La distribución Binomial es el modelo probabilístico discreto más importante. Modela el número de éxitos obtenidos al repetir un experimento aleatorio un número fijado $$n$$ de veces de manera independiente.
Condiciones del proceso de Bernoulli
- El experimento consiste en $$n$$ pruebas o ensayos idénticos e independientes.
- Cada prueba admite únicamente dos resultados posibles y excluyentes: Éxito ($$A$$) o Fracaso ($$\bar{A}$$).
- La probabilidad de éxito se mantiene constante en cada ensayo: $$P(A) = p$$. Por consiguiente, la de fracaso es $$q = 1 - p$$.
- La variable aleatoria $$X$$ cuenta el número total de éxitos: $$X \sim B(n, p)$$, tomando valores en $$\{0, 1, 2, \dots, n\}$$.
Función de probabilidad de la Binomial
La probabilidad de registrar exactamente $$k$$ éxitos viene dada por la fórmula:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = \binom{n}{k} p^k q^{n - k}$$donde $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$ representa el número combinatorio (formas de elegir las posiciones de los $$k$$ éxitos entre los $$n$$ intentos).
Parámetros característicos
- Esperanza matemática (media): $$\mu = E[X] = n \cdot p$$
- Varianza: $$\sigma^2 = \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot q = n p (1 - p)$$
- Desviación típica: $$\sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{n p (1 - p)}$$
Lanzamos 5 veces una moneda equilibrada ($$n = 5$$, $$p = 0.5$$, $$q = 0.5$$). Calculemos la probabilidad de obtener exactamente 3 caras ($$X = 3$$):
Parámetros: $$\mu = n \cdot p = 5 \cdot 0.5 = 2.5$$ caras; $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{5 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{1.25} \approx 1.118$$.
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Se lanza un dado equilibrado $$6$$ veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente $$2$$ números mayores que $$4$$.
Resolución paso a paso:
1) Definimos el suceso éxito $$A$$: 'Obtener número mayor que 4' (es decir, sacar 5 o 6).
$$p = P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \implies q = 1 - p = \frac{2}{3}$$2) Identificamos el modelo: $$X = \text{número de éxitos en } 6 \text{ tiradas} \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right)$$.
3) Calculamos $$P(X = 2)$$:
$$P(X = 2) = \binom{6}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^{6 - 2} = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243} \approx 0.3292$$Un estudiante responde al azar un examen test de $$10$$ preguntas con $$4$$ opciones cada una. Para aprobar debe acertar al menos $$5$$. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?
Resolución paso a paso:
Modelo: $$n = 10$$, $$p = \frac{1}{4} = 0.25$$, $$q = 0.75$$. $$X \sim B(10, 0.25)$$.
Probabilidad de aprobar: $$P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$$.
- $$P(X=5) = \binom{10}{5}(0.25)^5(0.75)^5 = 252 \times 0.0009766 \times 0.23730 \approx 0.05839$$
- $$P(X=6) = \binom{10}{6}(0.25)^6(0.75)^4 = 210 \times 0.0002441 \times 0.31641 \approx 0.01622$$
- $$P(X=7) = \binom{10}{7}(0.25)^7(0.75)^3 = 120 \times 0.0000610 \times 0.42188 \approx 0.00309$$
- $$P(X=8) = \binom{10}{8}(0.25)^8(0.75)^2 = 45 \times 0.0000153 \times 0.56250 \approx 0.00039$$
- $$P(X \ge 9) \approx 0.00003$$
Sumando los términos:
$$P(X \ge 5) = 0.05839 + 0.01622 + 0.00309 + 0.00039 + 0.00003 = 0.07812 \approx 7.81\%$$Un tratamiento médico cura al $$70\%$$ de los pacientes. Si se administra a $$4$$ enfermos, calcula la probabilidad de que al menos uno se cure.
Resolución paso a paso:
Sea $$X = \text{número de pacientes curados} \sim B(4, 0.7)$$. Nos piden $$P(X \ge 1)$$.
Por la regla del suceso complementario:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$Calculamos $$P(X = 0)$$ (ninguno se cura):
$$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.7)^0 (0.3)^4 = 1 \times 1 \times 0.0081 = 0.0081$$Sustituyendo:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0.0081 = 0.9919 \quad (99.19\%)$$