Ejercicios Resueltos 3.14 Cálculo de áreas

Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: $$ y = x^2 + 1 $$; $$ y = \frac{2}{x} $$; $$ y = x - 1 $$

Dibuja el recinto limitado por la curva $$ y = \frac{9-x^2}{4} $$, la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa $$ x = 1 $$ y el eje de abscisas.

Calcule el valor de $$ \alpha $$ positivo, para que el área encerrada entre la curva $$ y = \alpha x - x^2 $$ y el eje de abscisas sea $$ 36 $$. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de $$ \alpha $$.

Considera las funciones $$ f, g: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = \text{sen}(2x) $$ y $$ g(x) = 2\text{sen}(x) $$. Dibuja la región del plano limitada por las gráficas de $$ f $$ y de $$ g $$.

Considera las funciones $$ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definidas por: $$ f(x) = 6 - x^2 $$; $$ g(x) = x $$ para $$ x \in \mathbb{R} $$. Dibuja el recinto limitado por las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$.

Sea $$ \text{Ln}(x) $$ el logaritmo neperiano de $$ x $$. Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas de las funciones $$ y = 1 $$ e $$ y = \text{Ln}(x) $$. Calcula su área.

Dadas la parábola de ecuación $$ y = 1 + x^2 $$ y la recta de ecuación $$ y = 1 + x $$, calcula el área de la región limitada por la recta y la parábola.

Dadas las funciones $$ f(x) = 6 - x^2 $$ y $$ g(x) = |x| $$. Esboza el recinto delimitado por ambas gráficas.

Los puntos $$A(1,1,1)$$, $$B(2,2,2)$$ y $$C(1,3,3)$$ son vértices consecutivos del paralelogramo $$ABCD$$. Calcula el área del paralelogramo.

Dada la parábola de ecuación $$ y = \frac{x^2}{4} $$. Halla el valor de $$ m $$ para el que el área bajo la parábola en el intervalo $$ [1, m] $$ sea igual al área comprendida entre la recta horizontal $$ y = 1 $$ y la parábola en el intervalo $$ [m, 2] $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \sqrt[3]{x} $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta tangente obtenida en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.

Considera A(1,0,1) , B(-1,0,2) y O(0,0,0), y la recta r \\equiv \\begin{cases} x=-1-\\lambda \\\\ y=\\lambda \\\\ z=2 \\end{cases} Determina el área del triángulo de vértices A, B y O.

Determina $$ b $$ sabiendo que $$ b > 0 $$ y que el área de la región limitada por la curva $$ y = x^2 $$ y la recta $$ y = bx $$ es igual a $$ \frac{9}{2} $$.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x|x| $$. Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de $$ f $$ y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = x e^{-x^2} $$. Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de $$ f $$, la recta de ecuación $$ x=2 $$ y la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x=0 $$.

Sea f: $$ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = 2x + 4 $$ si $$ x \leq 0 $$, y $$ f(x) = (x-2)^2 $$ si $$ x > 0 $$. Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

Se sabe que la gráfica de la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$ corta al eje de abscisas en $$ x = -2 $$ y $$ x = 1 $$, y tiene un mínimo en $$ x = 1 $$. Calcula el área de la región acotada por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Considera la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 - 5x + 4 $$. Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de $$ f $$ y por la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de abscisa $$ x = 3 $$.

De una función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(0) = 2 $$ y que $$ f'(x) = 2x $$. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $$ f $$, por el eje de abscisas y por las rectas $$ x = -2 $$ y $$ x = 2 $$.

El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones $$ y = \frac{x^2}{a} $$ e $$ y = \sqrt{ax} $$, con $$ a > 0 $$, vale 3. Calcula el valor de $$ a $$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \begin{cases} e^x - 1 & \text{si } x \ge 0 \\ x e^{-x^2} & \text{si } x < 0 \end{cases} $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$, el eje de abscisas y la recta $$ x = -1 $$.

Sean las funciones $$ f $$ y $$ g $$ : $$ [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$, dadas por $$ f(x) = x^2 $$ y $$ g(x) = \lambda x $$, donde $$ \lambda $$ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de $$ \lambda $$ sabiendo que el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es $$ \frac{1}{6} $$.

Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas $$ y = \frac{15}{x^2+1} $$ e $$ y = x^2 - 1 $$.

Calcula el área del recinto limitado por las curvas $$ y = \frac{15}{x^2+1} $$ e $$ y = x^2 - 1 $$.

Considera las funciones $$f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = |x|$$, $$g(x) = 6 - x^2$$. Esboza el recinto limitado por sus gráficas.

Sea la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2$$, donde $$a > 0$$ es un parámetro. Si $$F(x)$$ es una primitiva de $$f(x)$$, justifica si es posible o no que la función $$G(x)=F(x)+x^2$$ también lo sea.

Considera la función $$ f $$ dada por $$ f(x) = 5 - x $$ y la función $$ g $$ definida como $$ g(x) = \frac{4}{x} $$ para $$ x \neq 0 $$. Esboza el recinto limitado por las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$ indicando sus puntos de corte.

Sea $$f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = \ln(x+1)$$, donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$f$$, el eje OY y la recta $$y = 1$$. Calcula los puntos de corte de las gráficas.

Dada la función $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = -2x^2 + 3x - 1$$. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$ y las rectas $$y = -x+1$$ e $$y = 3x-1$$.

Considera las funciones $$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = 6x - x^2$$ y $$g(x) = x^2 - 2x$$. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Sean $$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ las funciones definidas por $$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4$$ y $$g(x) = x^2 - 1$$. Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta $$y = x+5$$. Calcula el área de este recinto.

Sea la función $$ f $$ definida por $$ f(x)=\frac{2}{x^2-1} $$ para $$ x \neq -1 $$ y $$ x \neq 1 $$. Calcula el valor de $$ k $$ para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de $$ f $$ en el intervalo $$ [2,k] $$ sea $$ \ln 2 $$, donde ln denota el logaritmo neperiano.

Sean $$ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por: $$ f(x)=\text{sen} x $$ y $$ g(x)=\cos x $$, respectivamente. Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas $$ x=0 $$ y $$ x=\frac{\pi}{2} $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x)=x^3-4x $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y=-x-2 $$, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x)=x^3-4x $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y=-x-2 $$.

Sean $$ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por: $$ f(x)=x^2-2x $$ y $$ g(x)=-x^2+4x $$, respectivamente. Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas $$ y=4x $$, $$ y=8-4x $$ y la curva $$ y=2x-x^2 $$. Realiza un esbozo de dicho recinto.

Sean las funciones $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ y $$ g: (0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x)=\frac{x^2}{4} $$ y $$ g(x)=2\sqrt{x} $$ respectivamente. Halla los puntos de corte de las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$. Realiza un esbozo del recinto que limitan.

Sea $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x)=\frac{9-x^2}{4} $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$, la recta $$ x+2y=5 $$ y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Sea $$g:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$g(x)=|\ln x|$$ (donde $$\ln$$ denota el logaritmo neperiano). Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$g$$ y la recta $$y=1$$. Calcula los puntos de corte entre ellas.

Sean $$f$$ y $$g$$ las funciones definidas por $$f(x)=2-x$$ y $$g(x)=\frac{2}{x+1}$$ para $$x\neq-1$$. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Sea $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$g(x)=-x^2+6x-5$$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$g$$ y la recta $$x-2y+2=0$$. Calcula el área de este recinto.

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: $$ y = x^2 $$, $$ y = 2 - x^2 $$, $$ y = 4 $$. Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas.

Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: $$ y = x^2 $$, $$ y = 2 - x^2 $$, $$ y = 4 $$. Calcula el área del recinto.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$, la recta $$ 2x + y - 7 = 0 $$ y el eje OX, calculando los puntos de corte.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 $$. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$, la recta $$ 2x + y - 7 = 0 $$ y el eje OX.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y = 3 - x $$.

