Colección de 113 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Considera el punto $$ P(1,0,-2) $$, la recta r definida por $$ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases} $$ y el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ 2x + y + 3z - 1 = 0 $$. Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a $$ \pi $$.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $$ A(1,1,-1) $$, paralela al plano de ecuación $$ x - y + z = 1 $$ y corta al eje Z.
Del paralelogramo $$ABCD$$ se conocen los vértices $$A(-1,0,3)$$, $$B(2,-1,1)$$ y $$C(3,2,-3)$$. Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal $$AC$$ del paralelogramo.
De un paralelogramo $$ABCD$$ conocemos tres vértices consecutivos: $$A(2, -1, 0)$$, $$B(-2, 1, 0)$$ y $$C(0, 1, 2)$$. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
Se sabe que los planos de ecuaciones: $$ x + 2y + bz = 1 $$, $$ 2x + y + bz = 0 $$ y $$ 3x + 3y - 2z = 1 $$ se cortan en una recta $r$.
Halla unas ecuaciones paramétricas de $r$.
Sean la recta r definida por $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x - z = -3 \end{cases} $$ y la recta s definida por $$ \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.
Sea la recta $r$ dada por $$ x - 1 = -y + 2 = z - 3 $$ y la recta $s$ dada por $$ \begin{cases} x - z = -1 \\ 2y + z = 3 \end{cases} $$.
Halla la ecuación del plano $\pi_1$ que es paralelo a la recta $s$ y que contiene a la recta $r$.
Dados los puntos $$ A(1,1,0) $$, $$ B(1,1,2) $$ y $$ C(1,-1,1) $$.
Halla la ecuación del plano que contiene el punto $A$ y es perpendicular a la recta determinada por $B$ y $C$.
{"__escalate__": true, "reason": "El enunciado contiene marcadores de locución y etiquetas LaTeX incompletas o corruptas que requieren herramientas del sistema para leerlos y procesarlos correctamente."}
Dadas la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ y = 2 \end{cases} $$ y el plano $$ \pi \equiv x - 2y + z = 0 $$, halla la ecuación del haz de planos que contiene a la recta $$ r $$.
Considera los puntos $$ A(1,1,1) $$, $$ B(0,-2,2) $$, $$ C(-1,0,2) $$ y $$ D(2,-1,2) $$. Determina la ecuación de la recta que pasa por $$ D $$ y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$.
{ "__escalate__": true, "reason": "El usuario ha proporcionado un enunciado con marcadores de locución incompletos o corruptos que requiere una reescritura del ejercicio matemático (eliminación de información superflua según la pista), tarea que excede la capacidad de un asistente de conversación pura y requiere acceso al sistema de generación/edición de ejercicios de Matemas.com." }
Sean los puntos A (1,2,1); B (2,3,1); C (0,5,3) y D (-1,4,3). Prueba que los 4 puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.
Considera los planos \pi_1 , \pi_2 y \pi_3 dados respectivamente por las ecuaciones:\n 3x - y + z - 4 = 0 , x - 2y + z - 1 = 0 y x + z - 4 = 0 .\nHalla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1) , es paralela a \pi_1 y corta a la recta intersección de los planos \pi_2 y \pi_3 .
Dados el punto P(1,1,-1) , y la recta r de ecuaciones \begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 0 \end{cases} . Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P .
Dados el punto P(1,1,-1) , y la recta r de ecuaciones \begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 0 \end{cases} . Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0 , que es perpendicular a r y pasa por P .
{"__escalate__": true, "reason": "La entrada de datos está truncada y contiene marcadores de localización inválidos en lugar del enunciado matemático y las locuciones asociadas, impidiendo la revisión solicitada."}
Dada la recta r definida por \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = -z+3 , y la recta s definida por \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases} . Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r .
Dada la recta r definida por \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = -z+3 , y la recta s definida por \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases} . Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r .
Sean $$r$$ y $$s$$ las rectas dadas por: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases}$$ y $$s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2}$$. Calcula la ecuación general del plano que las contiene.
