Colección de 50 ejercicios resueltos paso a paso con enunciado íntegro, pista metodológica en ventana emergente, solución completa y reproducción interactiva en pizarra digital con voz.
Dado el punto $$\begin{verbatim}P(a,b,c)\end{verbatim}$$ y el plano $$\pi: Ax+By+Cz+D=0$$, se pide calcular el punto simétrico $$P'$$ del punto $$P$$ respecto al plano $$\pi$$.
Considera los puntos $$ A(1, -1, 2) $$, $$ B(1, 3, 0) $$ y $$ C(0, 0, 1) $$. Halla el punto simétrico de $$ A $$ respecto de la recta que pasa por $$ B $$ y $$ C $$.
Considera el plano $$ \pi \equiv x - y + 2z = 3 $$ y el punto $$ A(-1,-4,2) $$. Halla el punto simétrico de $$ A $$ respecto de $$ \pi $$.
Considera el punto $$ P(2, 0, 1) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x+2y=6 \\ z=2 \end{cases} $$. Calcula el punto simétrico de $$ P $$ respecto de la recta $$ r $$.
Sea el punto $$ P(1,0,-3) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ x + z = 0 \end{cases} $$. Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
Considera el punto $$ P(3,2,0) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x+y-z-3=0 \\ x+2z+1=0 \end{cases} $$. Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r.
Para hallar el simétrico P' de P respecto de un plano pi: calcula la recta perpendicular a pi por P, halla la intersección M (proyección ortogonal) y aplica la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, de donde P' = 2M - P.
$$\text{Halla el punto } P' \text{ simétrico de } P(-1, 3, 4) \text{ respecto al plano } \pi: 2x - 3y + z - 5 = 0.$$
Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x + 2y - z - 6 = 0$$ y el punto $$P(1,0,-1)$$.
Encuentra el punto simétrico de $$P$$ respecto del plano $$\pi$$.
Considera los puntos $$P(2,3,1)$$ y $$Q(0,1,1)$$. Halla la ecuación del plano $$\pi$$ respecto del cual $$P$$ y $$Q$$ son simétricos.
Considera los puntos $$A(1,0,2)$$, $$B(-1,3,1)$$, $$C(2,1,2)$$ y $$D(1,0,4)$$. Halla el punto simétrico de $$D$$ respecto del plano $$x-y-5z+9=0$$.
Considera los puntos $$P(2,3,1)$$ y $$Q(0,1,1)$$. Sea $$\pi$$ el plano respecto del cual $$P$$ y $$Q$$ son simétricos. Calcula la distancia de $$P$$ a $$\pi$$.
Sean los puntos $$A(0,1,1)$$, $$B(2,1, 3)$$, $$C(-1,2,0)$$ y $$D(2,1,m)$$. Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos $$A$$ y $$B$$ son simétricos.
Considera los puntos $$A(1,2,1)$$, $$B(-1,0,2)$$ y $$C(3,2,0)$$ y el plano $$\pi$$ determinado por ellos. Sea $$r$$ la recta que está contenida en $$\pi$$ y tal que $$A$$ y $$B$$ son simétricos respecto de $$r$$. Calcula la distancia de $$A$$ a $$r$$.
Sea el plano $$\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0$$. Calcula la recta $$r'$$, simétrica de la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{1}$$ respecto al plano $$\pi$$.
Considera el punto $$P(-3, 1, 6)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases}$$. Calcula las coordenadas del punto simétrico de $$P$$ respecto de la recta $$r$$.
$$...$$
Para hallar el simétrico P' de P respecto de un plano pi: calcula la recta perpendicular a pi por P, halla la intersección M (proyección ortogonal) y aplica la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, de donde P' = 2M - P.
Considera el punto $$A(1,-1,1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$ \begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=1 \end{cases} $$. a) Calcula las coordenadas del punto simétrico de $$A$$ respecto a $$r$$.
Considera el punto $$P(1,-1,0)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\left\{\begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{matrix}\right.$$. Halla las coordenadas del punto simétrico de $$P$$ respecto de $$r$$.
Considera los puntos $$A(1,3,-1)$$ y $$B(3,-1,-1)$$. Determina la ecuación del plano respecto del cual $$B$$ es el simétrico de $$A$$.
Considera el punto $$P(0,1,1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\left\{\begin{matrix} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{matrix}\right.$$. Halla las coordenadas del punto simétrico de $$P$$ respecto de $$r$$.
Considera los puntos $$P(1,0,-1)$$, $$Q(2,1,1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$x-5 = y = \frac{z+2}{-2}$$. Determina el punto simétrico de $$P$$ respecto de $$r$$.
Considera el punto $$P(2,-1,3)$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$3x+2y+z=5$$. Calcula el punto simétrico de $$P$$ respecto de $$\pi$$.
Se considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$x+2y+z=6$$. Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto de $$\pi$$.
