📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.5.1 Ecuaciones matriciales

Resolución de ecuaciones matriciales lineales mediante el uso de la matriz inversa, despeje cuidadoso respetando la no conmutatividad y factor común.

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1. Reglas Fundamentales del Despeje Matricial

Una ecuación matricial es una igualdad algebraica donde las incógnitas y los coeficientes son matrices. Dado que el producto matricial no es conmutativo ($$A \cdot B \neq B \cdot A$$) y no existe la división de matrices, el despeje exige operar rigurosamente mediante matrices inversas respetando la posición (izquierda o derecha).

Reglas de Oro del Despeje Matricial

Respetar el lado: Para despejar $$A \cdot X = B$$, se multiplica por $$A^{-1}$$ por la izquierda: $A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$ Para despejar $$X \cdot A = B$$, se multiplica por $$A^{-1}$$ por la derecha: $(XA)A^{-1} = BA^{-1} \implies X(AA^{-1}) = BA^{-1} \implies X = BA^{-1}$
El papel de la Matriz Identidad: Si un término contiene la incógnita $$X$$ sin coeficientes explícitos, se debe escribir como $$I \cdot X$$ o $$X \cdot I$$ para poder extraer factor común: $AX + X = B \iff AX + IX = B \iff (A + I)X = B \iff X = (A + I)^{-1}B$

📌 Ejemplo Concreto de Despeje Matricial por la Izquierda y por la Derecha:

1. Para la ecuación $$A \cdot X = B$$, multiplicamos por $$A^{-1}$$ por la izquierda en ambos miembros:

A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies (A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B

2. Para la ecuación $$X \cdot A = B$$, multiplicamos por $$A^{-1}$$ por la derecha en ambos miembros:

(X \cdot A) \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X \cdot (A \cdot A^{-1}) = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}

Debido a la no conmutatividad, escribir $$X = A^{-1}B$$ en el segundo caso es un error matemático grave.

2. Protocolo de Resolución en Exámenes

Despeje simbólico previo: Dejar la incógnita $$X$$ aislada algebraicamente en un solo miembro antes de sustituir ninguna matriz numérica.
Comprobación de invertibilidad: Justificar formalmente que la matriz a invertir tiene determinante no nulo.
Cálculo de operaciones auxiliares: Calcular sumas, restas, productos y la matriz inversa requerida.
Sustitución y cálculo final: Realizar el producto final y recuadrar la matriz solución.

📌 Ejemplo Concreto del Despeje con Factor Común e Identidad:

Despejar $$X$$ en la ecuación $$A \cdot X - 3X = B$$:

Reescribimos $$3X$$ como $$(3I) \cdot X$$ y extraemos factor común $$X$$ por la derecha:

A \cdot X - (3I) \cdot X = B \implies (A - 3I) \cdot X = B \implies X = (A - 3I)^{-1} \cdot B

La solución existe siempre que la matriz $$A - 3I$$ sea invertible ($$|A - 3I| \neq 0$$).

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Ecuación Lineal $$AX + B = C$$

Enunciado: Despejar y calcular la matriz $$X$$ en la ecuación $$AX + B = C$$, siendo:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

Paso 1: Despeje algebraico

$$AX = C - B \implies X = A^{-1}(C - B)$$

Paso 2: Operaciones auxiliares

$$C - B = \begin{pmatrix} 5-3 & 1-(-1) \\ 2-0 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

$$|A| = 1 \neq 0 \implies A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Paso 3: Multiplicación final

X = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)-2(2) & 1(2)-2(2) \\ 0(2)+1(2) & 0(2)+1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Conclusión: $$\mathbf{X = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}$$.

Ejemplo 2: Factor Común y Matriz Identidad ($$XA - 2X = B$$)

Enunciado: Despejar $$X$$ en la ecuación matricial $$XA - 2X = B$$:

Paso 1: Reescribir con la matriz identidad

$$XA - X(2I) = B$$

Paso 2: Extraer factor común por la izquierda

$$X(A - 2I) = B$$

Paso 3: Despejar multiplicando por la derecha

Si $$|A - 2I| \neq 0$$, multiplicamos por $$(A - 2I)^{-1}$$ por la derecha:

X = B \cdot (A - 2I)^{-1}

Conclusión: La expresión general despejada es $$\mathbf{X = B \cdot (A - 2I)^{-1}}$$.

Ejemplo 3: Producto Bilateral $$AXB = C$$

Enunciado: Despejar $$X$$ en la ecuación $$AXB = C$$, donde $$A$$ y $$B$$ son matrices regulares:

Paso 1: Multiplicar por $$A^{-1}$$ por la izquierda

$$A^{-1}(AXB) = A^{-1}C \implies XB = A^{-1}C$$

Paso 2: Multiplicar por $$B^{-1}$$ por la derecha

$$(XB)B^{-1} = (A^{-1}C)B^{-1} \implies X = A^{-1}CB^{-1}$$

Conclusión: $$\mathbf{X = A^{-1} C B^{-1}}$$.

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