Ejercicios Resueltos 3.13 Integrales definidas

Calcula el valor de la integral $$ \int_{-1}^{3} (x+5) \cdot e^{-x} dx $$

Calcula la siguiente integral definida $$ \int_{0}^{2} \frac{dx}{x^2+4x+3} $$. ¿Qué representa geométricamente?

Determina un polinomio $$ P(x) $$ de segundo grado sabiendo que $$ P(0) = P(2) = 1 $$ y $$ \int_0^2 P(x) dx = \frac{1}{3} $$.

Se sabe que la función $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ tiene un máximo absoluto en el punto de abscisa $$ x = 1 $$, que su gráfica pasa por el punto $$ (1, 4) $$ y que $$ \int_{-1}^3 f(x) dx = \frac{32}{3} $$. Halla $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$.

Calcula $$ \int_{-2}^{0} \frac{dx}{x^2 + 2x - 3} $$.

Considera la integral definida $$ I = \int_{1}^{9} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx $$. Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables $$ 1 + \sqrt{x} = t $$.

Considera la integral definida $$ I = \int_{1}^{9} \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx $$. Calcula $$ I $$ mediante el cambio de variables $$ 1 + \sqrt{x} = t $$.

Sabiendo que la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si } x > 8 \end{cases} $$ es continua en $$ [0, +\infty) $$ para cierto valor de $$ a $$, calcula $$ \int_{0}^{10} f(x) dx $$.

Calcula $$ \int_{-1}^{0} \ln(2 + x) dx $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano.

{"__escalate__": true, "reason": "El texto proporcionado es incomprensible y parece contener errores de codificación o datos corruptos, impidiendo la identificación de información superflua para la solución matemática descrita."}

Considera la integral definida $$ I = \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx $$. Exprésala aplicando el cambio de variables $$ \sqrt{1+x} - 1 = t $$.

Considera la integral definida $$ I = \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx $$. Calcula $$ I $$.

Considera la integral definida $$ I = \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt{x+1}} \, dx $$. Exprésala aplicando el cambio de variable $$ t = \sqrt{x+1} $$.

Considera la integral definida $$ I = \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt{x+1}} \, dx $$. Calcula $$ I $$.

Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función dada por $$ f(x) = a x^2 + b $$. Halla los valores de $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ \int_{0}^{6} f(x) dx = 6 $$ y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $$ f $$ en el punto de abscisa $$ 3 $$ vale $$ -12 $$.

Sea $$ f:(0,2) \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \begin{cases} \ln(x) & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \ln(2-x) & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases} $$. Estudia la derivabilidad de $$ f $$ en el punto $$ x = 1 $$.

Sea $$ f:(0,2) \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \begin{cases} \ln(x) & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \ln(2-x) & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases} $$. Calcula $$ \int_{1}^{1,5} f(x) dx $$.

Sea $$f:(-2,0)\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida mediante $$f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x} & \text{si } -2 < x \leq -1 \\ \frac{x^2-\beta}{2} & \text{si } -1 < x < 0 \end{cases}$$ Calcula $$\int_{-2}^{-1} f(x) dx$$.

Sea $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ Calcula $$\int_{-1}^{1} f(x) dx$$.

Calcula $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x dx$$

Calcula $$ \int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x^2 - x)(x - 1)} $$.

Sea $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$. Se sabe que tiene un máximo local en $$ x = 1 $$, que el punto $$ (0,1) $$ es un punto de inflexión de su gráfica y que $$ \int_0^1 f(x) dx = \frac{9}{4} $$. Calcula $$ a, b, c $$ y $$ d $$.

Calcula $$ \int_0^1 x \ln(x + 1) dx $$.

Calcula $$ \int_1^e x^2 \ln x dx $$.

SOLUCIÓN (PISTA): Para resolver este ejercicio, se debe encontrar una primitiva F(x) de la función integrando f(x) y evaluar en los extremos mediante la Regla de Newton-Leibniz: integral de a a b de f(x) dx = F(b) -

Calcula $$ \int_{0}^{\pi^2} sen(\sqrt{x}) dx $$. Sugerencia: Efectúa el cambio $$ \sqrt{x} = t $$.

Calcula:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$$

Sea $$ f $$ una función continua en el intervalo $$ [2,3] $$ y $$ F $$ una función primitiva de $$ f $$ tal que $$ F(2)=1 $$ y $$ F(3)=2 $$. Calcula: $$ \int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx $$

Calcula los valores de $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que la función $$ f:(0,+\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x)=ax^2+b\ln(x) $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en $$ x=1 $$ y que $$ \int_{1}^{4} f(x)dx=27-8\ln 4 $$.

Sea $$ I = \int_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1-x}} dx $$. Expresa la integral $$ I $$ aplicando el cambio de variable $$ t=\sqrt{1-x} $$.

Sea $$ I = \int_{0}^{1} \frac{x}{1+\sqrt{1-x}} dx $$. Calcula el valor de $$ I $$.

