Ejercicios Resueltos 2.8 Posición relativa de puntos, recta y planos

Considera los puntos: $$ A(1,0,3) $$, $$ B(3,-1,0) $$, $$ C(0,-1,2) $$ y $$ D(a,b,-1) $$. Halla $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que la recta que pasa por $$ A $$ y $$ B $$ corta perpendicularmente a la recta que pasa por $$ C $$ y $$ D $$.

Se sabe que las rectas: $$ r \equiv \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x + 2y = 2 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} ax + 6y = -6 \\ x - 2z = -2 \end{cases} $$ son paralelas. Calcula $$ a $$.

Sea $$ r $$ la recta de ecuación: $$ r \equiv \begin{cases} x = 1 + a \cdot t \\ y = 1 - 2 \cdot t \\ z = 4 - t \end{cases} $$ y $$ s $$ la recta de ecuación: $$ s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} $$ $$ = \frac{z}{3} $$. Calcula el valor de $$ a $$ sabiendo que las rectas $$ r $$ y $$ s $$ se cortan.

Sea r la recta de ecuación $$ \frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{-4} $$ y s la recta dada por $$ \begin{cases} x-y+z = 3 \\ -x+2y-z = 2 \end{cases} $$. Determina la posición relativa de ambas rectas.

Sea $$r$$ la recta definida por $$\frac{x-2}{3} = \frac{y-k}{4} = \frac{z}{5}$$ y $$s$$ la recta definida por $$\frac{x+2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{3}$$.

Halla $$k$$ sabiendo que las rectas $$r$$ y $$s$$ se cortan en un punto.

Se considera la recta $r$ definida por $$ mx = y = z + 2 $$ (con $$ m \neq 0 $$), y la recta $s$ definida por $$ \frac{x-4}{4} = y - 1 = \frac{z}{2} $$.

Deduce razonadamente si existe algún valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son paralelas.

Considera las rectas $$ r $$ y $$ s $$ de ecuaciones: $$ r \equiv x-1 = y = 1-z $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x-2y=-1 \\ y+z=1 \end{cases} $$ Determina su punto de corte.

Sean los puntos $$ A(1,1,1) $$, $$ B(-1,2,0) $$, $$ C(2,1,2) $$ y $$ D(t,-2,2) $$. Determina el valor de $$ t $$ para que $$ A $$, $$ B $$, $$ C $$ y $$ D $$ estén en un mismo plano.

Considera las rectas $$ r \equiv x=y+a=\frac{z+1}{2} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x-2y=3a \\ x+z=2 \end{cases} $$. Para $$ a=-1 $$, halla la recta que corta perpendicularmente a $$ r $$ y $$ s $$.

Sea $$r$$ la recta que pasa por $$A(4,3,6)$$ y $$B(-2,0,0)$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\left\{\begin{matrix} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{matrix}\right.$$. Calcula, si existen, los puntos $$C$$ de $$s$$ tales que los vectores $$\vec{CA}$$ y $$\vec{CB}$$ son ortogonales.

Considera los puntos $$ P(6, -1, -10) $$, $$ Q(0, 2, 2) $$ y $$ R $$, que es el punto de intersección del plano $$ \pi \equiv x + 2y + 2z - \lambda = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ y = 1 \end{cases} $$. Determina $$ \lambda $$ sabiendo que los puntos $$ P, Q $$ y $$ R $$ están alineados.

Considera los planos $$ \pi_1 $$, $$ \pi_2 $$ y $$ \pi_3 $$ dados respectivamente por las ecuaciones $$ x+y=1 $$, $$ ay+z=0 $$ y $$ x+(1+a)y+az=a+1 $$ ¿Cuánto ha de valer $$ a $$ para que no tengan ningún punto en común?

Considera los planos $$ \pi_1 $$, $$ \pi_2 $$ y $$ \pi_3 $$ dados respectivamente por las ecuaciones $$ x+y=1 $$, $$ ay+z=0 $$ y $$ x+(1+a)y+az=a+1 $$ Para $$ a=0 $$, determina la posición relativa de los planos.