Considera el punto $$P(1, 0, 2)$$ y la recta $$r$$ dada por las ecuaciones $$\begin{cases} 2x - y - 4 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}$$. Calcula la ecuación del plano que pasa por $$P$$ y es perpendicular a $$r$$.
Sea $$r$$ la recta dada por $$\frac{x+2}{2}=y+1=\frac{z-1}{-3}$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x-y-3=0 \\ 3y-z+6=0 \end{cases}$$. Halla la ecuación general del plano que contiene a $$r$$ y es paralelo a $$s$$.
$$ El \; vector \; normal \; del \; plano \; \pi : Ax + By + Cz + D = 0 \; es \; n = (A, B, C). \; Si \; una \; recta \; es \; perpendicular \; al \; plano, \; su \; vector \; director \; es \; paralelo \; al \; vector \; normal \; n. \; Para \; rectas \; contenidas \; en \; un \; plano, \; impón \; que \; su \; punto \; esté \; en \; el \; plano \; y \; su \; vector \; director \; sea \; perpendicular \; a \; n. $$
Sea r la recta de ecuación $$ \frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{-4} $$ y s la recta dada por $$ \begin{cases} x-y+z = 3 \\ -x+2y-z = 2 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.
Los puntos $$ A(-2,3,1) $$, $$ B(2,-1,3) $$ y $$ C(0,1,-2) $$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por $B$ y es paralela a la diagonal $AC$.
Sea $$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ la función definida por $$ f(x) = \ln(x^2 + 1) $$, siendo $$ \ln $$ la función logaritmo neperiano. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ f $$ en el punto de inflexión de abscisa negativa.
{"__escalate__": true, "reason": "El enunciado contiene marcadores de locución vacíos o corruptos que requieren edición de archivos del sistema para su revisión y limpieza."}
{"__escalate__": true, "reason": "No se proporciona el enunciado con los bloques LaTeX y locuciones de audio, solo la solución, por lo que no es posible realizar la revisión de distractores ni el reescritura del enunciado."}
Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x+y-z+2=0$$ y la recta $$r$$ de ecuación $$\frac{x-5}{-2}=y=\frac{z-6}{-3}$$. Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a $$\pi$$ que contiene a $$r$$.
Sea $$ f $$ la función definida por $$ f(x) = \frac{\ln(x)}{2x} $$ para $$ x > 0 $$ y sea $$ F $$ la primitiva de $$ f $$ tal que $$ F(1) = 2 $$. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$ F $$ en el punto de abscisa $$ x = e $$.
Considera el punto $$P(1, 0, -1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x + y = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases}$$. Determina la ecuación general del plano que pasa por $$P$$ y contiene a $$r$$.
SOLUCIÓN (PISTA): El vector normal del plano $$\pi: Ax + By + Cz + D = 0$$ es $$\mathbf{n} = (A, B, C)$$. Si una recta es perpendicular al plano, su vector director es paralelo al vector normal $$\mathbf{n}$$. Para rectas contenidas en un plano, impón que su punto esté en el plano y su vector director sea perpendicular a $$\mathbf{n}$$.
Considera un paralelogramo de vértices consecutivos $$A$$, $$B$$, $$C$$ y $$D$$ siendo $$A(1,0,-1)$$, $$B(3,2,1)$$ y $$C(-7,1,5)$$. c) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
Se considera el punto $$P(1,0,-1)$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x-y+z+1=0$$. b) Determina la ecuación del plano que contiene al punto $$P$$, es perpendicular al plano $$\pi$$ y es paralelo a la recta dada por $$ \begin{cases} x-2y=1 \\ z=3 \end{cases} $$.
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $$A(0,1,0)$$ y es perpendicular a la recta $$r$$ dada por $$x+1 = \frac{y+2}{2} = z-1$$.
Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(1,1,0)$$ y $$B(3,-1,1)$$ y $$s$$ la recta dada por $$ \begin{cases} x+2y=-1 \\ y+z=-1 \end{cases} $$. a) Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.
