Colección de 100 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Dadas la parábola de ecuación $$ y = 1 + x^2 $$ y la recta de ecuación $$ y = 1 + x $$, calcula la ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.
Sea $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función tal que su función derivada viene dada por $$ f'(x) = \begin{cases} \frac{2x}{3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } 3 \le x \le 4 \end{cases} $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$, sabiendo que $$ f(1) = \frac{16}{3} $$.
Dada la función $$ f(x) = x^2 - 2x + 2 $$. Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $$ x=3 $$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \sqrt[3]{x} $$. Calcula la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.
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Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x}} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases} $$. a) Calcula los límites laterales de $$ f $$ en $$ x = 0 $$. ¿Es $$ f $$ continua en $$ x = 0 $$? b) Calcula el valor de la derivada de $$ f $$ en $$ x = 1 $$.
De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación $$ y = \frac{1}{4} x^2 + 4x + 4 $$. Calcula los puntos de tangencia correspondientes.
Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1 $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en un punto de la misma de ordenada $$ y=1 $$, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.
Estudia la derivabilidad de la función $$ f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{3+x^2} - x & \text{si } 0 < x \le 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{x^2}{4} & \text{si } x > 1 \end{cases} $$ Calcula la función derivada.
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$ a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $$ f $$ en $$ x = 1 $$. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $$ f $$.
Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función $$ f $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-|x|} & \text{si } x \neq -1 \text{ y } x \neq 1 \\ 0 & \text{si } x = -1 \text{ o } x = 1 \end{cases} $$
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) $$. a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$. b) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$?
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola $$ y = x^2 $$ que es paralela a la recta $$ -4x + y + 3 = 0 $$. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $$ y = x^2 $$ que pasan por el punto $$ (2, 0) $$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 2 - x|x| $$. a) Esboza la gráfica de $$ f $$. b) Estudia la derivabilidad de $$ f $$ en $$ x=0 $$. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=2 $$.
Sea $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^2 \ln(x) $$ ($$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = (x - 3) \cdot e^x $$. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en su punto de inflexión.
Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = x e^{-x^2} $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=0 $$.
Sea la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ tal que $$f'(x)=(2x+1)e^{-x}$$ y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. Calcula la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=0$$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 4 - x^2 $$. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta $$ x + 2y - 2 = 0 $$.
Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 - 5x + 4 $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 3 $$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 2 - x|x| $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=2 $$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x \cdot \cos x $$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 0 $$.
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano.
a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = -2 $$.
a) Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) $$. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$. b) Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) $$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $$ f $$. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de $$ f $$?
Halla una función $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ tal que su gráfica pase por el punto $$ M(0,1) $$, que la tangente en el punto $$ M $$ sea paralela a la recta $$ 2x - y + 3 = 0 $$ y que $$ f''(x) = 3x^2 $$.
Determina un punto de la curva de ecuación $$ y = x \cdot e^{-x^2} $$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
a) Sea $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \ln(x^2 + 1) $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función $$ f $$ (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
b) Sea $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \ln(x^2 + 1) $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de inflexión de abscisa negativa.
Sea f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \ln(x) ( \ln denota la función logaritmo neperiano).
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \sqrt{e} .
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2) $$. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.
Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=x^2$$. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=1$$.
Determina la función $$f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$$ sabiendo que $$f''(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=2$$ es $$y=x+2$$.
Se sabe que la función $$ f : (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} -2x^2 + \frac{x}{2} + c & \text{si } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1 - x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases} $$ es derivable en el intervalo $$ (-1, 1) $$. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $$ f $$ que son paralelas a la recta de ecuación $$ y = -x $$.
Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola $$ y = x^2 $$ que es paralela a la recta $$ -4x + y + 3 = 0 $$.
El enunciado contiene información superflua: la recta $ r $ y el punto $ A(1, 2) $ no se utilizan en absoluto para calcular la tangente y la normal a la curva en $ x_0 $, ya que la solución depende únicamente de la derivada en ese punto y de la función evaluada en $ x_0 $. Dada la función $ f(x) = x^2 $, calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva en el punto con abscada $ x_0 = 1 $.
Sea $$f:(-1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=\ln(x+1)$$. ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano). Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=0$$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función dada por $$ f(x) = e^{-2x} $$. Justifica que la recta de ecuación $$ y = -2ex $$ es la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = -\frac{1}{2} $$.
Sea $$ g : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ la función dada por $$ g(x) = \ln x $$ (donde $$ \ln x $$ denota logaritmo neperiano). Justifica que la recta de ecuación $$ y = \frac{1}{e} x $$ es la recta tangente a la gráfica de $$ g $$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.
