Ejercicios Resueltos 2.10 Distancia entre puntos, rectas y planos

Considera la recta $$ r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1} $$ y los planos $$ \pi_1 \equiv x = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv y = 0 $$. Halla los puntos de la recta $$ r $$ que equidistan de los planos $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.

Considera el punto $$P = (1, 2, 6)$$ y el plano $$\pi \equiv 2x - y + z = 0$$. Halla las ecuaciones de los planos paralelos a $$\pi$$ cuya distancia a éste sea $$\sqrt{6}$$ unidades.

Considera los planos $$ \pi_1 \equiv x + y + 2 = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x - z - 1 = 0 $$, así como la recta $$ r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases} $$. Calcula los puntos de la recta $$ r $$ que equidistan de los planos $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.

Sean los planos $$ \pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0 $$, y la recta $$ r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5} $$. Halla los puntos de $$ r $$ que equidistan de los planos $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$.

Considera el plano $$\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$$. Calcula los planos paralelos a $$\pi$$ y que disten $$2$$ unidades de $$\pi$$.

La recta r de ecuación paramétrica $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ y el plano $\pi$ de ecuación $2x + y - z - 3 = 0$. Halla la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.

Se sabe que el plano $$ \pi $$ corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$, siendo las longitudes de los segmentos $$ OA $$, $$ OB $$ y $$ OC $$ de 4 unidades, donde $$ O $$ es el origen de coordenadas. Obtén un plano paralelo al plano $$ \pi $$ que diste 4 unidades del origen de coordenadas.

Sea $$r$$ la recta de ecuación $$r \equiv \frac{x+2}{3} = \frac{y+1}{4} = z$$. Halla el punto de $$r$$ que equidista del origen de coordenadas y del punto $$P(4, -2, 2)$$.

$$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{v}$$ $$\overrightarrow{v}$$ $$\overrightarrow{v}_r, \overrightarrow{v}_s, \overrightarrow{AP}$$

{"__escalate__": true, "reason": "El usuario ha solicitado el procesamiento de un ejercicio matemático de geometría (distancias) incluyendo enunciados con marcadores de locución y una solución detallada, tarea que requiere modificar archivos, limpiar datos en bases de datos y ejecutar scripts, capacidades no disponibles en la sesión actual."}

De entre todos los rectángulos de perímetro $$8 \text{ cm}$$, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.

Dados los puntos $$ A(2,1,-1) $$ y $$ B(-2,3,1) $$ y la recta $r$ definida por $$ \begin{cases} x - y - z = -1 \\ 3x - 2z = -5 \end{cases} $$.

Halla las coordenadas de un punto de la recta $r$ que equidiste de los puntos $A$ y $B$.

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Dada la recta r definida por \frac{x+7}{2} = \frac{y-7}{-1} = z y la recta s definida por \begin{cases} x = 2 \\ y = -5 \\ z = \lambda \end{cases} . Calcula la distancia entre r y s .

Dadas las rectas $$r \equiv \frac{x + 3}{-6} = \frac{y - 9}{4} = \frac{z - 8}{4}$$ y $$s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 9}{-2} = \frac{z - 8}{-2}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Halla las siguientes distancias en el espacio afín euclídeo: 1. Distancia del punto $$ P(1, -2, 3) $$ al plano $$ \pi: x - y + 2z - 4 = 0 $$. 2. Distancia del punto $$ P(0, 0, 0) $$ a la recta $$ r $$ definida por el punto $$ A(1, 1, 1) $$ y el vector director $$ \vec{v}_r = (1, 0, 1) $$. 3. Distancia entre la recta $$ r $$ y la recta $$ s $$, siendo $$ r $$ la definida en el punto anterior y $$ s $$ la recta que pasa por el punto $$ B(2, -1, 0) $$ con vector director $$ \vec{v}_s = (0, 1, 1) $$.

Sea $$r$$ la recta que pasa por el punto $$(1,0,0)$$ y tiene como vector dirección $$(a,2a,1)$$ y sea $$s$$ la recta dada por: $$s \equiv \begin{cases} -2x+y=-2 \\ -ax+z=0 \end{cases}$$. Calcula, para $$a=1$$, la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Calcula la distancia entre las rectas: $$r \equiv x=y=z$$ y $$s \equiv x-1=y-2=z-3$$.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x=2-3\lambda \\ y=3+5\lambda \\ z=\lambda \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x+y-1=0 \\ z-5=0 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Sea $$r$$ la recta definida por $$\begin{cases} x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=\lambda \end{cases}$$ y $$s$$ la recta dada por $$\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-2}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: $$r \equiv x=y=z$$ y $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases}$$.