Considera la recta $$ r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2} $$, así como la recta $$ s $$ determinada por el punto $$ P(1, 2, 3) $$ y el vector director $$ \vec{v} = (1 + a, -a, 3a) $$. Calcula $$ a $$ para que las rectas $$ r $$ y $$ s $$ sean perpendiculares.

Considera el plano $$ \pi \equiv 2x + y - z + 7 = 0 $$ y la recta $$ r $$ dada por las ecuaciones paramétricas: $$ x = 1 + \lambda $$, $$ y = 1 + \lambda $$, $$ z = 1 + 3\lambda $$. ¿Hay algún plano paralelo a $$ \pi $$ que contenga a la recta $$ r $$?. En caso afirmativo determina sus ecuaciones.

Dados el plano \pi de ecuación x + 2y - z = 0 y la recta r de ecuaciones \begin{cases} 3x - y = 5 \\ x + y - 4z = -13 \end{cases} . Halla el punto de intersección del plano \pi y la recta r .

Sean $$r$$ y $$s$$ las rectas dadas por: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases}$$ y $$s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2}$$. Determina el punto de intersección de ambas rectas.

Dadas las rectas $$r \equiv \frac{x + 3}{-6} = \frac{y - 9}{4} = \frac{z - 8}{4}$$ y $$s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 9}{-2} = \frac{z - 8}{-2}$$. Determina la posición relativa de las rectas $$r$$ y $$s$$.

Sean los puntos $$A(0, 0, 1)$$, $$B(1, 0, -1)$$, $$C(0, 1, -2)$$ y $$D(1, 2, 0)$$. Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

Sea $$r$$ la recta que pasa por el punto $$(1,0,0)$$ y tiene como vector dirección $$(a,2a,1)$$ y sea $$s$$ la recta dada por: $$s \equiv \begin{cases} -2x+y=-2 \\ -ax+z=0 \end{cases}$$. Calcula los valores de $$a$$ para los que $$r$$ y $$s$$ son paralelas.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x=2-3\lambda \\ y=3+5\lambda \\ z=\lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x+y-1=0 \\ z-5=0 \end{cases}$$. Determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas: $$r \equiv x=y=z$$, $$s \equiv \begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$, $$t \equiv \begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=3\lambda \\ z=-1+\lambda \end{cases}$$. Halla la ecuación de la recta que corta a $$r$$ y a $$s$$ y es paralela a $$t$$.

Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x+y-z+2=0$$ y la recta $$r$$ de ecuación $$\frac{x-5}{-2}=y=\frac{z-6}{-3}$$. Halla la posición relativa de $$\pi$$ y $$r$$.

Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$mx + 5y + 2z = 0$$ y la recta $$r$$ dada por $$\frac{x+1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z-1}{2}$$. Calcula $$m$$ y $$n$$ en el caso en el que la recta $$r$$ está contenida en el plano $$\pi$$.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = -1 \end{cases}$$. a) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.

Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$6x-my+2z=1$$ y la recta $$r$$ dada por $$\frac{x-1}{-3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{-1}$$. b) ¿Existe algún valor de $$m$$ para el que la recta $$r$$ esté contenida en el plano $$\pi$$?

Considera los puntos $$ A = (0,3,-1) $$ y $$ B = (0,1,a) $$ y el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ x - y + z = 0 $$. Halla el punto de corte del plano $$ \pi $$ con la recta que pasa por $$ A $$ y es perpendicular a dicho plano.

Sean los puntos $$A(0,1,1)$$, $$B(2,1, 3)$$, $$C(-1,2,0)$$ y $$D(2,1,m)$$. Calcula $$m$$ para que $$A$$, $$B$$, $$C$$ y $$D$$ estén en un mismo plano.