Se sabe que los puntos $$A(-1,2,6)$$ y $$B(1,4,-2)$$ son simétricos respecto de un plano $$\pi$$. Calcula la distancia de $$A$$ a $$\pi$$.
Considera el punto A(0,1,-2) y los planos \\pi_1 \\equiv 2x-y-z+5=0 y \\pi_2 \\equiv x+5y-6z-4=0. Halla el punto simétrico de A respecto de \\pi_1.
Considera el plano \\pi \\equiv 2x-y+z-3=0, la recta r \\equiv \\begin{cases} x=3+\\lambda \\\\ y=1-2\\lambda \\\\ z=-2-\\lambda \\end{cases} y el punto P(1,1,2). Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.
Considera el punto $$P = (1, 2, 6)$$ y el plano $$\pi \equiv 2x - y + z = 0$$. Halla el simétrico del punto $$P$$ respecto al plano $$\pi$$.
Considera el punto $$P(1, 0, 1)$$ y el plano $$\pi \equiv x - y + z + 1 = 0$$. Halla el simétrico del punto $$P$$ respecto al plano $$\pi$$.
La recta perpendicular desde el punto $$A(1, 1, 0)$$ a un cierto plano $$\pi$$ corta a éste en el punto $$B(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$. Halla la distancia del punto $$A$$ a su simétrico respecto a $$\pi$$.
Sea el plano $$ \pi \equiv x + y - z = 2 $$ y la recta $$ r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1 $$. Dado el punto $$ Q(2, 6, 3) $$ halla su simétrico respecto del plano $$ \pi $$.
Determina el punto simétrico de $$ A(2,-4,-3) $$ con respecto al plano que contiene a los puntos $$ B(1,1,2) $$, $$ C(0,\frac{1}{3},1) $$ y $$ D(-3,0,3) $$.
Halla el punto simétrico de $$ P(2,2,1) $$ respecto de la recta $$ r \equiv \begin{cases} x-2y+z=2 \\ y-z=1 \end{cases} $$.
Halla el punto simétrico de $$ Q(1,-1,-3) $$ respecto del plano $$ \pi \equiv x-2y+z+6=0 $$.
Considera el plano $$\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$$. Calcula el punto simétrico de $$P(1,0,1)$$ respecto de $$\pi$$.
Considera el plano $$\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$$ y los puntos $$A(1,2,0)$$ y $$B(3,1,0)$$. Calcula el punto simétrico del punto $$A$$ con respecto al plano $$\pi$$.
Halla el punto simétrico de $$P(2, 1, -5)$$ respecto de la recta $$r$$ definida por $$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}$$.
Considera los puntos $$ A(2,0,1) $$, $$ B(-1,1,2) $$, $$ C(2,2,1) $$ y $$ D(3,1,0) $$.
Sea el plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$, $C$ y $D$. Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.
Halla el punto simétrico de $$ P(1,1,1) $$ respecto de la recta $$ r $$ de ecuación $$ \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-1} $$.
Dado un punto $$P(2, 3, -1)$$ y un plano $$\pi: x + y - z = 4$$, calcular el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$.
Considera el recinto limitado por la curva $$ y = \frac{1}{3}x^2 $$ y la recta $$ y = 9 $$. De entre los rectángulos inscritos de base horizontal simétrica respecto al eje de ordenadas, con un lado sobre la recta y el lado opuesto con sus vértices sobre la parábola, determina el que tiene área máxima.
SOLUCIÓN (PISTA): Para hallar el simétrico P' de P respecto de un plano pi: calcula la recta perpendicular a pi por P, halla la intersección M (proyección ortogonal) y aplica la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, de donde P' = 2M - P.
Calcula la distancia del punto $$P(1,-3,7)$$ a su punto simétrico respecto de la recta definida por $$ \begin{cases} 3x - y - z - 2 = 0 \\ x + y - z + 6 = 0 \end{cases} $$.
Considera el punto $$P(1,0,-2)$$ y la recta $$r$$ definida por $$ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ 2x + y - 4z = 7 \end{cases} $$.
Halla la distancia entre el punto $$P$$ y su simétrico $$Q$$ respecto de la recta $$r$$.
Considera el punto $$A(8, -1, 3)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\frac{x+1}{2}=y-2=\frac{z-1}{3}$$. Halla el punto simétrico de $$A$$ respecto de $$r$$.
sea el punto P(1, 2, 3) y el plano pi: x + y - z = 0. Halla el simétrico P' de P respecto del plano pi.
Considera el punto P(1,0,-1) y la recta r \\equiv \\begin{cases} x-y+2z=5 \\\\ x-z=1 \\end{cases} Determina el punto simétrico de P respecto de la recta r.
Considera la recta r de ecuaciones: $$ x + y + z = 0 $$ y $$ x - y + z = 2 $$. Calcula la proyección ortogonal del punto $$ A(1, 2, 1) $$ sobre la recta r.