Considera las rectas dadas por $$r \equiv \left\{\begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix}\right.$$. Halla la distancia entre las rectas $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas $$r$$ y $$s$$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$ y $$s \equiv \begin{cases} x+y = 2 \\ z = 2 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre las rectas dadas.

Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(3,6,7)$$ y $$B(7,8,3)$$ y sea $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x-4y-z = -10 \\ 3x-4y+z = -2 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3}$$ y $$s \equiv \begin{cases} 2x-3y = -5 \\ y-2z = -1 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Sea $$r$$ la recta definida por $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases}$$ y $$s$$ la recta dada por $$\begin{cases} x - y = 1 \\ z = -1 \end{cases}$$. Calcula la distancia entre $$r$$ y $$s$$.

Un objeto se mueve en línea recta con una velocidad (medida en metros por segundo) definida por la función $$v : [0,8] \to \mathbb{R}$$, dada por $$v(t)=\frac{8t-t^2}{(t+1)^2}$$, donde $$t$$ representa el tiempo en segundos. Calcula la distancia total (en metros) que recorre el objeto durante los primeros $$8$$ segundos, sabiendo que la distancia es la integral del valor absoluto de la función velocidad.

Un objeto se mueve en línea recta con una velocidad (medida en metros por segundo) definida por la función $$v : [0,8] \to \mathbb{R}$$, dada por $$v(t)=\frac{8t-t^2}{(t+1)^2}$$, donde $$t$$ representa el tiempo en segundos. Si el objeto se hubiera movido con una velocidad $$w : [0,8] \to \mathbb{R}$$, con $$w(t) > v(t)$$ para todo $$t \in [0,8]$$, razona sin calcular la integral, si el objeto hubiera recorrido una distancia mayor o menor en los $$8$$ segundos.

Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje OX, un vértice está en la recta $y = x$ y el otro, en la recta $y = 4 - x$. Halla la altura del rectángulo en función de $a$ (ver figura). [GRAPH: x; 4-x | 0, 4]

Sean los puntos $$A(0, 0, 1)$$, $$B(1, 0, -1)$$, $$C(0, 1, -2)$$ y $$D(1, 2, 0)$$. Calcula la distancia del punto $$D$$ al plano $$\pi$$.

Considera el punto $$P(2,-1,3)$$ y el plano $$\pi$$ de ecuación $$3x+2y+z=5$$. Calcula la distancia de $$P$$ a $$\pi$$.

Considera el tetraedro de vértices A(0,0,0) , B(1,1,0) , C(0,1,3) y D(1,0,3). Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice A de dicho tetraedro.

La recta \( r \) está definida por los puntos \( A(0, 1, 2) \) y \( B(2, 0, 1) \). El plano \( \pi \) tiene ecuación \( x + y - z + 3 = 0 \). El punto \( P(1, 1, 1) \) pertenece a la recta \( s \). La recta \( s \) está definida por el punto \( P(1, 1, 1) \) y el vector director \( \vec{v} = (1, 2, -1) \). 1. Calcula la distancia del punto \( P \) al plano \( \pi \). 2. Calcula la distancia del punto \( P \) a la recta \( r \).

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Sean los puntos $$O(0,0,0)$$, $$A(0,2,-2)$$, $$B(1,2,m)$$ y $$C(2,3,2)$$. Para $$m = 0$$, calcula la distancia del punto $$O$$ al plano que pasa por $$A$$, $$B$$ y $$C$$.

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas $$ (2,0) $$ de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función $$ f(x) = \sqrt{x+1} $$. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

Considera los puntos $$ A(4,0,0) $$ y $$ B(0,2,0) $$. Calcula los puntos del plano $$ XOZ $$ que forman un triángulo equilátero con $$ A $$ y $$ B $$.

Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide $8 \text{ cm}$ y la altura correspondiente mide $5 \text{ cm}$. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Sean los puntos $$ A(2,\lambda,\lambda) $$, $$ B(-\lambda,2,0) $$ y $$ C(0,\lambda,\lambda-1) $$. Para $$ \lambda=1 $$ halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $$ A $$, $$ B $$ y $$ C $$. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano $$ \pi $$ de ecuación $$ x+y+z+1=0 $$ y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área $$ 18\sqrt{3} $$.

Considera el punto $$ A(1,-2,1) $$ y la recta r definida por las ecuaciones $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + y + z = 7 \end{cases} $$. Calcula la distancia del punto A a la recta r.

Sea la recta r definida por $$ \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ 3x + z = 0 \end{cases} $$. Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades.