De la función $$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ se sabe que tiene un máximo relativo en $$x=1$$, un punto de inflexión en $$(0,0)$$ y que $$\int_0^1 f(x)dx=\frac{5}{4}$$. Calcula $$a$$, $$b$$, $$c$$ y $$d$$.

Calcula $$\int_2^4 \frac{x^2}{x^2-6x+5}dx$$.

Calcula $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \text{ sen}(2x) dx$$.

Calcula $$\int_2^4 \frac{e^x}{1+\sqrt{e^x}}dx$$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $$t=\sqrt{e^x}$$.

Calcula $$ \int_{-1}^1 \ln(4 - x) dx $$.

SÍ.

Calcula $$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx $$. (Sugerencia: integración por partes).

Calcula $$ \int_0^\pi x^2 sen(x) dx $$.

Considera la función $$f$$ dada por $$f(x) = \sqrt{x} + \frac{\ln x}{x}$$ para $$x > 0$$. Halla $$\int_1^3 f(x) dx$$.

De la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = ae^x - bx$$, donde $$a,b \in \mathbb{R}$$ se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en $$x = 0$$ y que $$\int_0^1 f(x) dx = e - \frac{3}{2}$$. Halla los valores de $$a$$ y $$b$$.

Calcula el valor de $$a > 0$$ para el que se verifica $$\int_0^a \frac{x}{2+x^2} dx = 1$$.

Calcula $$ \int_1^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} $$ (sugerencia $$ t = \sqrt[4]{x} $$).

Considera la función dada por $$ f(x) = \sqrt{3+|x|} $$ para $$ x \in [-3, 3] $$. Halla $$ \int_{-3}^3 f(x) dx $$.

Sea $$ I = \int_0^8 \frac{1}{2+\sqrt{x+1}} dx $$. Expresa $$ I $$ aplicando el cambio de variable $$ t = 2 + \sqrt{x+1} $$.

Sea $$ I = \int_0^8 \frac{1}{2+\sqrt{x+1}} dx $$. Calcula el valor de $$ I $$.

Calcula $$ \int_0^3 \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} dx $$ (sugerencia $$ t=\sqrt[3]{x} $$).

Calcula $$ \int_0^1 \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx $$.

Calcula $$\int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{1+e^x} dx$$ donde $$\ln$$ denota logaritmo neperiano (sugerencia $$t=e^x$$).

Se sabe que la función $$f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$$ dada por $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^2-32}{x-4} & \text{si } x>8 \end{cases}$$ es continua. Para $$a=8$$, calcula $$\int_{0}^{10} f(x) dx$$.

Calcula $$\int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{1+e^x} dx$$ donde $$\ln$$ denota logaritmo neperiano (sugerencia $$t=e^x$$).

Se sabe que la función $$f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$$ dada por $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si } 0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^2-32}{x-4} & \text{si } x>8 \end{cases}$$ es continua. Para $$a=8$$, calcula $$\int_{0}^{10} f(x) dx$$.

Considera la función $$f$$ definida por $$f(x)=ax\ln(x)-bx$$ para $$x>0$$ ($$\ln$$ denota la función logaritmo neperiano). Determina $$a$$ y $$b$$ sabiendo que $$f$$ tiene un extremo relativo en $$x=1$$ y que $$\int_{1}^{2} f(x) dx = 8\ln(2)-9$$.

Dado que el enunciado es en el sistema, no puedo determinar si hay información superflua al no tener acceso al texto completo del enunciado para compararlo con la solución. Sin embargo, siguiendo estrictamente las instrucciones del sistema para este formato de auditoría, si el enunciado presentado fuera completo y contuviera solo la información necesaria para aplicar la Regla de (límites de integración y función), sería perfecto. Pero como el texto está truncado/codificado con , y no puedo ver los datos de entrada, debo evaluar si el texto actual contiene distractores. Al no haber texto legible en el campo que pueda juzgar por superfluos (matrices, vectores, etc.) para esta solución de cálculo integral, y asumiendo que el sistema me pide revisar el "enunciado" que me dan (que está vaciño de contenido mío), la única opción segura si no detecto nada "inútil" explícito en un texto vacío o si el texto original (antes de la redacción) era correcto, sería "PERFECTO". Pero espera, el prompt dice: "Si hay información inútil, devuelve ÚNICAMENTE el enunciado reescrito... Si NO hay información inútil, devuelve ÚNICAMENTE la palabra 'PERFECTO'". Como el texto de entrada es literalmente el marcador de locución vacío o un error de copia, no contiene información distractora (matrices, vectores, etc.). Por lo tanto, no hay nada que eliminar. PERFECTO

Sea $$f:\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\rightarrow\mathbb{R}$$ una función continua y sea $$F$$ la primitiva de $$f$$ que cumple $$F(0)=\frac{\pi}{3}$$ y $$F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\pi$$. Calcula: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \text{sen}(F(x))f(x) dx$$.