De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Halla la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$. [GRAPH: dibujo_derivada | 0, 4]
Sean $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ y $$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ las funciones definidas por $$f(x) = x^2 + ax + b$$ y $$g(x) = c e^{-(x+1)}$$. Se sabe que las gráficas de $$f$$ y $$g$$ se cortan en el punto $$(-1,2)$$ y tienen en ese punto la misma recta tangente. Halla la ecuación de dicha recta tangente.
Dada la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \frac{x+1}{e^x}$$, determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en su punto de inflexión.
Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, definida por $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$. Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 3$$.
Sea $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función dada por $$ g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x $$. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ g $$ en el punto de abscisa $$ x = 2 $$.
Se ha detectado que el enunciado proporcionado es una cadena de texto vacía o solo contiene marcadores de lugar sin contenido real. No hay "información superflua" que se pueda eliminar ya que no hay un enunciado legible para revisar. No obstante, dado que la instrucción es devolver ÚNICAMENTE el enunciado reescrito sin información irrelevante o la palabra "PERFECTO", y no hay texto útil para reescribir: PERFECTO
Considera la curva de ecuación $$y = x^3 - 3x$$. Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $$x = -1$$.
La recta tangente a la gráfica de la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, definida por $$f(x) = mx^2 + nx - 3$$, en el punto $$(1, -6)$$, es paralela a la recta de ecuación $$y = -x$$. Determina las constantes $$m$$ y $$n$$. Halla la ecuación de dicha recta tangente.
Sea $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = 1 + \ln(x)$$, siendo $$\ln$$ la función logaritmo neperiano. Comprueba que la recta de ecuación $$y = 1 + \frac{1}{e}x$$ es la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = e$$.
Sea la función $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{x} + \ln x $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x $$ donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = -2 $$.
Sea $$ f : (-\infty, 1) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \begin{cases} x + 2e^{-x} & \text{si } x \le 0 \\ a\sqrt{b - x} & \text{si } 0 < x < 1 \end{cases} $$. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$ x = 0 $$.
Sea la función continua $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 0 \\ \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases} $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.
Sea $$f$$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x}{\ln(x)} $$ para $$ x > 0 $$, $$ x \ne 1 $$ (donde $$ \ln $$ denota el logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.
Considera la función derivable $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} & \text{si } x < 0 \\ ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = -1$$.
Sea $$f$$ la función definida por $$f(x) = \frac{1}{2x} + \ln x$$ para $$x > 0$$. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 1$$.
Sean $$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ las funciones definidas por $$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4$$ y $$g(x) = x^2 - 1$$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = -2$$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x)=x^3-4x $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x)=\frac{9-x^2}{4} $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=1 $$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 $$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 2 $$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 $$. Halla, si existe, el punto de la gráfica de $$ f $$ en el que la recta tangente es $$ y = 3 - x $$.
Sea $$f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ la función dada por $$f(x) = \ln x$$ ($$\ln$$ representa logaritmo neperiano). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 1$$.
Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ dadas por $$f(x)=3-x^2$$ y $$g(x)=-\frac{x^2}{4}$$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=1$$ y comprueba que también es tangente a la gráfica de $$g$$. Determina el punto de tangencia con la gráfica de $$g$$.
Sea $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=e^{2-x}$$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=2$$.
Considera la función $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{-2x}$$. Determina el punto de la gráfica de $$f$$ en el que la recta tangente es $$y=-2ex$$.
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x $$. Calcula $$ a $$ para que la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto $$ (a, f(a)) $$ pase por el origen de coordenadas.
Halla la función $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ sabiendo que $$ f''(x) = 12x - 6 $$ y que la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 2 $$ tiene de ecuación $$ 4x - y - 7 = 0 $$.
Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^2 + 1$$. Determina el punto de la gráfica de $$f$$ en el que la recta tangente es $$y = 4x - 3$$.
Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}$$. Halla los puntos de la gráfica de $$f$$ cuya recta tangente es horizontal.
Considera la función derivable f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por:
f(x) = \begin{cases} e^x - e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ ax^2 + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
Apartado a) Calcula a y b .
Apartado b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1 .
Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (x^2 + 3x + 1) \cdot e^{-x}$$. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 0$$.
Sea f la función definida por f(x) = \ln x + \dfrac{1}{2x} para x > 0 .
Apartado a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.
Apartado b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 .
Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = | x^2 - 4 | . Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1 .
Calcula la función polinómica, de grado $$ 3 $$, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $$ (0, 2) $$ y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa $$ x = 1 $$ es la recta $$ x + y = 3 $$.
Considera la función $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$. Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 0 $$.
