1.5.2 Sistemas de ecuaciones matriciales
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales donde las incógnitas son matrices mediante métodos de reducción, sustitución e igualación.
1. Métodos de Resolución de Sistemas Matriciales
Un sistema de ecuaciones matriciales consta de varias relaciones simultáneas donde intervienen matrices incógnitas $$X, Y \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$$. Dado que los escalares reales sí conmutan con las matrices, podemos utilizar con total validez el método de reducción para eliminar incógnitas.
Si $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ son constantes escalares, para cualquier par de matrices incógnitas $$X, Y$$ se cumple:
Esto permite multiplicar ecuaciones completas por números reales y sumarlas término a término sin alterar las soluciones del sistema.
Consideremos las operaciones con escalares reales:
Al comportarse los escalares igual que en los sistemas numéricos usuales, podemos sumar o restar matrices miembro a miembro sin alterar el conjunto de soluciones.
2. Algoritmo por Reducción
- Elegir la incógnita a eliminar ($$X$$ o $$Y$$).
- Multiplicar las ecuaciones por escalares adecuados para que los coeficientes de dicha incógnita sean opuestos.
- Sumar miembro a miembro ambas ecuaciones matriciales: la incógnita elegida se anula.
- Multiplicar la matriz resultante por el escalar inverso para despejar la primera incógnita.
- Sustituir en una de las ecuaciones originales para obtener la segunda incógnita.
Para resolver $$\begin{cases} X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$:
Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones: $$(X + Y) + (X - Y) = A + B \implies 2X = A + B \implies X = \frac{1}{2}(A + B)$$.
Restamos ambas ecuaciones: $$(X + Y) - (X - Y) = A - B \implies 2Y = A - B \implies Y = \frac{1}{2}(A - B)$$.
Ambas incógnitas quedan determinadas directamente mediante operaciones básicas entre $$A$$ y $$B$$.
3. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Resolver el sistema de ecuaciones matriciales en función de $$A$$ y $$B$$:
$$(2X + Y) + (X - Y) = A + B \implies 3X = A + B \implies X = \frac{1}{3}(A + B)$$
De la segunda ecuación: $$Y = X - B$$. Sustituyendo $$X$$:
$$Y = \frac{1}{3}(A + B) - B = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B - B = \frac{1}{3}A - \frac{2}{3}B = \frac{1}{3}(A - 2B)$$
Conclusión: $$\mathbf{X = \frac{1}{3}(A + B)}$$ y $$\mathbf{Y = \frac{1}{3}(A - 2B)}$$.
Enunciado: Hallar las matrices $$X$$ e $$Y$$ de dimensión $$2 \times 2$$ tales que:
$$4X - 2Y = 2 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 14 & 8 \end{pmatrix}$$
Dividiendo entre 5: $$\mathbf{X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$$.
De la primera ecuación: $$2Y = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} - X = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$.
Dividiendo entre 2: $$\mathbf{Y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$.
Conclusión: $$\mathbf{X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}$$ y $$\mathbf{Y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$.
Enunciado: Resolver el sistema $$\begin{cases} X + Y = A \\ AX - Y = B \end{cases}$$, sabiendo que $$(I + A)$$ es invertible:
$$X + AX = A + B \implies IX + AX = A + B \implies (I + A)X = A + B$$
$$X = (I + A)^{-1}(A + B)$$
$$Y = A - X = A - (I + A)^{-1}(A + B)$$
Conclusión: Solución analítica completa obtenida.