Calcula $$\int_0^\pi x \cdot \operatorname{sen}^2(x) dx$$.

Halla una primitiva F(x) de la función integrando f(x) y evalúa en los extremos mediante la Regla de : integral de a a b de f(x) dx = F(b) - ).

Considera la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 + |x - 1| $$. Calcula $$ \int_0^2 f(x) \, dx $$.

{"__escalate__": true, "reason": "Falta el enunciado del ejercicio para su revisión y limpieza, solo se ha proporcionado la solución y las instrucciones vacías."}

Calcula $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin^2(x) - \cos^2(x)) \, dx $$.

Calcula $$ \int_{0}^{1} x \cdot \text{arctg}(x) dx $$ (donde $$ \text{arctg} $$ denota la función arcotangente).

Calcula $$ \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx $$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $$ t = \sqrt{1+x} $$).

Se calcula la integral definida de la función que se presenta en el enunciado evaluando sus extremos en la regla correspondiente.

Se requiere calcular $$\int_0^1 x^2 \, dx$$.

{"__escalate__": true, "reason": "La solicitud requiere manipular bases de datos externas (MySQL/SQLite) para editar y despligar archivos en el servidor de Hostinger, tarea que excede las capacidades de consulta textual local y requiere herramientas de sistema."}

Halla $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cdot \cos(x) dx$$.

Considera la función $$f(x) = \begin{cases} x \sin(2x) & \text{si } x \le 0 \\ \cos(\pi x)-1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$. Calcula $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(x) dx$$

Calcula el valor de $$k$$ para que $$\int_{1}^{3} e^{x-k}(x-2) dx = 2$$

Sea la función $$f(x)=x^2 \cdot e^{-x}$$ definida en el intervalo $$[0, 3]$$. Sin efectuar el cálculo de la integral razona, explica y justifica por qué $$0 < \int_{0}^{3} x^2 \cdot e^{-x} dx < 2$$

Sea la función $$f(x)=x^2 \cdot e^{-x}$$ definida en el intervalo $$[0, 3]$$. Calcula el valor exacto de $$\int_{0}^{3} x^2 \cdot e^{-x} dx$$

Sea la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x)=e^{\frac{x}{a}}+2$$, donde $$a > 0$$ es un parámetro. Calcula $$a$$ para que $$\int_{0}^{a} f(x) dx = e$$

¿La integral $$\int_{-1}^{1} x \cdot e^{x^2} dx$$ es positiva, negativa o cero? Justifica la respuesta sin calcular la integral.

Sea $$ F: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por: $$ F(x) = \int_0^x t(t+2) dt $$. Determina $$ F(1) $$.

F(x) (con locuciones): SOLUCIÓN (PISTA):

Considera la función $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(t)=\frac{1}{1+e^t}$$. Se define $$g(x)=\int_0^x f(t) dt$$. Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$$.

Considera la función $$ F : [0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ F(x) = \int_0^x (2t + \sqrt{t}) \, dt $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ F $$ en el punto de abscisa $$ x = 1 $$.

Considera la función $$ F : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ F(x) = \int_{0}^{x} 2t \cdot \cos(t) dt $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ F $$ en el punto de abscisa $$ x = \pi $$.

Considera la función $$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por: $$F(x) = \int_0^x \text{sen}(t^2) \, dt$$. Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot F(x)}{\text{sen}(x^2)}$$.

Considera la función $$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \int_0^x \cos(t) \cdot \text{sen}^2(t) dt$$. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $$f$$ en el punto de abscisa $$x = \frac{\pi}{4}$$.

{"__escalate__": true, "reason": "El texto proporcionado está corrupto con tokens de reemplazo y carece del enunciado real del ejercicio para poder identificar datos superfluos y reescribirlo."}

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $$f$$ en el punto de abscisa $$x = 1$$ sabiendo que $$f(0) = 0$$ y $$f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x+1}$$ para $$x > -1$$.

Una población de bacterias tiene inicialmente $$P_0$$ bacterias. Sea $$P(t)$$ el número de bacterias al cabo de $$t$$ días. Sabiendo que: $$P(t) = P_0 + \int_{0}^{t} 290 e^{0,1x} dx$$, y que al cabo de $$10$$ días hay $$7888$$ bacterias. ¿Cuánto vale $$P_0$$, el numero inicial de bacterias?

Una población de bacterias tiene inicialmente $$P_0$$ bacterias. Sea $$P(t)$$ el número de bacterias al cabo de $$t$$ días. Sabiendo que: $$P(t) = P_0 + \int_{0}^{t} 290 e^{0,1x} dx$$, y que al cabo de $$10$$ días hay $$7888$$ bacterias. ¿Cuantas bacterias hay al cabo de $$170$$ días? (Nota: utiliza como aproximación del número $$e \simeq 2,72$$).