Sea $$\pi$$ el plano determinado por los puntos $$A(1,0,0)$$, $$B(0,1,0)$$ y $$C(0,0,\lambda)$$, siendo $$\lambda$$ un número real, y sea $$r$$ la recta dada por $$r \equiv \left\{\begin{matrix} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{matrix}\right.$$. Estudia la posición relativa de $$r$$ y $$\pi$$ según los valores de $$\lambda$$.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv x-2 = y-2 = z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 4+t \\ y = 4+t \\ z = mt \end{cases}$$. Determina $$m$$ para que $$r$$ y $$s$$ sean paralelas.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv x-2 = y-2 = z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 4+t \\ y = 4+t \\ z = mt \end{cases}$$. Halla, si existe, un valor de $$m$$ para el que ambas rectas sean la misma.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por: $$r \equiv \begin{cases} x+y = z+4 \\ x+2y = 7 \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x-2 = 0 \\ y+3 = 0 \end{cases}$$. Estudia y determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(3,6,7)$$ y $$B(7,8,3)$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x-4y-z = -10 \\ 3x-4y+z = -2 \end{cases}$$. Determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3}$$ y $$s \equiv \begin{cases} 2x-3y = -5 \\ y-2z = -1 \end{cases}$$. Estudia y determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x+nz = -2 \\ y-z = -3 \end{cases}$$. Halla los valores de $$m$$ y $$n$$ para los que $$r$$ y $$s$$ se corten perpendicularmente.

Considera la recta $$ r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1} $$ y los planos $$ \pi_1 \equiv x = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv y = 0 $$. Determina la posición relativa de la recta $$ r $$ y la recta de intersección de los planos $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.

Considera los puntos $$ A = (0,3,-1) $$ y $$ B = (0,1,a) $$ y el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ x - y + z = 0 $$. Determina $$ a $$ sabiendo que la recta que pasa por $$ A $$ y por $$ B $$ es paralela al plano $$ \pi $$.

Sea $$ r $$ la recta que pasa por el punto $$ P(2,-2,-1) $$ con vector director $$ \vec{v}=(k,3+k,-2k) $$ y sea $$ \pi $$ el plano de ecuación $$ -x+2y+2z-1=0 $$. Calcula el valor de $$ k $$ para que $$ r $$ sea paralela a $$ \pi $$.

Sea $$ r $$ la recta que pasa por el punto $$ P(2,-2,-1) $$ con vector director $$ \vec{v}=(k,3+k,-2k) $$ y sea $$ \pi $$ el plano de ecuación $$ -x+2y+2z-1=0 $$. Calcula el valor de $$ k $$ para que $$ r $$ sea perpendicular a $$ \pi $$.

Considera la recta $$ r \equiv \begin{cases} x+y+2=0 \\ -y+z+5=0 \end{cases} $$ y el plano $$ \pi \equiv 2x+y-mz=1 $$. Calcula $$ m $$ sabiendo que $$ r $$ y $$ \pi $$ son paralelos.

Considera las rectas $$ r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-k}{2} = \frac{z}{2} $$ y $$ s \equiv \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-3}{1} $$. Halla $$ k $$ sabiendo que ambas se cortan en un punto.

Siendo a \\neq 0, considera las rectas r \\equiv x-1=y-2=\\frac{z-1}{a} \\quad \\text{ y } \\quad s \\equiv \\frac{x-3}{-a}=\\frac{y-3}{-1}=\\frac{z+1}{2} Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de a.

Considera el plano \\pi \\equiv x-y+az=0 y la recta r \\equiv \\begin{cases} 4x-3y+4z=1 \\\\ 3x-2y+z=0 \\end{cases} Halla a sabiendo que \\pi es paralelo a r.

La recta $$r \equiv \frac{x+3}{2} = \frac{y+4}{2} = \frac{z-3}{3}$$ y la recta $$s$$, que pasa por los puntos $$P(1, 0, 2)$$ y $$Q(a, 1, 0)$$, se cortan en un punto. Calcula el valor de $$a$$ y el punto de corte.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x-2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}$$. Estudia la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}$$. Estudia la posición relativa de $$r$$ y $$s$$ según los valores de $$m$$.

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$. Estudia la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Considera la recta $$ r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2} $$, así como la recta $$ s $$ determinada por el punto $$ P(1, 2, 3) $$ y el vector director $$ \vec{v} = (1 + a, -a, 3a) $$. Calcula $$ a $$ para que las rectas $$ r $$ y $$ s $$ se corten.

Considera las rectas $$ r \equiv x = 1 - y = z $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x + y - 3z = 4 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases} $$. Estudia la posición relativa de $$ r $$ y $$ s $$.

