Colección de 41 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Sea la función $$ f : [1, e] \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = x^2 - 8\ln(x) $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano.
Calcula los extremos absolutos y relativos de la función $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x(x^2 - x + 1) $$.
Halla los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máximos o mínimos).
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 \cdot e^{\frac{x}{2}} $$. Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de $$ f $$ (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).
Considera la función $$ f $$ definida por $$ f(x) = a \ln(x) + bx^2 + x $$ para $$ x > 0 $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. ¿Qué tipo de extremos tiene $$ f $$ en $$ x = 1 $$ y en $$ x = 2 $$?
Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \cdot e^{-x} .
Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = (x-3) \cdot e^x .
Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{e^x}{x-1} $$ para $$ x \neq 1 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$ y halla sus máximos y mínimos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
Sea f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 \ln(x) ( \ln denota la función logaritmo neperiano).
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea f la función definida, para x \neq 2 y x \neq -2 , por f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 4} .
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \dfrac{3x + 1}{\sqrt{x}} .
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 h. y las 6 h. de la tarde viene dada por: $$ v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 $$ para $$ t \in [2,6] $$. ¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta.
Sea $$ f $$ la función definida para $$ x \neq -2 $$ por $$ f(x)=\frac{x^2}{x+2} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de $$ f $$.
Sea $$ f: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} $$ una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura formada por los segmentos que unen los puntos $$ (-1, -2) $$, $$ (2, 2) $$ y $$ (4, -1) $$. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de $$ f $$ y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. [GRAPH: (4/3)*x - 2/3; (-3/2)*x + 5 | -1, 4]
Considera la función $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^{\frac{2x}{x^2+1}} $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos de $$ f $$ (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).
Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x} $$ para $$ x \neq 0 $$ y $$ x \neq 2 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x \le 1 \\ 2 - x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$ Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $$ f $$.
Se sabe que la función $$ f : (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{si } -1 < x < 0 \\ \frac{x^2 + a}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$ es continua en $$ (-1, +\infty) $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea $$ f : [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x (\cos x + \text{sen } x) $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea $$ f : [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = e^x (\cos x + \text{sen } x) $$. Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de $$ f $$.
Sea $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} $$. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $$ f $$ y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
De una función $$ f:[0,4] \rightarrow \mathbb{R} $$ se sabe que $$ f(1) = 3 $$ y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (Nota: en la gráfica se observa que $$ f'(1)=1 $$, que $$ f'(x) $$ es siempre positiva o cero, que $$ f'(x) $$ crece de $$ 0 $$ a $$ 1 $$, decrece de $$ 1 $$ a $$ 3 $$, y crece de $$ 3 $$ a $$ 4 $$). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? [GRAPH: dibujo_derivada | 0, 4]
Sea la función $$f : [0,4] \to \mathbb{R}$$ definida por $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \le x < 2 \\ cx + 1 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}$$. ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?
Sea $$f : [0,2\pi] \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = e^x(\sin x + \cos x)$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$f$$.
Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (3x - 2x^2)e^x$$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$f$$.
Sea $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ la función definida por $$f(x) = (3x - 2x^2)e^x$$. Calcula los extremos relativos de $$f$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea $$ f : [1/e, 4] \to \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \begin{cases} x - \ln(x) + a & \text{si } 1/e \leq x \leq 2 \\ bx + 1 - \ln(2) & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases} $$. Donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Para $$ a = 0 $$ y $$ b = 1/2 $$ halla los extremos absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x \cdot (x - 2) $$. Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea la función $$ f : (0, +\infty) \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = \frac{1}{x} + \ln x $$, donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Halla los extremos absolutos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo $$ [\frac{1}{e}, e] $$.
Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{2x^2}{(x+1)(x-2)} $$ para $$ x \neq -1 $$ y $$ x \neq 2 $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea la función $$ f : [1, e] \to \mathbb{R} $$ definida por: $$ f(x) = x^2 - 8\ln(x) $$ donde $$ \ln $$ denota la función logaritmo neperiano. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.
Sea $$f$$ la función definida por $$ f(x) = \frac{k}{(x-a)(2x-1)} $$ para $$ x \ne a $$ y $$ x \ne \frac{1}{2} $$. Para $$ k = 4 $$ y $$ a = 2 $$, halla los extremos relativos de $$f$$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Sea f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x^2 | x - 3 | . Estudia el crecimiento y decrecimiento de f . Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = x + e^{-x} . Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f , así como los extremos relativos o locales de f .
Sea f la función definida para x \neq 0 por f(x) = \frac{x^2+1}{x}. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtiene y los valores que alcanza la función).
Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = | x^2 - 4 | . Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Considera la función f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \ln(x^2 + 1) (donde \ln denota la función logaritmo neperiano). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
Sea f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} , la función definida por f(x) = e^x (\cos(x) + \operatorname{sen}(x)) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender $$ x $$ miles de unidades de un producto viene dado por la función: $$ B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 $$, donde $$ x $$ está en el intervalo $$ [0,8] $$. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de $$ x $$ en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo.
El beneficio (en miles de euros) que obtiene una empresa al vender $$ x $$ miles de unidades de un producto viene dado por la función: $$ B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36 $$, donde $$ x $$ está en el intervalo $$ [0,8] $$. Justifica razonadamente que decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por que en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.
Sea f la función definida por f(x) = \frac{3x^4 + 1}{x^3} para x \neq 0 . Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Sea la función $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ definida por $$ f(x) = e^x \cdot (x - 2) $$.
Halla los extremos relativos de $$ f $$ (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $$ f $$.