Ejercicios Resueltos 2.1 Vectores en el espacio tridimensional

Se consideran los vectores $$ \vec{u} = (1,2,3) $$, $$ \vec{v} = (1,-2,-1) $$ y $$ \vec{w} = (2,\alpha,\beta) $$, donde $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ son números reales. Determina los valores de $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ para los que $$ \vec{w} $$ es ortogonal a los vectores $$ \vec{u} $$ y $$ \vec{v} $$.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & k \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 7 & k \end{pmatrix} $$. Estudia el rango de $$ A $$ en función de los valores del parámetro $$ k $$.

Se consideran los vectores $$ \vec{u} = (1,2,3) $$, $$ \vec{v} = (1,-2,-1) $$ y $$ \vec{w} = (2,\alpha,\beta) $$, donde $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ son números reales. Para $$ \alpha=8 $$, determina el valor de $$ \beta $$ para el que $$ \vec{w} $$ es combinación lineal de $$ \vec{u} $$ y $$ \vec{v} $$.

Dados los siguientes vectores: $$\vec{a} = (2, -1, 3)$$ $$\vec{b} = (1, 0, -1)$$ $$\vec{c} = (3, -1, 2)$$ $$\vec{d} = (5, -2, 1)$$ a) ¿Puede escribirse el vector a mayúscula como combinación lineal de los vectores b mayúscula y c mayúscula?

Considera los vectores \\vec{u}=(2,1,0), \\vec{v}=(1,0,-1) y \\vec{w}=(a,b,1). Halla a y b sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que \\vec{w} es ortogonal a \\vec{u}.

No se ha proporcionado ningún enunciado para revisar. El campo del enunciado está vacío.

Considera los vectores $$ \vec{u}=(1,a,2) $$ y $$ \vec{v}=(-2,1,a) $$. Calcula $$ a $$ para que el vector $$ (\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v} $$ sea ortogonal a $$ \vec{u} $$.

Considera los puntos $$A(1,2,0)$$, $$B(2,m,1)$$, $$C(3,4,2)$$ y $$D(1,-1,m)$$. Halla los valores de $$m$$ para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.

Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix} . Determina el valor de b para el que A^2 - 2A + I = 0 .

Parece que falta el enunciado del ejercicio. Solo se ha enviado la sección de SOLUCIÓN/PISTA, pero el bloque de enunciado (con locuciones) está vacío. No hay enunciado que revisar. Por favor, reenvía el ejercicio completo con su enunciado y locuciones.

Considera A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} , siendo a un nmero real. Calcula el valor de a para que A^2 - A = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 0 & 20 \end{pmatrix} .

Considera $$ A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} $$, siendo $$ a $$ un número real. ¿Existe algún valor de $$ a $$ para el que la matriz $$ A $$ sea simétrica? Razona la respuesta.

Se proporcionan tres vectores en el espacio $$ \mathbb{R}^3 $$ dependientes de un parámetro $$ a $$: $$ \vec{u} = (1, 1, 1) $$, $$ \vec{v} = (2, 2, a) $$, $$ \vec{w} = (2, 0, 0) $$. Encontrar los valores de $$ a $$ para que los vectores resultantes $$ (\vec{u}+\vec{v}) $$ y $$ (\vec{u}-\vec{w}) $$ sean ortogonales.

Considera las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$; $$B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$; $$M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$. Calcula $$BM$$.

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: - la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. - el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: - la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. - el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Sean los vectores: $$ \vec{v}_1 = (0, 1, 0) $$, $$ \vec{v}_2 = (2, 1, -1) $$ y $$ \vec{v}_3 = (2, 3, -1) $$. Calcula un vector unitario y perpendicular a $$ \vec{v}_1 $$ y $$ \vec{v}_2 $$.

Sean $$ \vec{u} = (x, 2, 0) $$, $$ \vec{v} = (x, -2, 1) $$ y $$ \vec{w} = (2, -x, -4x) $$ tres vectores de $$ \mathbb{R}^3 $$. Determina los valores de $$ x $$ para los que los vectores son linealmente independientes.

Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$, calcula razonadamente $$ A^{100} $$.

Considera los vectores $$ u = (1,1,m) el vector uve es igual a cero, eme, menos uno $$ y $$ w = (1,2m,0) eme $$ que hace que los vectores sean linealmente dependientes, expresa el vector $$ w u $$ y $$ v uve $$.

Considera los puntos A(-1,k,3) , B(k+1,0,2) , C(1,2,0) y D(2,0,1) . ¿Existe algún valor de k para el que los vectores \vec{AB}, \vec{BC} y \vec{CD} sean linealmente dependientes?.

Obtén un vector no nulo $$ v = (a, b, c) $$, de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango $$ 2 $$. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} $$ $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{pmatrix} $$