Considera las rectas $$ r \equiv x + 1 = y - a = -z $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases} $$. Calcula $$ a $$ para que $$ r $$ y $$ s $$ se corten. Determina el punto de corte.

Sea el plano $$ \pi \equiv x + y - z = 2 $$ y la recta $$ r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1 $$. Calcula, si existe, el punto de intersección de $$ r $$ y $$ \pi $$.

Considera las rectas $$ r \equiv \begin{cases} y=0 \\ 2x-z=0 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x+y+7=0 \\ z=0 \end{cases} $$. Estudia la posición relativa de $$ r $$ y $$ s $$.

Considera las rectas $$ r \equiv x=y+a=\frac{z+1}{2} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x-2y=3a \\ x+z=2 \end{cases} $$. Calcula $$ a $$ para que las rectas se corten.

Considera el plano $$ \pi \equiv x-2y+z-2=0 $$ y la recta $$ r $$ de ecuación $$ r \equiv \begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R} $$. Estudia la posición relativa de $$ \pi $$ y $$ r $$.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-k}{2}$$ y $$s \equiv \frac{x+2}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{1}$$. Determina $$k$$ sabiendo que ambas se cortan en un punto.

Considera los puntos $$ O(0,0,0) $$, $$ A(a,-1,2) $$ y $$ B(a,1,0) $$. Calcula $$ a $$ para que $$ O $$, $$ A $$ y $$ B $$ sean coplanarios con el punto $$ C(1,1,0) $$.

Sean las rectas $$r \equiv \frac{x+1}{4} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-2}{-1}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}$$. Estudia la posición relativa de las rectas $$r$$ y $$s$$.

Considera la recta r definida por $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases} $$ y la recta s que pasa por los puntos $$ A(2,1,0) $$ y $$ B(1,0,-1) $$. Estudia la posición relativa de ambas rectas.

Sean la recta r definida por $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x - z = -3 \end{cases} $$ y la recta s definida por $$ \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases} $$. Estudia la posición relativa de r y s.

Considera el punto $$ P(1,0,0) $$, la recta r definida por $$ x - 3 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-2} $$ y la recta s definida por $$ (x,y,z) = (1,1,0) + \lambda(-1,2,0) $$. Estudia la posición relativa de r y s.

Considera el plano $$ \pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x-5}{-2} = y $$ $$ = \frac{z-6}{m} $$. Halla la posición relativa de $$ r $$ y $$ \pi $$ según los valores del parámetro $$ m $$.

Se considera la recta $r$ definida por $$ mx = y = z + 2 $$ (con $$ m \neq 0 $$), y la recta $s$ definida por $$ \frac{x-4}{4} = y - 1 = \frac{z}{2} $$.

Halla el valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.

Sea $$r$$ la recta dada por $$\frac{x+2}{2}=y+1=\frac{z-1}{-3}$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x-y-3=0 \\ 3y-z+6=0 \end{cases}$$. Determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Sea $$r$$ la recta que pasa por $$A(4,3,6)$$ y $$B(-2,0,0)$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\left\{\begin{matrix} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{matrix}\right.$$. Determina la posición relativa de $$r$$ y $$s$$.

Se sabe que las rectas: $$ r \equiv \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x + 2y = 2 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} ax + 6y = -6 \\ x - 2z = -2 \end{cases} $$ son paralelas. Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas $$ r $$ y $$ s $$.

Sea la recta $r$ dada por $$ \begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases} $$ y el plano $\pi$ definido por $$ x + my - z = 1 $$.

¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando $$ m = 0 $$?

Considera la función $$ f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2} $$ definida para $$ x \neq -2 $$.

a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función $$ f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2} $$. b) Estudia la posición relativa de la gráfica de la función $$ f(x) = \frac{2x^2 + 2}{x + 2} $$ respecto de sus asíntotas.

Sean los puntos $$ A(2,\lambda,\lambda) $$, $$ B(-\lambda,2,0) $$ y $$ C(0,\lambda,\lambda-1) $$. ¿Existe algún valor de $$ \lambda \in \mathbb{R} $$ para el que los puntos $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$ estén alineados? Justifica la respuesta.