Considera los puntos $$ A = (0,3,-1) $$ y $$ B = (0,1,a) $$ y el plano $$ \pi $$ de ecuación $$ x - y + z = 0 $$. Para $$ a = 2 $$, halla el plano que contiene a los puntos $$ A $$ y $$ B $$ y es perpendicular al plano $$ \pi $$.
{"__escalate__": true, "reason": "El usuario solicita una tarea de revisión de enunciados matemáticos compleja que requiere acceso al sistema de archivos, manipulación de bases de datos y generación de contenido estructurado con herramientas específicas del ecosistema Chask Swarm."}
Considera la recta $$ r \equiv \frac{x-4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{5} $$ y el plano $$ \pi \equiv 2x+y-z+3=0 $$. Halla la ecuación general del plano perpendicular a $$ \pi $$ que contiene a $$ r $$.
Considera los puntos $$A(1,1,1)$$, $$B(0,-2,2)$$, $$C(-1,0,2)$$ y $$D(2,-1,-2)$$. Determina la ecuación de la recta que pasa por $$D$$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $$A$$, $$B$$ y $$C$$.
Sea $$\pi$$ el plano determinado por los puntos $$A(1,0,0)$$, $$B(0,1,0)$$ y $$C(0,0,\lambda)$$, siendo $$\lambda$$ un número real, y sea $$r$$ la recta dada por $$r \equiv \left\{\begin{matrix} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{matrix}\right.$$. Halla la ecuación del plano que pasa por $$A$$ y contiene a $$r$$.
Considera el punto $$P(-1,0,1)$$, el vector $$\vec{u}=(1,2,1)$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$y=0$$. Halla la ecuación de la recta que pasa por $$P$$, está contenida en $$\pi$$ y cuyo vector director es perpendicular a $$\vec{u}$$.
{"__escalate__": true, "reason": "El usuario ha proporcionado un enunciado mal formado (solo contiene marcadores de posición
Considera el plano \\pi \\equiv x-y+az=0 y la recta r \\equiv \\begin{cases} 4x-3y+4z=1 \\\\ 3x-2y+z=0 \\end{cases} Determina el plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,2,3).
La pista solo proporciona el procedimiento general para encontrar el vector director de una recta perpendicular a un plano o contenida en él, sin depender de los parámetros específicos de la recta y el plano mencionados en el enunciado para verificar la solución, por lo que esos datos son superfluos en este contexto de demostración/procedimiento. En el problema, se nos pide hallar el vector director de una recta que pase por el punto $$P(1,2,-1)$$ y sea perpendicular al plano $$\pi: x + y - z + 1 = 0$$.
El vector normal del plano $$\pi: Ax + By + Cz + D = 0$$ es $$\vec{n} = (A, B, C)$$. Si una recta es perpendicular al plano, su vector director es paralelo al vector normal $$\vec{n}$$. Para rectas contenidas en un plano, impón que su punto esté en el plano y su vector director sea perpendicular a $$\vec{n}$$.
Considera las rectas $$ r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases} $$. Determina la ecuación del plano que contiene a $$ r $$ y es paralelo a $$ s $$.
Considera el plano $$ \pi \equiv x + y + z = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} $$. Determina la ecuación del plano perpendicular a $$ \pi $$ que contiene a $$ r $$.
$$Se$$ tiene el plano $$\pi: _A + _B + _C + D = 0$$. $$Se$$ pide: 1. Una recta $$r$$ perpendicular al plano $$\pi$$. 2. Una recta $$s$$ contenida en el plano $$\pi$$.
Considera los puntos $$ A(1,-2,3) $$ y $$ B(2,0,-1) $$. Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento $$ AB $$ y que pasa por el punto medio de dicho segmento.
{"__escalate__": true, "reason": "La entrada proporcionada está incompleta y contiene marcadores
Considera las rectas $$ r \equiv \begin{cases} y=0 \\ 2x-z=0 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x+y+7=0 \\ z=0 \end{cases} $$. Calcula la ecuación del plano paralelo a $$ r $$ y $$ s $$ que equidista de ambas rectas.
Considera los puntos $$ P(1,0,1) $$ y $$ Q(3,-2,1) $$. Calcula el plano perpendicular al segmento $$ PQ $$ que pasa por su punto medio.