Sea $$ g $$ la función definida por $$ g(x) = \ln(x) $$ para $$ x > 0 $$. Calcula el valor de $$ a > 1 $$ para el que el área del recinto limitado por la gráfica de $$ g $$, el eje de abscisas y la recta $$ x = a $$ es 1.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = |\ln(x)| $$ para $$ x > 0 $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y = 1 $$.

Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = |\ln(x)| $$ para $$ x > 0 $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y = 1 $$.

Sean $$ f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por $$ f(x) = \sqrt{2x} $$ y $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$. Halla los puntos de corte de las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$. Haz un esbozo del recinto que limitan.

Sean $$ f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ y $$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ las funciones definidas por $$ f(x) = \sqrt{2x} $$ y $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$. Calcula el área de dicho recinto.

Calcula el valor de $$ a > 1 $$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $$ y = -x^2+ax $$ y la recta $$ y = x $$ es $$ \frac{4}{3} $$.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ f(x) = |x^2-4| $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y la recta $$ y = 5 $$.

Sea $$f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ la función dada por $$f(x) = \ln x$$ ($$\ln$$ representa logaritmo neperiano). Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de $$f$$, $$y = x - 1$$ y la recta $$x = 3$$. Calcula su área.

Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función dada por $$f(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$, el eje de abscisas y las rectas $$x = 0$$ y $$x = 1$$.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \frac{3x(2m-x)}{m^3}$$, con $$m > 0$$. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de $$f$$ y el eje OX.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ dada por $$f(x) = -x^2 + mx$$ siendo $$m > 0$$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$f$$ y la recta $$y = -mx$$ y calcula el valor de $$m$$ para que el área de dicho recinto sea $$36$$.

Sea $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = x^4$$. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de $$f$$ formando con ella un recinto con área $$\frac{8}{5}$$.

Considera la región limitada por las curvas $$ y = x^2 $$ e $$ y = -x^2 + 4x $$. Expresa el área como una integral.

Considera la región limitada por las curvas $$ y = x^2 $$ e $$ y = -x^2 + 4x $$. Calcula el área.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $$ f(x) = \sqrt{2x-2} $$ para $$ x \ge 1 $$, la recta $$ y=x-5 $$ y el eje de abscisas. Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por $$ f(x) = \sqrt{2x-2} $$ para $$ x \ge 1 $$, la recta $$ y=x-5 $$ y el eje de abscisas. Calcula el área.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta $$ y=x $$, la gráfica $$ y=\frac{1}{x^3} $$ y la recta $$ x=3 $$. Haz un esbozo del recinto descrito.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta $$ y=x $$, la gráfica $$ y=\frac{1}{x^3} $$ y la recta $$ x=3 $$. Calcula el área del recinto.

Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta $$ y=x $$, la gráfica $$ y=\frac{1}{x^3} $$ y la recta $$ x=3 $$. Si consideras la gráfica $$ y=\frac{1}{x} $$ en lugar de $$ y=\frac{1}{x^3} $$, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ dadas por $$f(x)=6x-x^2$$ y $$g(x)=|x^2-2x|$$. Esboza el recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$ y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ dadas por $$f(x)=6x-x^2$$ y $$g(x)=|x^2-2x|$$. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ dadas por $$f(x)=3-x^2$$ y $$g(x)=-\frac{x^2}{4}$$. Esboza el recinto limitado por la recta $$y=4-2x$$ y las gráficas de $$f$$ y $$g$$. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máxima.

Considera la función $$f:\left(-\frac{e}{2},+\infty\right)\to\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=\ln(2x+e)$$, donde $$\ln$$ denota logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$ y los ejes de coordenadas.

Siendo $$a>1$$, considera el rectángulo de vértices $$A(1,0), B(1,1), C(a,1)$$ y $$D(a,0)$$. La gráfica de la función $$f$$ definida por $$f(x)=\frac{1}{x^2}$$ para $$x\neq 0$$ divide al rectángulo anterior en dos recintos. Haz un esbozo de la gráfica de $$f$$ y del rectángulo descrito.