Sea el punto $$ P(2,3,-1) $$ y la recta r definida por $$ \begin{cases} x + y + 2z = 1 \\ x - 2y - 4z = 1 \end{cases} $$. Halla el punto de r que está más cerca de P.

Dados los puntos A(1,0,0) , B(0,0,1) y P(1,-1,1) , y la recta r definida por \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ z = 0 \end{cases} . Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

Calcula de manera razonada la distancia del eje $$OX$$ a la recta $$r$$ de ecuaciones $$\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 2x - 3y - z = 0 \end{cases}$$.

Considera la recta $$r$$ que pasa por los puntos $$A(1, 0, -1)$$ y $$B(-1, 1, 0)$$ y la recta $$s$$ paralela a $$r$$ que pasa por $$C(-2, 3, 2)$$. Calcula la distancia de $$r$$ a $$s$$.

Considera el punto $$P(2, -2, 0)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x+z-2=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}$$. Calcula la distancia de $$P$$ a $$r$$.

Considera los puntos $$A(1, 1, 2)$$ y $$B(1, -1, -2)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x=1+2t \\ y=t \\ z=1 \end{cases}$$. Halla el punto de la recta $$r$$ que está a la misma distancia de $$A$$ y de $$B$$.

Sea $$r$$ la recta que pasa por los puntos $$A(1, 0, -1)$$ y $$B(2, -1, 3)$$. Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta $$r$$.

Sean el punto $$P(1, 6, -2)$$ y la recta $$r \equiv \frac{x-5}{6} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{2}$$. Calcula la distancia entre el punto $$P$$ y la recta $$r$$.

Sea $$r$$ la recta de ecuación $$r \equiv \frac{x+2}{3} = \frac{y+1}{4} = z$$. Determina el punto de la recta $$r$$ más próximo al origen de coordenadas.

Considera el punto $$P(1, 0, -1)$$ y la recta $$r$$ dada por $$\begin{cases} x + y = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases}$$. Halla la distancia de $$P$$ a $$r$$.

Considera los puntos $$A(-1,-2,-1)$$ y $$B(1,0,1)$$. Calcula la distancia de $$P(-1,0,1)$$ a la recta que pasa por los puntos $$A$$ y $$B$$.

Considera los puntos A(t,2,-1) , B(0,1,1) , C(-1,0,2) y D(2,3,-t-1). Para t=0, calcula la distancia del punto A a la recta determinada por los puntos B y C.

Considera A(1,0,1) , B(-1,0,2) y O(0,0,0), y la recta r \\equiv \\begin{cases} x=-1-\\lambda \\\\ y=\\lambda \\\\ z=2 \\end{cases} Calcula la distancia del punto A a la recta r.

Considera los puntos $$B(-1, 0, -1)$$, $$C(0, 1, -3)$$ y la recta $$r$$ dada por $$r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$. Calcula un punto que esté en $$r$$ y equidiste de $$B$$ y $$C$$.

$$\text{}$$

Considera el plano $$ \pi $$, determinado por los puntos $$ A(-1,0,0) $$, $$ B(0,1,1) $$ y $$ C(2,1,0) $$, y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases} $$. Halla los puntos de $$ r $$ cuya distancia a $$ \pi $$ es $$ \sqrt{14} $$ unidades.

Considera la recta $$ r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = 3-z $$ y el punto $$ P(0,2,-4) $$. Calcula el punto de $$ r $$ a menor distancia de $$ P $$.

Considera la recta $$ r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = 3-z $$ y el punto $$ P(0,2,-4) $$. Halla los puntos de $$ r $$ cuya distancia a $$ P $$ sea igual a $$ \sqrt{50} $$.

Considera el plano $$ \pi $$, determinado por los puntos $$ A(-1,0,0) $$, $$ B(0,1,1) $$ y $$ C(2,1,0) $$, y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x-2z-3=0 \\ y-z-2=0 \end{cases} $$. Halla los puntos de $$ r $$ cuya distancia a $$ \pi $$ es $$ \sqrt{14} $$ unidades.

Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ y el punto $$P(2,1,0)$$. Halla la distancia del punto $$P$$ a la recta $$r$$.

Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$$ y el plano $$\pi \equiv mx - y - 2z = 5$$. Para $$m = -8$$, calcula la distancia de la recta $$r$$ al plano $$\pi$$.

Calcula el punto de la recta de ecuaciones $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+1}{-3} $$ más cercano al punto $$ A(1, -1, 1) $$.

Halla el punto de la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + 3y + z = 1 \\ y + z = -1 \end{cases} $$ que está más cercano al punto $$ P(1,-1,0) $$.