Dada $f : (1, e) \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano), determina la recta tangente a la gráfica de $f$ que tiene pendiente máxima.
Considera la función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} (3x-6) \cdot e^x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{36(sen(x)-ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases} $$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Sea $f$ la función definida por $$ f(x)=\frac{ax^2+b}{a-x} $$ (para $x \neq a$). Para $a=2$ y $b=3$, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=1$.
Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} \frac{ax+b}{x-1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1+x) & \text{si } x > 0 \end{cases} $$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=2$.
Sea $$f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = \frac{\text{sen}(x)}{2 - \cos(x)}$$. Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisas $$x = \frac{\pi}{3}$$.
Sea la función derivable $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $$x = 2$$.
Sea f la función continua definida por
f(x) = egin{cases} x^2 + 2 & ext{si } x \leq 0 \\ \sqrt{ax + b} & ext{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & ext{si } 2 < x \end{cases}
Para a = -1 y b = 4 , estudia si existe la derivada de f en x = 2 . En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.
Sea f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} , la función definida por f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = \frac{3\pi}{2} .
Sea f la función continua definida por
f(x) = egin{cases} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & ext{si } x \neq 0 \\ \mu & ext{si } x = 0 \end{cases}
Para \lambda = 2 , calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 .
Considera la función f definida por f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3} , para x \neq -2 . Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 .
Sea la función $$ f : [-2, 2] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 - 2x + 5 $$.
Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $$ (-2, f(-2)) $$ y $$ (2, f(2)) $$.
Sea la función $$ f : [-2, 2] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 - 2x + 5 $$.
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de inflexión.
Considera la función $$ f(x) = \frac{x^2+a}{x-b} $$, para $$ x \neq b $$.
En el caso de $$ a = 5 $$ y $$ b = 4 $$, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ que pasa por el punto de abscisa $$ x = 0 $$.
Sea la función $$ f : [-2, 2\pi] \to \mathbb{R} $$, definida por: $$ f(x) = \begin{cases} 5x+1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases} $$
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = \frac{\pi}{2} $$.
Sea la función $$ f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=\ln(x) $$, donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $$ A(1,0) $$ y $$ B(e,1) $$. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $$ f $$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $$ A $$ y $$ B $$.
Sea la función $$ f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=\ln(x) $$, donde ln denota el logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $$ A(1,0) $$ y $$ B(e,1) $$. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto $$ A $$.
Sea la función derivable $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=\begin{cases} a\cdot e^{-x}+b\cdot \ln(1-x) & \text{si } x<0 \\ x+\ln(1+x) & \text{si } x\geq 0 \end{cases} $$ donde ln denota la función logaritmo neperiano. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=0 $$.
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (x-1)\cdot e^x $$. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $$ f $$ en el punto de inflexión.
Sean las funciones $$ f : (-1,0) \cup (0,1) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$, definidas por $$ f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) $$ y $$ g(x) = x^3 + 2 $$. Calcula $$ a \neq 0 $$ de forma que en el punto $$ (a, f(a)) $$ la recta normal a la gráfica de la función $$ f $$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $$ g $$ en el punto $$ (a, g(a)) $$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^2 + 4x + 3 $$. Encuentra los valores del parámetro $$ a $$ para los que la recta que pasa por el origen $$ y = a x $$ es tangente a la gráfica de $$ f $$. ¿Cuál es la abscisa de los puntos de tangencia?
Sea $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ función definida por $$ f(x) = x + x e^{-x} $$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ que es paralela a la recta $$ x - y + 1 = 0 $$.
Sea $$f$$ la función definida como $$f(x) = \frac{ax^2+b}{a-x}$$ para $$x \neq a$$. Para el caso de $$a=2$$, $$b=3$$, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x=1$$.
Sea $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = \ln(x^2 + 3x)$$, donde $$\ln$$ denota el logaritmo neperiano. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $$f$$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación $$x - 2y + 1 = 0$$.
Sea $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = \ln(x^2 + 3x)$$, donde $$\ln$$ denota el logaritmo neperiano. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 3$$.
Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida como $$f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x}$$. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = -5$$ y en el punto de abscisa $$x = 2$$.
Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = 4 - x^2 . Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 .
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de $$ t $$ segundos viene dada por $$ h(t) = 5 - 5t - 5e^{-2t} $$. Teniendo en cuenta que la velocidad es $$ v(t) = h'(t) $$, halla la velocidad al cabo de $$ 2 $$ segundos.
Estudia la derivabilidad de la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{\text{sen}(x)}{x} & \text{si } x > 0 \\ 1 & \text{si } x \le 0 \end{cases} $$