1.6.3 Teorema del rango o de Rouché-Frobenius
Enunciado riguroso del Teorema de Rouché-Frobenius, comparación de rangos entre la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
1. Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius
Un sistema de ecuaciones lineales $$AX = B$$ con $$n$$ incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes $$A$$ es igual al rango de la matriz ampliada $$(A|B)$$:
- Compatible Determinado (SCD): $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n$$ (Solución única).
- Compatible Indeterminado (SCI): $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = r < n$$ (Infinitas soluciones con $$n - r$$ grados de libertad).
- Incompatible (SI): $$\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$$ (No existe solución).
Consideremos los siguientes tres casos en sistemas escalonados con $$n = 2$$ incógnitas ($$x, y$$):
1. Caso SCD: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 2 & \mid & 4 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A|B) = n \implies$$ Solución única $$(x,y)=(1,2)$$.
2. Caso SCI: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 1 = \text{rg}(A|B) < n \implies$$ Infinitas soluciones paramétricas.
3. Caso SI: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & \mid & 5 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 1 < \text{rg}(A|B) = 2 \implies$$ Sistema incompatible sin solución.