Siendo $$a>1$$, considera el rectángulo de vértices $$A(1,0), B(1,1), C(a,1)$$ y $$D(a,0)$$. La gráfica de la función $$f$$ definida por $$f(x)=\frac{1}{x^2}$$ para $$x\neq 0$$ divide al rectángulo anterior en dos recintos. Determina el valor de $$a$$ para el que los dos recintos descritos tienen igual área.

Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=-x^2-x+3$$ y $$g(x)=|x|$$. Esboza el recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$ y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

Considera las funciones $$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=-x^2-x+3$$ y $$g(x)=|x|$$. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Considera la función $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{-2x}$$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$f$$, la recta $$y=-2ex$$ y el eje de ordenadas.

Considera la función $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{-2x}$$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$, la recta $$y=-2ex$$ y el eje de ordenadas.

Considera las funciones $$f:(-2,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$, definida por $$f(x)=\ln(x+2)$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano) y $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$, definida por $$g(x)=\frac{1}{2}(x-3)$$. Esboza el recinto que determinan la gráfica de $$f$$, la gráfica de $$g$$, la recta $$x=1$$ y la recta $$x=3$$. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

Considera las funciones $$f:(-2,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$, definida por $$f(x)=\ln(x+2)$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano) y $$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$, definida por $$g(x)=\frac{1}{2}(x-3)$$. Determina el área del recinto que determinan la gráfica de $$f$$, la gráfica de $$g$$, la recta $$x=1$$ y la recta $$x=3$$.

Sean las funciones $$f,g:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=\text{sen } x$$ y $$g(x)=\text{sen } 2x$$. Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas $$x=0$$ y $$x=\frac{\pi}{3}$$.

Dado un número real $$a>0$$, considera la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$, dada por $$f(x)=x^2-ax$$, y la recta $$y=2ax$$. Determina $$a$$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$ y la recta anterior es $$36$$.

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función dada por $$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} -x^2+6x-8 & \text{si} & x\leq 4 \\ x^2-6x+8 & \text{si} & x>4 \end{array}\right.$$. Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $$f$$ y la recta $$y=2x-4$$. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $$f$$ y la recta.

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función dada por $$f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} -x^2+6x-8 & \text{si} & x\leq 4 \\ x^2-6x+8 & \text{si} & x>4 \end{array}\right.$$. Calcula el área del recinto que delimitan la gráfica de $$f$$ y la recta $$y=2x-4$$.

Considera la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ dada por $$f(x)=-4x^2+a$$, siendo $$a>0$$ un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$f$$ y la recta $$y=0$$. Calcula $$a$$ sabiendo que el área del recinto es $$18$$.

Sea la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ dada por: $$f(x)=x\cdot e^{-x^2}$$. Determina $$a>0$$ de manera que sea $$\frac{1}{4}$$ el área del recinto determinado por la gráfica de $$f$$ en el intervalo $$[0,a]$$ y el eje de abscisas.

Calcula el valor de $$a>0$$ para que el área comprendida entre la parábola $$y=3x^2-2ax$$ y el eje de abscisas sea de 4 unidades cuadradas.

Considera las funciones $$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x)=|x|$$ y $$g(x)=x^2-2$$. Calcula los puntos de corte de las gráficas de $$f$$ y $$g$$. Esboza el recinto que determinan.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = 4x^3 - x^4 $$. Esboza la gráfica de $$ f $$ y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x $$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$ f $$, la recta tangente a la misma en el punto $$ (1, f(1)) $$ y el eje de ordenadas.

Considera la función $$ f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x \cdot e^x $$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $$ f $$ y las rectas $$ x = 2 $$, $$ y = x $$.

Considera la función $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = (\ln(x))^2 $$ (donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano). Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $$ f $$ y las rectas $$ y = 0 $$; $$ x = 1 $$; $$ x = e $$.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = |x| - 2 $$ y $$ g(x) = 4 - x^2 $$. Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = |x| - 2 $$ y $$ g(x) = 4 - x^2 $$. Determina el área del recinto anterior.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = 1 - x^2 $$ y $$ g(x) = 2x^2 $$. Calcula los puntos de corte de las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$. Esboza el recinto que delimitan.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = 1 - x^2 $$ y $$ g(x) = 2x^2 $$. Determina el área del recinto delimitado por sus gráficas.

