neq 1, -1$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Sea $$f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = \frac{\text{sen}(x)}{2 - \cos(x)}$$. Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $f$ la función definida por $$f(x) = \frac{|x|}{2 - x}$$ para $$x \neq 2$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$$ para $$x \neq 1, -1$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Considera la función $f$ definida por $$ f(x)=\frac{x^2-10}{x^2+2x-3} $$ para ($x \neq -3$, $x \neq 1$). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$ f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} $$.

Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función $$ f : [-2, 2\pi] \to \mathbb{R} $$, definida por: $$ f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases} $$

Halla los extremos relativos y absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = x(\ln(x))^2 $$ ($$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = x(\ln(x))^2 $$ ($$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = 1 + \int_0^x t \cdot e^t \, dt $$. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de $$ f $$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$ F : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ F $$.

Sea la función $$ f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} $$, definida por $$ f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) $$, donde ln denota la función logaritmo neperiano. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Sea la función $$ f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} $$, definida por $$ f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right) $$, donde ln denota la función logaritmo neperiano. Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=(x^2+1)e^x $$. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Sea la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ dada por $$ f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Halla dos números mayores o iguales que $$ 0 $$, cuya suma sea $$ 1 $$, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

Sea $$ f : [0,2] \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases} $$. Estudia la derivabilidad de $$ f $$.

Considera la función $$ f : (-1,1) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{(1-|x|)^2} $$. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función $$ f $$.

Sea la función $$ f : (-1,1) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1+|x|}{1-|x|} $$. Estudia la derivabilidad de $$ f $$.

Sea la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ dada por $$ f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot e^{-x^2} $$. Halla los extremos absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea la función $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2} $$. Para $$ a = 0 $$, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. Estudia y halla los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $$ f : [0,2] \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases} $$. Halla los extremos absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Considera la función $$ f : (-1,1) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{(1-|x|)^2} $$. Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sean las funciones $$ f : (-1,0) \cup (0,1) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$, definidas por $$ f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) $$ y $$ g(x) = x^3 + 2 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $$ f $$.

Sea la función $$ f : (-1,1) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1+|x|}{1-|x|} $$. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Considera la función $$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.

Considera la función $$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \text{ si } x \neq 1, -1 $$. ¿Es creciente $$ f $$ en el conjunto $$ (-1,1) \cup (1,+\infty) $$? Justifica tu respuesta.

Sea la función f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} . Estudia su continuidad y derivabilidad.

Sea f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 | x - 3 | . Estudia la continuidad y derivabilidad de f .

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x) = \begin{cases} -x e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ x e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ x e^{1-x} & \text{si } 1 < x \end{cases} $$ Estudia la derivabilidad de $$ f $$ en $$ x = 0 $$ y en $$ x = 1 $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x) = \begin{cases} -x e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ x e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ x e^{1-x} & \text{si } 1 < x \end{cases} $$ Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de $$ f $$.

Halla los coeficientes $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$ sabiendo que la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$ tiene en $$ x = 1 $$ un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de $$ f $$ pasa por el punto $$ (1, 1) $$.

Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x $$ para $$ x > 0 $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Halla $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ f $$ tiene extremos relativos en $$ x = 1 $$ y en $$ x = 2 $$.

Sea $$f$$ la función definida como $$f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$$ para $$x \neq \pm 1$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$f$$.

Considera la función $$f : [0,4] \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \begin{cases} x^2+ax+b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$. Para $$a = -3$$, $$b = 4$$ y $$c = 1$$ halla los extremos absolutos de $$f$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

a) Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para $$ x \neq 0 $$, por $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} $$, $$ g(x) = e^{\frac{1}{x}} $$ y $$ h(x) = \frac{\ln(x)}{x} $$, siendo ln la función logaritmo neperiano. Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h.

b) Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para $$ x \neq 0 $$, por $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} $$, $$ g(x) = e^{\frac{1}{x}} $$ y $$ h(x) = \frac{\ln(x)}{x} $$, siendo ln la función logaritmo neperiano. Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

a) De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Halla la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$. b) De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? c) De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$.

a) Sea $$ f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.

b) Sea $$ f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f.

c) Sea $$ f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.

d) Sea $$ f(x) = \frac{x^4 + 3}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Esboza la gráfica de f.

a) Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} $$. Calcula las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

b) Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de $$ f $$ (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Determina los extremos relativos de $$ f $$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sea una función impar cuya gráfica para $$ x > 0 $$ se conoce. a) Halla el valor de $$ f(0) $$ para esta función. b) Completa la gráfica de la función $$ f $$. c) Calcula la derivada $$ f'(x) $$ de la función en los puntos donde exista.

a) Sea f la función definida para $$ x \neq 1 $$ por $$ f(x) = \frac{e^x}{x-1} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de f.

b) Sea f la función definida para $$ x \neq 1 $$ por $$ f(x) = \frac{e^x}{x-1} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Sea f la función definida para $$ x \neq 1 $$ por $$ f(x) = \frac{e^x}{x-1} $$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.

d) Sea f la función definida para $$ x \neq 1 $$ por $$ f(x) = \frac{e^x}{x-1} $$. Esboza la gráfica de f.

