📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.5 Sistemas compatibles indeterminados
Estudio de sistemas compatibles indeterminados (SCI) con infinitas soluciones, parámetros libres y grados de libertad.
1. Solución General y Paramétrica en un SCI
Cuando $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = r < n$$, el sistema admite infinitas soluciones. El número de parámetros libres es $$k = n - r$$.
📌 Ejemplo Concreto de Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
Consideremos la ecuación lineal con 2 incógnitas ($$n = 2$$):
$$x + 2y = 4$$
Como $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 2$$, existe $$n - r = 2 - 1 = 1$$ grado de libertad. Tomando $$y = \lambda \in \mathbb{R}$$ como parámetro libre:
$$\begin{cases} x = 4 - 2\lambda \\ y = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$
El conjunto solución describe algebraicamente una recta de infinitos puntos en el plano afín.