Ejercicios Resueltos 1.2 Determinantes

Sabiendo que:

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 2 $$

Calcula el siguiente determinante y enuncia las propiedades que utilices:

$$ \begin{vmatrix} a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h \end{vmatrix} $$

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ cuyo determinante vale $5$. Calcula, indicando las propiedades que utilices, el determinante de $2A$.

Sea una matriz $$ B $$ de orden 3, cuyo determinante vale $$ -2 $$. , indicando las propiedades que utilises, el determinante de $$ (B^t)^4 $$.

Sean $F_1$, $F_2$ y $F_3$ las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz $B$ de orden $3$, cuyo determinante vale $-2$. Calcula, indicando las propiedades que utilices, el determinante de $2B$.

Sean $$F_1$$, $$F_2$$ y $$F_3$$ las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz $$B$$ de orden 3, cuyo determinante vale $$-2$$. Calcula, indicando las propiedades que utilices, el determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $$5F_1 - F_3$$, $$3F_3$$, $$F_2$$.

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ matrices cualesquiera que verifican $A \cdot X \cdot B = C$. Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de $A$ es 3, el de $B$ es $-1$ y el de $C$ es 6, calcula el determinante de las matrices $X$ y $2X$.

De la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se sabe que $\det(A) = 4$. Halla $\det(-3A^t)$ y $\det \begin{pmatrix} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{pmatrix}$. Indica las propiedades que utilizas.

Si $$ B $$ es una matriz cuadrada tal que $$ B^3 = I $$, siendo $$ I $$ la matriz identidad, halla $$ \det(B) $$.

Sea $$ A $$ una matriz cuadrada cuyo determinante es $$ |A| = \frac{1}{2} $$. Calcula $$ |A^3| $$.

Sea $$ A $$ una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es $$ |A| = \frac{1}{2} $$. $$ |-2A| $$.

Sean $$ A $$ y $$ B $$ dos matrices cuadradas cuyos determinantes son $$ |A| = \frac{1}{2} $$ y $$ |B| = -2 $$. Calcula $$ |AB^t| $$, siendo $$ B^t $$ la matriz transpuesta de $$ B $$.

Considera las matrices: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} $$

Halla el determinante de una matriz $$ X $$ que verifique la igualdad $$ X^2 \cdot A \cdot X = B $$.

Se sabe que el determinante de la matriz $$ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} $$ es $$ 3 $$, calcula, indicando las propiedades que utilices, el siguiente determinante:

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{vmatrix} $$.

Se sabe que el determinante de la matriz $$ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} $$ es $$ 3 $$, calcula, indicando las propiedades que utilices, el siguiente determinante:

$$ \begin{vmatrix} a & b & 4a-c \\ b & d & 4b-e \\ c & e & 4c-f \end{vmatrix} $$.

Sabiendo que el determinante de la matriz $$ A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$ es $$ 2 $$, calcula, indicando las propiedades que utilices, el siguiente determinante:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x+2 & y+4 & z+6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} $$

Sabiendo que el determinante de una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r \end{pmatrix} $ es $4 $, calcula los siguientes determinantes, indicando en cada caso las propiedades que utilizas:

$$\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{vmatrix} $$ y $$\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix} $$.

Sea $$ M $$ una matriz cuadrada de orden $$ 3 $$ tal que su determinante es $$ \det(M) = 2 $$. Calcula el determinante de $$ 2M^t $$ ($$ M^t $$ es la matriz transpuesta de $$ M $$).

$$ \text{Apartado único)} $$

Sea $$ M $$ una matriz cuadrada tal que su determinanté es $$ \det(M) = 2 $$. Calcula el determinante de $$ N $$, donde $$ N $$ es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de $$ M $$.

Considera las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$. Halla el determinante de $$ AB^{2013}A^t $$, $$ A^t $$ la matriz transpuesta de $$ A $$.

Sea $$A$$ una matriz $$3 \times 3$$ tal que $$\det(2A) = 8$$.

¿Cuánto vale $$\det(A)$$?

Sea $$A$$ una matriz $$3 \times 3$$ tal que $$\det(2A) = 8$$.

Siendo $$B$$ la matriz que se obtiene de $$A$$ multiplicando por $$3$$ la primera fila y por $$-1$$ la tercera, ¿cuánto vale $$\det(B)$$?

Determina los valores de $$x$$ para los que la siguiente matriz $$A$$ verifica que $$\det(2A) = 8$$:

$$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 2 & 2 \\ x & -x+2 & 1 \end{pmatrix}$$

Considera una matriz cuadrada de orden 3 $$ M $$ cuyo determinante es $$ 2 $$. Calcula el determinante de la matriz $$ 5 M^4 $$ e indica las propiedades que utilices.

