📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.4 Vector unitario y cosenos directores

Normalización de vectores para obtener vectores unitarios, ángulos directores con los ejes coordenados y relación fundamental de los cosenos directores.

▶ Ver Explicación Interactiva en Pizarra Digital

1. Normalización y Vector Unitario

Un vector $$\vec{u}$$ es unitario si su norma es igual a la unidad: $$|\vec{u}| = 1$$.

Dado cualquier vector no nulo $$\vec{v} \neq \vec{0}$$, el vector unitario con su misma dirección y sentido se obtiene mediante normalización:

\vec{u}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left( \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \; \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \; \frac{v_3}{|\vec{v}|} \right)

📌 Ejemplo Concreto de Vector Unitario:

Dado el vector $$\vec{v} = (2, -2, 1)$$, su módulo es $$|\vec{v}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$.

El vector unitario en su misma dirección y sentido es:

\vec{u}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left( \frac{2}{3}, \; -\frac{2}{3}, \; \frac{1}{3} \right)

Verificación: $$|\vec{u}_v| = \sqrt{(2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{4/9 + 4/9 + 1/9} = 1$$.

2. Cosenos Directores

Sean $$\alpha, \beta, \gamma$$ los ángulos que el vector $$\vec{v}$$ forma con los semiejes positivos $$OX$$, $$OY$$ y $$OZ$$. Sus cosenos directores coinciden exactamente con las coordenadas del vector unitario:

\cos(\alpha) = \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{v_3}{|\vec{v}|}

Relación Fundamental

\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1

📌 Ejemplo Concreto de Cosenos Directores:

Para el vector anterior $$\vec{v} = (2, -2, 1)$$, sus cosenos directores son:

\cos(\alpha) = \frac{2}{3}, \quad \cos(\beta) = -\frac{2}{3}, \quad \cos(\gamma) = \frac{1}{3}

Comprobamos la relación fundamental:

\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = 1

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Normalización Directa

Enunciado: Halla el vector unitario con la misma dirección y sentido que $$\vec{v}=(3, 0, 4)$$.

Paso 1: Módulo

$$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$$

Paso 2: División escalar

$$\vec{u}_v = \left(\frac{3}{5}, \; 0, \; \frac{4}{5}\right)$$

Ejemplo 2: Cosenos Directores de un Vector

Enunciado: Halla los cosenos directores de $$\vec{v}=(1, 2, 2)$$.

Paso 1: Cálculo

$$|\vec{v}|=3 \implies \cos(\alpha)=\frac{1}{3}, \; \cos(\beta)=\frac{2}{3}, \; \cos(\gamma)=\frac{2}{3}$$

Ejemplo 3: Deducción de Ángulo Director

Enunciado: Un vector forma $$\alpha=60^\circ$$ y $$\beta=60^\circ$$. Halla el ángulo agudo $$\gamma$$ con el eje $$OZ$$.

Paso 1: Aplicar relación fundamental

$$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \cos^2(\gamma) = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2(\gamma) = 1 \implies \cos^2(\gamma) = \frac{1}{2}$$

$$\cos(\gamma) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \gamma = 45^\circ$$

← Anterior 2.2.3 Módulo de un vector Siguiente → 2.2.5 Propiedades del módulo de un vector