Sea f la función definida, para x \neq 2 y x \neq -2 , por f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4} .

Esboza la gráfica de f .

Apartado a) Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Halla las asíntotas de la gráfica de $$ f $$.

Apartado b) Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de $$ f $$.

Apartado c) Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de $$ f $$.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$ para $x \neq 1$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

a) Sea $$ f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos $$ (-1, -2) $$, $$ (2, 2) $$ y $$ (4, -1) $$. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de $$ f $$ y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos.

b) Sea $$ f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos $$ (-1, -2) $$, $$ (2, 2) $$ y $$ (4, -1) $$. Estudia la concavidad y convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$?

Sea la función f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x) = \frac{\ln x}{x} , donde \ln denota logaritmo neperiano. Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f .

Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2} . Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f .

En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura $$ T(t) $$ en grados Celsius se puede modelar por la función $$ T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1} $$ donde $$ t \ge 0 $$ representa el tiempo en segundos. Indica, justificando tu respuesta, cuál era la temperatura inicial que tenía la bebida, describe cómo ha evolucionado su temperatura y cuál sería la hipotética temperatura final que alcanzaría. ¿A qué temperatura esta la habitación?

El número de moléculas en una placa de ensayo viene dado por la función $$ f(x) = e^{x^2 - 2x} $$ expresado en miles de moléculas, donde $$ x \in [0,5] $$ indica el tiempo en horas. ¿Cuál es la velocidad de crecimiento a las 3 horas? ¿Cuál es la velocidad media de crecimiento en el intervalo $$ [0,5] $$?

Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de $$ f $$.

Sea f: $$ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 2x + 4 $$ si $$ x \leq 0 $$, y $$ f(x) = (x-2)^2 $$ si $$ x > 0 $$. Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = (x+3) \cdot e^{-x} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sabiendo que una función $$ f $$ es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para $$ x > 0 $$ como la de la figura, halla el valor de $$ f(0) $$. [GRAPH: 1; 0.5*x+1.5 | 0, 3]

Sabiendo que una función $$ f $$ es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para $$ x > 0 $$ como la de la figura, completa la gráfica de $$ f $$ para el semieje negativo. [GRAPH: 1; 0.5*x+1.5 | 0, 3]

Sean $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ y $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ las funciones definidas mediante $$f(x)=x^3+3x^2$$ y $$g(x)=x+3$$. Esboza las gráficas de $$f$$ y de $$g$$ calculando sus puntos de corte.

Considera las funciones $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ y $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=e^{x-1}$$ y $$g(x)=e^{1-x}$$. Esboza las gráficas de $$f$$ y de $$g$$ y determina su punto de corte.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = \begin{cases} x|x| & \text{si } x \le 2 \\ 6 - x & \text{si } x > 2 \end{cases} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Considera la función $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$$. Esboza la gráfica de $$f$$.

Sea $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función dada por $$ g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x $$. Esboza la gráfica de $$ g $$.

Sean $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por $$ f(x) = x^2 - 1 $$ y $$ g(x) = 2x + 2 $$. Esboza las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$.

Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = x|x - 1|$$. Esboza la gráfica de $$f$$.

Sean $$ f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ las funciones definidas por $$ f(x) = x^2 - 2x + 3 $$ y $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1 $$. Esboza las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$, y halla su punto de corte.

Sea la función f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} . Esboza la gráfica de f .

Sea f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x + e^{-x} . Esboza la gráfica de f .

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $$. Esboza la gráfica de $$ f $$.

Sea f la función definida para x \neq 0 por f(x) = \frac{x^2+1}{x}. Esboza la gráfica de f.

Sean $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ y $$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ las funciones definidas por: $$f(x) = 4 - 3|x|$$ y $$g(x) = x^2$$. Esboza las gráficas de $$f$$ y $$g$$. Determina sus puntos de corte.

Considera la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x)=\text{arctg}(x+\pi) $$, donde arctg denota la función arcotangente. Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=(x^2+1)e^x $$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$ y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x \cdot (x - 2) $$.

Determina, si existen, los puntos de inflexión de $$ f $$.

Sea la función $$ f : [1, e] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 - 8\ln(x) $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano.

Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de $$ f $$.

Considera la función f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \ln(x^2 + 1) (donde \ln denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.