Colección de 19 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Calcula el volumen de un cubo sabiendo que dos de sus caras están, respectivamente, en los planos $$ 2x - 2y + z - 1 = 0 $$ y $$ 2x - 2y + z - 5 = 0 $$.
Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de $$ 200 \text{ cm}^2 $$. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo.
$$|| a$$ Sea \\( \mathbf{u} = (1, 2, 3) $$, \\( \mathbf{v} = (4, 5, 6) $$ y \\( \mathbf{w} = (7, 8, 10) $$ tres vectores en \\( \mathbb{R}^3 $$. Calcula el volumen del tetraedro definido por estos vectores.
Considera los vectores $$\vec{u}=(2,3,4)$$, $$\vec{v}=(-1,-1,-1)$$ y $$\vec{w}=(-1,\lambda,-5)$$ siendo $$\lambda$$ un número real. Halla los valores de $$\lambda$$ para los que el paralelepípedo determinado por $$\vec{u}$$, $$\vec{v}$$ y $$\vec{w}$$ tiene volumen $$6$$ unidades cúbicas.
Halla cada uno de los puntos de la recta $$ r \equiv \begin{cases} x-y=0 \\ y-z=0 \end{cases} $$ de manera que junto con los puntos $$ A(1,1,0), B(1,0,1) $$ y $$ C(0,1,1) $$ formen un tetraedro de volumen $$ \frac{5}{6} $$.
Considera los puntos A(t,2,-1) , B(0,1,1) , C(-1,0,2) y D(2,3,-t-1). Calcula el valor o los valores de t para que el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D sea 5 unidades cúbicas.
Sea el plano $$ \pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0 $$. Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano $$ \pi $$ con los ejes coordenados.
Dados los puntos $$ O(0,0,0) $$, $$ A(2,-1,0) $$, $$ B(3,0,x) $$ y $$ C(-x,1,-1) $$, los vectores $$ \overrightarrow{OA} $$, $$ \overrightarrow{OB} $$ y $$ \overrightarrow{OC} $$ determinan un paralelepípedo. Calcula los posibles valores de $$ x $$ sabiendo que el volumen del paralelepípedo es $$ 5 $$ unidades cúbicas.
Dados los puntos $$ O(0,0,0) $$, $$ A(2,-1,0) $$, $$ B(3,0,x) $$ y $$ C(-x,1,-1) $$, los vectores $$ \overrightarrow{OA} $$, $$ \overrightarrow{OB} $$ y $$ \overrightarrow{OC} $$ determinan un paralelepípedo. Para $$ x = 1 $$, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices $$ O, A $$ y $$ B $$.
Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos $$ A(0,2,-2) $$, $$ B(3,2,1) $$ y $$ C(2,3,2) $$ con los planos cartesianos.
Sean $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} || a mayúscula es igual a la matriz fila uno, dos, menos tres, fila dos, menos tres, cinco || $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} || ve mayúscula es igual a la matriz fila uno, uno, menos cuatro, fila dos, menos nueve, cinco || $$. Calcula las matrices $$ X || equis || $$ e $$ Y || i griega || $$ para las que $$ 2X - Y = A || dos por equis menos i griega es igual a a mayúscula || $$ y $$ X - 3Y = B || equis menos tres por i griega es igual a ve mayúscula || $$.
Sean los puntos $$A(3,-1,1)$$, $$B(1,3,-3)$$ y $$C(-2,-2,1)$$. Halla los puntos $$D$$ pertenecientes al eje $$OZ$$ para que el tetraedro de vértices $$A$$, $$B$$, $$C$$ y $$D$$ tenga un volumen de $$20$$ unidades cúbicas.
Sean las matrices $$ A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$. Para $$ m = 0 $$, resuelve, si es posible, la ecuación matricial $$ \frac{1}{2} A \cdot X + C^4 = B $$.
Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen $$60\text{ cm}$$. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.
Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de $18 \text{ euros/m}^2$ para los laterales y de $24 \text{ euros/m}^2$ para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de $50 \text{ euros}$.
Here's better to output the reclaimed enunciated block per the initial instruction: "If there is useless info, return ONLY the enunciate reworked without that info irrelevante." But here the user gave a solution/hint block with "
Se divide el segmento de longitud L = 20 \text{ cm} en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.
De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 \text{ cm} ¿qué base tiene el de área máxima?.
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