Considera el punto $$ P(-2,3,0) $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x + y + z + 2 = 0 \\ 2x - 2y + z + 1 = 0 \end{cases} $$. Determina el punto de $$ r $$ más próximo a $$ P $$.

Sean los puntos $$ A(1, 0, -1) $$ y $$ B(2, -1, 3) $$. Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por $$ A $$ y por $$ B $$.

Halla un punto $$ A $$ de la recta $$ r $$ de ecuación $$ x = y = z $$ y un punto $$ B $$ de la recta $$ s $$ de ecuación $$ \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{2} $$ de forma que la distancia entre $$ A $$ y $$ B $$ sea mínima.

Considera los planos $$\pi_1$$ de ecuación $$x + y + z = 3\sqrt{3}$$ y $$\pi_2$$ de ecuación $$-x + y + z = 2$$. Sea $$r$$ la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos $$\pi_1$$ y $$\pi_2$$.

Halla la distancia de la recta $$r$$ al plano $$\pi_1$$.

Considera el recinto limitado por la curva $$ y = \frac{1}{3}x^2 $$ y la recta $$ y = 9 $$. De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máxima. [GRAPH: (1/3)*x^2; 9 | -6, 6]

Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$x+2y+z=1$$. a) Halla el punto de $$\pi$$ más próximo al punto $$(3,1,2)$$.

Encuentra los puntos de la recta $$r \equiv \frac{x - 1}{4} = \frac{2 - y}{2} = z - 3$$ cuya distancia al plano $$\pi \equiv x - 2y + 2z = 1$$ vale cuatro unidades.

Determina el punto de la recta $$r \equiv \frac{x-1}{2} = y+1 = \frac{z}{3}$$ que equidista de los planos $$\pi \equiv x+y+z+3=0$$ y $$\pi' \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases}$$.

Sea $$ r $$ la recta que pasa por el punto $$ P(2,-2,-1) $$ con vector director $$ \vec{v}=(k,3+k,-2k) $$ y sea $$ \pi $$ el plano de ecuación $$ -x+2y+2z-1=0 $$. Para $$ k = -1 $$, calcula los puntos de $$ r $$ que distan $$ 3 $$ unidades de $$ \pi $$.

Considera la recta $$ r \equiv \begin{cases} x+y+2=0 \\ -y+z+5=0 \end{cases} $$ y el plano $$ \pi \equiv 2x+y-mz=1 $$. Para $$ m = -1 $$, calcula la distancia entre $$ r $$ y $$ \pi $$.

Considera la recta $$ r \equiv \frac{x-4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{5} $$ y el plano $$ \pi \equiv 2x+y-z+3=0 $$. Calcula la distancia entre $$ r $$ y $$ \pi $$.

Considera el punto P(1,0,-1) y la recta r \\equiv \\begin{cases} x-y+2z=5 \\\\ x-z=1 \\end{cases} Calcula el punto de la recta r que dista \\sqrt{6} unidades de P.

Considera el plano \\pi \\equiv x-y+z=2 y la recta r \\equiv \\frac{x}{2}=\\frac{y+1}{1}=\\frac{z+2}{-1} Calcula la distancia entre r y \\pi.

Considera el plano $$ \pi \equiv x + y + z = 0 $$ y la recta $$ r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} $$. Calcula la distancia entre $$ r $$ y $$ \pi $$.

Determina los puntos de la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{cases} $$ que son equidistantes de los planos cartesianos $$ OYZ $$ y $$ OXZ $$.

Considera la recta $$ r \equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 3x - 2z = -2 \end{cases} $$. Calcula la distancia entre la recta $$ r $$ y el plano $$ 2x + 5y + 3z = 41 $$.

Considera los planos $$ \pi_1 \equiv x - y + z = 0 $$ y $$ \pi_2 \equiv x + y = 2 $$. Calcula la distancia entre la recta intersección de $$ \pi_1 $$ y $$ \pi_2 $$ y el punto $$ P(2,6,-2) $$.

Dada la recta $$ r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 4 \end{cases} $$, el plano $$ \pi: x + y + z - 10 = 0 $$ y el punto $$ P(1, 2, 3) $$, calcula la distancia del punto $$ P $$ al plano $$ \pi $$ y la distancia del punto $$ P $$ a la recta $$ r $$.

Considera el plano $$\pi$$ de ecuación $$2x + 2y - z - 6 = 0$$ y la recta $$r$$ definida por $$\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2}$$.

Calcula, razonadamente, la distancia de la recta $$r$$ al plano $$\pi$$.