Colección de 14 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
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Los puntos $$A(0,1,1)$$ y $$B(2,1,3)$$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} 2x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$. Calcula las coordenadas de los posibles puntos $$C$$ de $$r$$ para que el triángulo $$ABC$$ tenga un ángulo recto en el vértice $$A$$.
Sean los planos $$\pi \equiv x + 3y + 2z - 5 = 0$$ y $$\pi' \equiv -2x + y + 3z + 3 = 0$$. Determina el ángulo que forman $$\pi$$ y $$\pi'$$.
Considera los puntos $$A(0,3,-1)$$ y $$B(0,1,5)$$.
Calcula los valores de $$x$$ sabiendo que el triángulo ABC de vértices $$A(0,3,-1)$$, $$B(0,1,5)$$ y $$C(x,4,3)$$ tiene un ángulo recto en $$C$$.
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos $$ A(1,1,0) $$; $$ B(1,0,2) $$; $$ C(0,2,1) $$. Calcula el coseno del ángulo en el vértice $$ A $$.
Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$. Calcula el seno del ángulo que forma la recta $$r$$ con el plano $$\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$$.
Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}$$. Para $$m = 1$$, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas $$r$$ y $$s$$.
Considera los planos $$ \pi_1 \equiv x + y + 2 = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x - z - 1 = 0 $$. Halla el ángulo que forman los planos $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.
Sean los planos $$ \pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0 $$, y la recta $$ r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5} $$. Halla el seno del ángulo que forma el plano $$ \pi_1 $$ con la recta $$ r $$.
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos $$ A(0, 2, 3) $$; $$ B(m, 0, 1) $$; $$ C(2, 1, 2) $$. Para $$ m = 0 $$, calcula el coseno del ángulo en el vértice $$ A $$ de dicho triángulo.
Considera los planos $$ \pi_1 \equiv x - y + z = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x + y = 2 $$. Halla el ángulo que forman $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.
Considera los vectores $$ \vec{u}=(1,a,2) $$ y $$ \vec{v}=(-2,1,a) $$. Calcula $$ a $$ para que ambos vectores formen un ángulo de $$ \frac{\pi}{3} $$ radianes.
Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.
Considera la recta $$ r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} $$, el plano $$ \pi \equiv \begin{cases} x = \alpha \\ y = \alpha \\ z = \beta \end{cases} $$ y los puntos $$ B(4, 4, 4) $$ y $$ C(0, 0, 0) $$. Halla un punto $$ A $$ de la recta $$ r $$ para que el triángulo de vértices $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$ sea rectángulo con ángulo recto en $$ B $$.