Calcula $$ a $$ sabiendo que los planos $$ ax + y - 7z = -5 $$ y $$ x + 2y + a^2 z = 8 $$ se cortan en una recta que pasa por el punto $$ A(0,2,1) $$ pero que no pasa por el punto $$ B(6,-3,2) $$.

Considera los planos de ecuaciones: $$x - y + z = 0$$ y $$x + y - z = 2$$.

Determina los puntos que equidistan de $$A(1,2,3)$$ y $$B(2,1,0)$$ y pertenecen a la recta intersección de los planos dados.

Considera el punto $$ A(2,1,0) $$ y los planos $$ \pi_1 \equiv x+y+z=0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x-y+z=0 $$. Calcula los puntos de la recta $$ s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2} $$ que equidistan de $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.

Sean los vectores $$\vec{u}=(1, -1, 0)$$, $$\vec{v}=(0, 1, 2)$$ y $$\vec{w}=(1+\alpha, 2\alpha, 2-3\alpha)$$. Halla los valores de $$\alpha$$ para que $$\vec{u}$$, $$\vec{v}$$ y $$\vec{w}$$ estén en el mismo plano.

Considera la recta $$ r $$ y el plano $$ \pi $$ siguientes: $$ r \equiv \begin{cases} x + z - a = 0 \\ y - az - 1 = 0 \end{cases} $$, $$ \pi \equiv 2x - y = b $$. Determina $$ a $$ y $$ b $$ sabiendo que $$ r $$ está contenida en $$ \pi $$.

Dado el plano $$\pi \equiv x - 2y + 1 = 0 $$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x - 3y + z = 0 \\ x - y + az + 2 = 0 \end{cases} $$, hallar el valor de $$a $$ sabiendo que la recta está contenida en el plano.

Determina los puntos de la recta de ecuaciones $$ \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-2}{2} $$ que equidistan de los planos de ecuaciones $$ 3x - 4y + 1 = 0 $$ y $$ 4x - 3z + 1 = 0 $$.

Considera el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ 3x - 2y - 2z = 7 $$ y la recta r definida por $$ \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} $$. Determina la ecuación del plano paralelo a $$ \pi $$ que contiene a r.

Considera el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ 3x - 2y - 2z = 7 $$ y la recta r definida por $$ \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} $$. Halla la ecuación del plano ortogonal a $$ \pi $$ que contiene a r.

Considera la recta $$r$$ definida por $$\frac{x-1}{\alpha} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2}$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x - y + \beta z = 0$$.

Determina $$\alpha$$ y $$\beta$$ sabiendo que la recta $$r$$ está contenida en el plano $$\pi$$.

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$. Halla la recta que corta perpendicularmente a $$r$$ y a $$s$$.

Determina un punto $$P$$ de la recta $$r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 4}{3}$$ que equidista del origen de coordenadas y del punto $$A(3, 2, 1)$$.

Determina el punto de la recta $$r \equiv \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=z+1$$ que equidista de los planos $$\pi_1 \equiv x-y+3z+2=0$$ y $$\pi_2 \equiv \begin{cases} x=-4+\lambda-3\mu \\ y=1+\lambda \\ z=\mu \end{cases}$$.

Determina los puntos de la recta $$ r $$ de ecuaciones $$ x=0 $$, $$ \frac{y-1}{1} = \frac{z-3}{2} $$ que equidistan del plano $$ \pi $$ de ecuación $$ x+z=1 $$ y del plano $$ \pi' $$ de ecuación $$ y-z=3 $$.

Considera los puntos $$ A(1,0,2) $$ y $$ B(-1,2,4) $$ y la recta $$ r $$ definida por $$ \frac{x+2}{2} = y-1 = \frac{z-1}{3} $$. Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de $$ A $$ y de $$ B $$.

Considera los puntos A = (1,0,-1) y B = (2,1,0) y la recta r dada por \begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 2 \end{cases} . Sea el plano que es paralelo a r y pasa por A y B . Determina si la recta que pasa por los puntos P = (1,2,1) y Q = (3,4,1) está contenida en dicho plano.