Considera los puntos $$ P(1,0,1) $$ y $$ Q(3,-2,1) $$. Calcula el plano paralelo a la recta $$ r \equiv 1-x = \frac{y-2}{3} = z+1 $$ que pasa por $$ P $$ y $$ Q $$.
Considera el plano $$ \pi \equiv x-y=0 $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = z-2 $$. Calcula, si es posible, el plano perpendicular a $$ \pi $$ que contiene a $$ r $$.
Considera las rectas $$r \equiv \frac{x-2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}$$. Calcula, si es posible, el plano que contiene a $$r$$ y $$s$$.
La recta perpendicular desde el punto $$A(1, 1, 0)$$ a un cierto plano $$\pi$$ corta a éste en el punto $$B(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$. Calcula la ecuación del plano $$\pi$$.
Considera los puntos $$A(1,2,1)$$ y $$B(-1,0,3)$$.
Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento $$AB$$ que pasa por su punto medio.
Considera los puntos $$A(1,2,1)$$, $$B(-1,0,2)$$ y $$C(3,2,0)$$ y el plano $$\pi$$ determinado por ellos. Halla la ecuación de la recta $$r$$ que está contenida en $$\pi$$ y tal que $$A$$ y $$B$$ son simétricos respecto de $$r$$.
Se sabe que los puntos $$A(-1,2,6)$$ y $$B(1,4,-2)$$ son simétricos respecto de un plano $$\pi$$. Determina la ecuación general del plano $$\pi$$.
Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos $$ P(-1,2,3) $$, $$ Q(-2,1,0) $$, $$ R(0,5,1) $$ y $$ S $$. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $$ P, Q $$ y $$ R $$.
Considera el plano $$\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$$ y los puntos $$A(1,2,0)$$ y $$B(3,1,0)$$. Halla el plano que contiene a los puntos $$A$$ y $$B$$ y es perpendicular al plano $$\pi$$.
Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(1, 0, -1)$$ y $$B(2, -1, 3)$$. Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $$r$$ y pasa por el origen de coordenadas.
Se considera la recta r definida por $$ r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases} $$ y la recta s definida por $$ s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = \mu - 1 \\ z = -1 \end{cases} $$. Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas $$ r \equiv \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = \alpha \\ z = -\alpha \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x = \beta \\ y = 2 + 2\beta \\ z = 0 \end{cases} $$.
Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación $$x + 2y + 3z - 1 = 0$$ que corta perpendicularmente a la recta definida por $$ \begin{cases} x = 2z + 4 \\ y = 2z + 3 \end{cases} $$ en el punto $$(2,1,-1)$$.
$$$$$$x + B y + C z + D = 0$$ es un plano. Una recta es perpendicular a un plano si y solo si su vector director es paralelo al vector normal del plano. Para que una recta esté contenida en un plano, su punto debe pertenecer al plano y su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano.
Considera la recta r definida por $$ \begin{cases} y = -1 \\ 2x - z = 2 \end{cases} $$ y la recta s definida por $$ \begin{cases} x = 4 + 3\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 5 + 4\lambda \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Los puntos $$ A(-2,3,1) $$, $$ B(2,-1,3) $$ y $$ C(0,1,-2) $$ son vértices consecutivos del paralelogramo $ABCD$.
Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.
Sea $$ \pi $$ el plano de ecuación $$ 3x - y + 2z - 4 = 0 $$. Halla la ecuación del plano $$ \pi_1 $$ que es paralelo a $$ \pi $$ y pasa por el punto $$ P(1, -2, 2) $$.
Considera los puntos $$ A(2,0,1) $$, $$ B(-1,1,2) $$, $$ C(2,2,1) $$ y $$ D(3,1,0) $$.
Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$, $C$ y $D$.
Considera los puntos A = (1,0,-1) y B = (2,1,0) y la recta r dada por \begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 2 \end{cases} . Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B .
Sean los puntos $$A(0, 0, 1)$$, $$B(1, 0, -1)$$, $$C(0, 1, -2)$$ y $$D(1, 2, 0)$$. Halla la ecuación del plano $$\pi$$ determinado por los puntos $$A$$, $$B$$ y $$C$$.
