Ejercicios Resueltos 3.2 Límites y límites laterales

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \text{sen}\, x}{x \cdot \text{sen}\, x} $$

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x \cdot \sin x} $$

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen} x - x \cdot e^x}{x^2} $$ es finito, calcula el valor de $$ a $$ y el de dicho limite.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$. Calcula: $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. Calcula: $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$.

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x \cdot \sin x} $$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{a}{e^x - 1} \right) $$ es finito. Determina el valor de $$ a $$ y calcula el límite.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. Calcula: $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$.

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\sin x}}{x^2}$$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \alpha \operatorname{sen} x}{x^2} $$ es finito. Determina el valor de $$ \alpha $$ y calcula el límite.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3} $$ es finito, calcula $$b$$ y el valor del límite.

Sea $$f$$ la función definida por $$ f(x) = x e^{\frac{1}{x}} $$ para $$ x \ge -1 $$, $$ x \ne 0 $$. Calcula los límites laterales de $$f$$ en $$ x = 0 $$.

Sabiendo que $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{a}{\ln x} \right)$$ es finito, calcula $$a$$ y el valor del límite ($$\ln$$ denota el logaritmo neperiano).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x) = x^2 + 4 $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.

Sabiendo que \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - ax}{x \operatorname{sen} x} es finito, calcula a y el valor del límite.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\sin(x^2)} $$ es finito e igual a $$ 1 $$, calcula los valores de $$ a $$ y $$ b $$.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} \right) $$.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(x) - x}{x - \text{sen}(x)} $$

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\sin^2(x)}$$.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1) - a \sen x + x \cos(3x)}{x^2} $$ es finito, calcula $$ a $$ y el valor del límite.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$.

a) Calcula $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$.

b) Halla los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).

c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $$ f $$.

Calcula $a$ sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{a}{x} \right) $$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} $$.

Calcula $$ \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 f(x) \right) $$.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{sen(x) - \ln(1+x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7} $$, calcula $$ a $$ ($$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula \lim_{x\to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{2}{x^2 - 1} \right) siendo ln la función logaritmo neperiano.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(x) - x}{x - \text{sen}(x)} $$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{a}{e^x - 1} \right) $$ es finito. Determina el valor de $$ a $$ y calcula el límite.

Considera la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x)=\text{arctg}(x+\pi) $$, donde arctg denota la función arcotangente. Calcula $$ \lim_{x\rightarrow-\pi} \frac{\text{arctg}(x+\pi)}{\text{sen}(x)} $$.

Calcula $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\text{sen}^2(x)}=5 $$. Donde ln denota la función logaritmo neperiano.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1} $$ es finito, calcula $$ a $$ y el valor del límite.

Calcula $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \text{sen}(x) + a(e^x - 1) + \text{sen}(x)}{bx^2 + x - \text{sen}(x)} = 1 $$ (donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Sea $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x} $$. Calcula $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$. Interpreta gráficamente el resultado.

Sea $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x} $$. Calcula $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $$. Interpreta gráficamente el resultado.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2} $$ es finito, calcula el valor de $$ a $$ y el valor de dicho límite.

Calcula a y b sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a\operatorname{sen}(x) + x\ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2

(donde \ln denota la función logaritmo neperiano).

Calcula a sabiendo que

\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln(x))^3 + 2x} = 1

(donde \ln denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} \right) $$.

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \alpha \operatorname{sen} x}{x^2} $$ es finito. Determina el valor de $$ \alpha $$ y calcula el límite.

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \text{sen}\, x}{x \cdot \text{sen}\, x} $$

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x \cdot \sin x} $$

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen} x - x \cdot e^x}{x^2} $$ es finito, calcula el valor de $$ a $$ y el de dicho limite.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$. Calcula: $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. Calcula: $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$.

Calcular el límite: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x \cdot \sin x} $$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{a}{e^x - 1} \right) $$ es finito. Determina el valor de $$ a $$ y calcula el límite.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. Calcula: $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$.

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\sin x}}{x^2}$$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \alpha \operatorname{sen} x}{x^2} $$ es finito. Determina el valor de $$ \alpha $$ y calcula el límite.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3} $$ es finito, calcula $$b$$ y el valor del límite.

Sea $$f$$ la función definida por $$ f(x) = x e^{\frac{1}{x}} $$ para $$ x \ge -1 $$, $$ x \ne 0 $$. Calcula los límites laterales de $$f$$ en $$ x = 0 $$.

Sabiendo que $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{a}{\ln x} \right)$$ es finito, calcula $$a$$ y el valor del límite ($$\ln$$ denota el logaritmo neperiano).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dada por $$ f(x) = x^2 + 4 $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.

Sabiendo que \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - ax}{x \operatorname{sen} x} es finito, calcula a y el valor del límite.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\sin(x^2)} $$ es finito e igual a $$ 1 $$, calcula los valores de $$ a $$ y $$ b $$.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} \right) $$.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(x) - x}{x - \text{sen}(x)} $$

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^{-2x} - 2x}{\sin^2(x)}$$.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1) - a \sen x + x \cos(3x)}{x^2} $$ es finito, calcula $$ a $$ y el valor del límite.

Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$.

a) Calcula $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) $$ y $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$.

b) Halla los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).

c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $$ f $$.

Calcula $a$ sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x+1}{\ln(x+1)} - \frac{a}{x} \right) $$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} $$.

Calcula $$ \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 f(x) \right) $$.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{sen(x) - \ln(1+x)}{ax^2 - x + e^x - \cos(2x)} = -\frac{1}{7} $$, calcula $$ a $$ ($$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula \lim_{x\to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{2}{x^2 - 1} \right) siendo ln la función logaritmo neperiano.

Calcula $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg}(x) - x}{x - \text{sen}(x)} $$

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{a}{e^x - 1} \right) $$ es finito. Determina el valor de $$ a $$ y calcula el límite.

Considera la función $$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x)=\text{arctg}(x+\pi) $$, donde arctg denota la función arcotangente. Calcula $$ \lim_{x\rightarrow-\pi} \frac{\text{arctg}(x+\pi)}{\text{sen}(x)} $$.

Calcula $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\text{sen}^2(x)}=5 $$. Donde ln denota la función logaritmo neperiano.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1} $$ es finito, calcula $$ a $$ y el valor del límite.

Calcula $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \text{sen}(x) + a(e^x - 1) + \text{sen}(x)}{bx^2 + x - \text{sen}(x)} = 1 $$ (donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano).

Sea $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x} $$. Calcula $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $$. Interpreta gráficamente el resultado.

Sea $$ f : (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{x\ln(x)}{x^2 + e^x} $$. Calcula $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $$. Interpreta gráficamente el resultado.

Sabiendo que $$ \lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2} $$ es finito, calcula el valor de $$ a $$ y el valor de dicho límite.

Calcula a y b sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a\operatorname{sen}(x) + x\ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2

(donde \ln denota la función logaritmo neperiano).

Calcula a sabiendo que

\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln(x))^3 + 2x} = 1

(donde \ln denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} \right) $$.

Se sabe que $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \alpha \operatorname{sen} x}{x^2} $$ es finito. Determina el valor de $$ \alpha $$ y calcula el límite.