Sea $$r$$ la recta definida por $$\begin{cases} x+2y-z=3 \\ 2x-y+z=1 \end{cases}$$. Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a $$r$$ en el punto $$(1, 1, 0)$$.

Considera el plano $$ \pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x-5}{-2} = y $$ $$ = \frac{z-6}{m} $$. Para $$ m = -3 $$, halla el plano que contiene a la recta $$ r $$ y es paralelo al plano $$ \pi $$.

Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$$ y el plano $$\pi \equiv mx - y - 2z = 5$$. Halla $$m$$ para que $$r$$ y $$\pi$$ sean paralelos.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-k}{2}$$ y $$s \equiv \frac{x+2}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{1}$$. Para $$k = 0$$, halla la ecuación general del plano que contiene a $$r$$ y es paralelo a $$s$$.

Sean las rectas $$r \equiv \frac{x+1}{4} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-2}{-1}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}$$. Halla la ecuación de un plano que contiene a $$r$$ y a una recta perpendicular a las rectas $$r$$ y $$s$$.

Sea la recta $r$ dada por $$ \begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases} $$ y el plano $\pi$ definido por $$ x + my - z = 1 $$.

¿Existe algún valor de $m$ para el que $\pi$ y $r$ son paralelos?

Sea la recta $r$ dada por $$ \begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases} $$ y el plano $\pi$ definido por $$ x + my - z = 1 $$.

¿Para qué valor de $m$ está la recta contenida en el plano?

Considera el punto $$ A(1, 0, -1) $$ y el plano $$ \pi \equiv x - y + 2z + 1 = 0 $$. Considera también la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $$ A $$, es perpendicular al plano $$ \pi $$ y es paralelo a la recta $$ r $$.

Considera la recta $$ r $$ y el plano $$ \pi $$ siguientes: $$ r \equiv \begin{cases} x + z - a = 0 \\ y - az - 1 = 0 \end{cases} $$, $$ \pi \equiv 2x - y = b $$. Halla la ecuación de un plano que contenga a $$ r $$ y sea perpendicular a $$ \pi $$.

Sea la recta r definida por $$ \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ 3x + z = 0 \end{cases} $$. Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto $$ P(1,1,1) $$.

Considera el plano $$ \pi $$ definido por $$ 2x-y+nz=0 $$ y la recta $$ r $$ dada por $$ \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2} $$ con $$ m \neq 0 $$. Calcula $$ m $$ y $$ n $$ para que la recta $$ r $$ sea perpendicular al plano $$ \pi $$.

Considera el plano $$ \pi $$ definido por $$ 2x-y+nz=0 $$ y la recta $$ r $$ dada por $$ \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2} $$ con $$ m \neq 0 $$. Calcula $$ m $$ y $$ n $$ para que la recta $$ r $$ esté contenida en el plano $$ \pi $$.

Dadas la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ y = 2 \end{cases} $$ y el plano $$ \pi \equiv x - 2y + z = 0 $$, halla un plano específico del haz de planos que contiene a $$ r $$ que corte a $$ \pi $$ en una recta paralela al plano $$ z = 0 $$.

Sea $$ \pi $$ el plano de ecuación $$ 3x - y + 2z - 4 = 0 $$. Halla la ecuación del plano $$ \pi_2 $$ perpendicular a $$ \pi $$ que contiene a la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 4 \end{cases} $$.

Determina el punto $$ P $$ de la recta $$ r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3} $$ que equidista de los planos: $$ \pi_1 \equiv x + y + z + 3 = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases} $$.

Considera el plano $$ \pi \equiv 2x + y - z + 7 = 0 $$ y la recta $$ r $$ dada por las ecuaciones paramétricas: $$ x = 1 + \lambda $$, $$ y = 1 + \lambda $$, $$ z = 1 + 3\lambda $$. Halla la ecuación de un plano perpendicular a $$ \pi $$ y que contenga a la recta $$ r $$.

Considera el plano $$ \pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x-5}{-2} = y $$ $$ = \frac{z-6}{m} $$. Para $$ m = -3 $$, halla el plano que contiene a la recta $$ r $$ y es perpendicular al plano $$ \pi $$.