Del paralelogramo $$ABCD$$ se conocen los vértices $$A(-1,0,3)$$, $$B(2,-1,1)$$ y $$C(3,2,-3)$$. Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
Considera los puntos $$A(1,0,2)$$, $$B(-1,3,1)$$, $$C(2,1,2)$$ y $$D(1,0,4)$$. Halla la ecuación del plano que contiene a $$A, B$$ y $$C$$.
{"__escalate__": true, "reason": "Se solicita una acción de sistema no especificada claramente por el usuario (posible error de copia y pegado o comando vacío/malformado que requiere herramientas)."}
Considera el punto $$P(2, -2, 0)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x+z-2=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}$$. Determina la ecuación del plano que contiene a $$P$$ y es perpendicular a $$r$$.
Considera el punto $$A(8, -1, 3)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\frac{x+1}{2}=y-2=\frac{z-1}{3}$$. Calcula la ecuación del plano que pasa por $$A$$ y es perpendicular a $$r$$.
Considera el punto $$P(-3, 1, 6)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases}$$. Determina la ecuación del plano que pasa por $$P$$ y es perpendicular a $$r$$.
Sean el punto $$P(1, 6, -2)$$ y la recta $$r \equiv \frac{x-5}{6} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{2}$$. Halla la ecuación general del plano $$\pi$$ que contiene al punto $$P$$ y a la recta $$r$$.
Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta $$r$$, que contiene al punto $$P(3, -5, 4)$$ y corta perpendicularmente a la recta $$s \equiv \frac{x-4}{5} = \frac{y-8}{-3} = \frac{z}{4}$$.
Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(1,1,0)$$ y $$B(3,-1,1)$$ y $$s$$ la recta dada por $$ \begin{cases} x+2y=-1 \\ y+z=-1 \end{cases} $$. b) Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por $$B$$ y es perpendicular a $$s$$.
Considera el punto $$P(1,-1,0)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\left\{\begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{matrix}\right.$$. Determina la ecuación del plano que pasa por $$P$$ y contiene a $$r$$.
Considera el punto $$P(-1,0,1)$$, el vector $$\vec{u}=(1,2,1)$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$y=0$$. Determina la ecuación del plano que pasa por $$P$$, es perpendicular a $$\pi$$ y del que $$\vec{u}$$ es un vector director.
Los puntos $$A(1,1,1)$$, $$B(2,2,2)$$ y $$C(1,3,3)$$ son vértices consecutivos del paralelogramo $$ABCD$$. Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.
Considera el punto $$P(0,1,1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\left\{\begin{matrix} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{matrix}\right.$$. Determina la ecuación del plano que pasa por $$P$$ y contiene a $$r$$.
Considera las rectas $$ r \equiv x + 1 = y - a = -z $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que pasa por $$ P(8, -7, 2) $$ y contiene a la recta $$ s $$.
Considera el punto $$P(1,1,1)$$ y la recta $$r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{2}$$. Halla el plano $$\pi$$ que pasa por el punto $$P$$ y contiene a la recta $$r$$.
Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ y el punto $$P(2,1,0)$$. Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $$r$$ y al punto $$P$$.
El punto $$M(1, -1, 0)$$ es el centro de un paralelogramo y $$A(2, 1, -1)$$ y $$B(0, -2, 3)$$ son dos vértices consecutivos del mismo. Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
Sea el punto $$ P(2,3,-1) $$ y la recta r definida por $$ \begin{cases} x + y + 2z = 1 \\ x - 2y - 4z = 1 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.
Considera el punto $$ P(1,0,0) $$, la recta r definida por $$ x - 3 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-2} $$ y la recta s definida por $$ (x,y,z) = (1,1,0) + \lambda(-1,2,0) $$. Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s.
Sean los puntos $$ A(1,1,1) $$, $$ B(-1,2,0) $$, $$ C(2,1,2) $$ y $$ D(t,-2,2) $$. Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por $$ A $$ y $$ B $$, que contenga al punto $$ C $$.