Considera la matriz $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix} $$. Sabiendo que el determinante de $$ M $$ es $$ 2 $$, calcula el siguiente determinante e indica las propiedades que utilices:

$$ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix} $$

Considera la matriz $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix} $$. Sabiendo que el determinante de $$ M $$ es $$ 2 $$, calcula el siguiente determinante e indica las propiedades que utilices:

$$ \begin{vmatrix} 1 & x + 6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z + 3 & z \end{vmatrix} $$

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$ de la que se sabe que tiene determinante 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: $$3A$$ y $$\begin{pmatrix} 2a & d+3a & g \\ 2b & e+3b & h \\ 2c & f+3c & i \end{pmatrix}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$. Halla el determinante de la matriz $$3A^{52}(A^t)^4$$, donde $$A^t$$ es la transpuesta de la matriz $$A$$.

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$. Sabiendo que una matriz $$X$$ verifica $$X^3 A X = B^2$$, halla los posibles valores de su determinante.

Considera una matriz cuadrada de orden 3 $$ A $$, con determinante igual a $$ 5 $$. Calcula razonadamente el determinante de $$ 2A^3 $$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}$$, con determinante igual a 5. Calcula razonadamente los determinantes $$\begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & -\frac{1}{2} & 3 \\ 2c & -\frac{1}{2} & 3 \end{vmatrix}$$ y $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{vmatrix}$$.

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$, con determinante igual a 2. Calcula razonadamente los determinantes $$\begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ y $$\begin{vmatrix} 2a-2b & c & b \\ 2d-2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$.

Se sabe que $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2 $$. Calcula: $$ \begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix} $$.

Se sabe que $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2 $$. Calcula: $$ \begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix} $$.

Sabiendo que $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1 $$, calcula razonadamente $$ \begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix} $$.

Sabiendo que $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1 $$, calcula razonadamente $$ \begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix} $$.

Considera la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$.

Halla razonadamente el determinante de la matriz $$ 4 A^{25} (A^t)^4 $$.

Sean las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$.

Halla razonadamente el determinante de una matriz $$ X $$ que verifica $$ X^3 A X^2 = B^2 $$.

Se considera la matriz $$ M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ con determinante igual a $$ -5 $$.

Calcula $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix} $$.

Se considera la matriz $$ M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ con determinante igual a $$ -5 $$.

Calcula $$ \begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} $$.

Considera la matriz $$ A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \\ 2 & \alpha & \beta \\ 3 & 4 & \alpha \end{pmatrix} $$ que cumple $$ |A| = -2 $$. Calcula $$ \begin{vmatrix} -3 & -4 & -\alpha \\ \alpha - 2 & \beta - \alpha & 1 - \beta \\ 8 & 4\alpha & 4\beta \end{vmatrix} $$.

Considera la matriz $$ A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$. Sabiendo que el determinante de $$ A $$ es 5, calcula $$ \begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} $$, indicando las propiedades que utilizas.

Sea $A$ la matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ e $I$ la matriz identidad de orden 3. Calcula los valores de $\lambda$ para los que el determinante de $A - 2I$ es cero.

Considera las matrices $$ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix} $$

Determina, si existen, los valores de $$ m $$ para los que $$ A $$ y $$ B $$ tienen el mismo determinante.

Considera la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 2 & t & 0 \\ t & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$. Calcula los valores de $$ t $$ para los que el determinante de $$ A $$ es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

Determina una matriz $$ A $$ simétrica ($$ A $$ coincide con su transpuesta) sabiendo que: $$ |A| = -7 $$ y $$ A \cdot \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 12 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} $$.

$$ \text{Apartado único)} $$

Calcula todas las matrices $$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ tales que $$a+d=1$$, tienen determinante 1 y cumplen $$A \cdot X = X \cdot A$$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz de orden 4:

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$

Calcula el determinante de la siguiente matriz desarrollando por la fila o columna más conveniente:

$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 & 1 \\ -3 & 5 & 6 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 4 \end{pmatrix} $$

Calcula el determinante de la siguiente matriz de orden 4 utilizando operaciones elementales de fila y la regla de Laplace:

$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$

Justifica, aplicando las propiedades de los determinantes y sin desarrollarlo completamente, por qué el siguiente determinante es nulo:

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 2 & -1 & 5 & 1 \\ 4 & 5 & 1 & 9 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} $$

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz extrayendo factores comunes en sus filas antes de operar:

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -6 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & -1 \\ -3 & 6 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Calcula el determinante de la siguiente matriz reduciéndola a forma triangular superior mediante transformaciones elementales de fila:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$

```json {"__escalate__": true, "reason": "Falta el enunciado del ejercicio para poder revisar información superfl

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz tridiagonal simétrica de orden 4:

$$ T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Calcula el siguiente determinante sumando previamente todas las columnas a la primera:

$$ S = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$

{"__escalate__": true, "reason": "Falta el enunciado del ejercicio para poder analizar si contiene información superflua o distractora."}

Halla los valores reales de $$ a $$ para los cuales el determinante de la matriz $$ M_a $$ se anula, siendo:

$$ M_a = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 & 0 \\ 4 & a & 0 & 0 \\ 1 & -2 & a & 3 \\ 0 & 5 & 3 & a \end{pmatrix} $$

Calcula el determinante de la siguiente matriz utilizando permutaciones de líneas para facilitar el pivote y justificando los cambios de signo:

$$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$