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^3 - x $$. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función $$ f $$ y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa $$ x = 0 $$.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por: $$ f(x) = x^2 $$ y $$ g(x) = a|x| $$, con $$ a > 0 $$. Determina el valor de $$ a $$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de $$ 9 $$ unidades cuadradas.

Considera las funciones $$ f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definidas por $$ f(x) = x^3 + 2 $$ y $$ g(x) = -x^2 + 2x + 2 $$. Determina el área del recinto limitado por las gráficas de $$ f $$ y $$ g $$ en el primer cuadrante.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x|x - 1|$$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $$x = 0$$.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^2 + 1$$. Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de $$f$$, la recta $$y = 4x - 3$$ y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Sabiendo que $$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por: $$F(x) = e^{x^2}$$ es una primitiva de $$f$$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $$f$$, el eje de abscisas y la recta $$x = 1$$.

Considera las funciones $$f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ dadas por $$f(x) = |x^2 - 1|$$ y $$g(x) = x + 5$$. Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.

Considera las funciones $$f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ dadas por $$f(x) = |x^2 - 1|$$ y $$g(x) = x + 5$$. Determina el área del recinto anterior.

Considera la función $$f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$$, definida por $$f(x) = \ln(x + 1)$$, donde $$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $$f$$, el eje de abscisas y la recta $$x = e - 1$$.

Considera las funciones $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ y $$g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = 5 - x^2$$ y $$g(x) = \frac{4}{x^2}$$. Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de $$f$$ y $$g$$.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x$$. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $$f$$ y el eje de abscisas.

Sean $$f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ las funciones definidas por $$f(x) = -x^2 + 7$$ y $$g(x) = |x^2 - 1|$$. Halla los puntos de intersección de $$f$$ y $$g$$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Sean $$f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ las funciones definidas por $$f(x) = -x^2 + 7$$ y $$g(x) = |x^2 - 1|$$. Calcula el área de dicho recinto.

Sea la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=(x-1)^2$$. Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta $$y=a$$ con $$a > 0$$.

Sea la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=(x-1)^2$$. Calcula $$a > 0$$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta $$y=a$$ sea $$\frac{4}{3}$$ unidades cuadradas.

Sean las funciones $$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = x^3 - x$$ y $$g(x) = -x^2 + 1$$. Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Sean las funciones $$f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definidas por $$f(x) = x^3 - x$$ y $$g(x) = -x^2 + 1$$. Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de f y g.

Un agricultor quiere dividir su parcela en dos partes para cultivar productos distintos. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola $$y=3x^2$$ y la recta $$y=12$$. Si decide dividir dicha parcela en dos partes iguales mediante la recta $$y=a$$, halla el valor de $$a$$.

Dos primos de $$32$$ y $$5$$ años, respectivamente, heredan de sus abuelos una finca delimitada por las funciones $$f(x)=x^3-3x+2$$ y $$g(x)=\frac{9x}{4}+\frac{9}{2}$$. La finca tiene dos regiones, la región de la izquierda será para el primo de menor edad, mientras que la región de la derecha será para el primo mayor. Calcula la superficie de finca que corresponde a cada primo, y razona si es proporcional a sus edades.

Dados los puntos $$ A(2,1,1) $$ y $$ B(0,0,1) $$, halla los puntos $C$ en el eje $OX$ tales que el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es $2$.

Sean los puntos $$ A(1, 0, -1) $$ y $$ B(2, -1, 3) $$. Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos $$ ABCD $$ sabiendo que la recta determinada por los vértices $$ C $$ y $$ D $$ pasa por el origen de coordenadas.

Considera los puntos $$A(1,2,0)$$, $$B(2,m,1)$$, $$C(3,4,2)$$ y $$D(1,-1,m)$$. Para $$m = 1$$, calcula el área del triángulo de vértices $$A, B, C$$ y el volumen del tetraedro de vértices $$A, B, C, D$$.