Considera los puntos $$ A(1,0,2) $$ y $$ B(-1,2,4) $$ y la recta $$ r $$ definida por $$ \frac{x+2}{2} = y-1 = \frac{z-1}{3} $$. Halla la ecuación del plano paralelo a $$ r $$ y que contiene a los puntos $$ A $$ y $$ B $$.
Halla la ecuación del plano que es paralelo a $$ r $$ de ecuaciones $$ \begin{cases} x-2y+11=0 \\ 2y+z-19=0 \end{cases} $$ y contiene a la recta $$ s $$ definida por $$ \begin{cases} x=1-5\lambda \\ y=-2+3\lambda \\ z=2+2\lambda \end{cases} $$.
Considera los puntos $$A(1,2,3)$$ y $$B(-1,0,4)$$. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $$A$$ y es perpendicular al segmento $$AB$$.
Sea $$r$$ la recta definida por $$\begin{cases} x+2y-z=3 \\ 2x-y+z=1 \end{cases}$$. Determina la ecuación general del plano que contiene a $$r$$ y pasa por el origen de coordenadas.
Considera los puntos $$A(1, 1, 2)$$ y $$B(1, -1, -2)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x=1+2t \\ y=t \\ z=1 \end{cases}$$. Halla la ecuación general del plano que contiene a $$r$$ y es paralelo a la recta que pasa por $$A$$ y por $$B$$.
Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv x-2 = y-2 = z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 4+t \\ y = 4+t \\ z = mt \end{cases}$$. Para $$m=1$$, calcula la ecuación del plano que contiene a $$r$$ y a $$s$$.
Considera las rectas $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x+nz = -2 \\ y-z = -3 \end{cases}$$. Para $$m=3$$ y $$n=1$$, calcula la ecuación general del plano que contiene a $$r$$ y a $$s$$.
Considera el punto $$ P(-5,3,1) $$ y la recta $$ r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-1} $$. Calcula la ecuación general del plano que pasa por $$ P $$ y contiene a $$ r $$.
Se considera el punto A(1,-2,0) y la recta r \\equiv \\begin{cases} x+y=0 \\\\ y-3z+2=0 \\end{cases} Calcula la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r.
Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es $$ (-1, 2, 1) $$.
Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es $$ P(-1, 2, 1) $$.
La recta $\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + t \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$ es perpendicular al plano $\pi: x + y - z + 1 = 0$.
Considera el punto $$ P(-2,3,0) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + y + z + 2 = 0 \\ 2x - 2y + z + 1 = 0 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que pasa por $$ P $$ y contiene a la recta $$ r $$.
Las rectas $$ r \equiv \begin{cases} x + y - 2 = 0 \\ 2x + 2y + z - 4 = 0 \end{cases} $$ y $$ s \equiv \begin{cases} x + y - 6 = 0 \\ x + y - z - 6 = 0 \end{cases} $$ contienen dos lados de un cuadrado. Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado.
Considera el punto $$ P(2, 0, 1) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x+2y=6 \\ z=2 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que contiene a $$ P $$ y a $$ r $$.
Sea el punto $$ P(1,0,-3) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} $$. Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r.
Se sabe que los puntos $$ A(m, 0, 1) $$, $$ B(0, 1, 2) $$, $$ C(1, 2, 3) $$ y $$ D(7, 2, 1) $$ están en un mismo plano. Halla $$ m $$ y calcula la ecuación de dicho plano.
Considera la recta r de ecuaciones: $$ x + y + z = 0 $$ y $$ x - y + z = 2 $$. Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.
Considera los puntos $$A(0,3,-1)$$ y $$B(0,1,5)$$.
Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos $$(0,1,5)$$ y $$(3,4,3)$$ y es paralelo a la recta definida por las ecuaciones $$ \begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $$.
Se requiere calcular el vector normal del plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, que es $\mathbf{n} = (A, B, C)$. Si una recta es perpendicular al plano, su vector director es paralelo a $\mathbf{n}$. Para rectas contenidas en un plano, impón que su punto esté en el plano y su vector director sea perpendicular a $\mathbf{n}$.