📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.5 Estudio de la inversa de una matriz dependiente de un parámetro

Discusión analítica de la existencia de matriz inversa según un parámetro real y cálculo explícito de la inversa para valores particulares (tipo EBAU).

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1. Metodología de Discusión Paramétrica

Uno de los ejercicios más clásicos en las pruebas de acceso a la universidad (EBAU) consiste en estudiar la invertibilidad de una matriz cuadrada cuyos coeficientes dependen de un parámetro real $$m$$ o $$k$$, y calcular la inversa para un valor concreto del parámetro.

Fase 1: Determinante paramétrico

Se calcula $$|A(m)|$$ y se factoriza el polinomio resultante en $$m$$.

Fase 2: Raíces del determinante

Se resuelve la ecuación $$|A(m)| = 0$$ para encontrar los valores críticos.

Fase 3: Redacción de la conclusión

• Si $$m \in \{\text{raíces}\} \implies |A(m)| = 0 \implies \mathbf{\nexists A(m)^{-1}}$$ (matriz singular).
• Si $$m \notin \{\text{raíces}\} \implies |A(m)| \neq 0 \implies \mathbf{\exists A(m)^{-1}}$$ (matriz regular).

📌 Ejemplo Concreto de Discusión Paramétrica Elemental:

Estudiemos para qué valores del parámetro real $$k$$ es invertible la matriz:

A(k) = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix}

1. Calculamos el determinante en función de $$k$$:

|A(k)| = k \cdot k - 2 \cdot 2 = k^2 - 4

2. Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2$$.

Conclusión: Para $$k \neq 2$$ y $$k \neq -2$$, $$|A(k)| \neq 0$$ y la matriz es invertible ($$\exists A(k)^{-1}$$). Si $$k = 2$$ o $$k = -2$$, $$|A(k)| = 0$$ y la matriz es singular.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada de Orden 2x2

Enunciado: Discutir la existencia de matriz inversa de $$A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & 9 \end{pmatrix}$$:

Paso 1: Determinante

$$|A| = 1(9) - m(m) = 9 - m^2$$

Paso 2: Raíces

$$9 - m^2 = 0 \iff m^2 = 9 \iff m = \pm 3$$

Conclusión:
• Si $$m = 3$$ o $$m = -3$$: $$|A| = 0$$, la matriz no admite inversa.
• Si $$m \neq 3$$ y $$m \neq -3$$: $$|A| \neq 0$$, la matriz es regular y admite inversa.

Ejemplo 2: Matriz 3x3 y Cálculo de Inversa para $$m = 2$$ (Tipo EBAU)

Enunciado: Dada $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$$, estudiar cuándo es invertible y calcular $$B^{-1}$$ para $$m = 2$$:

Paso 1: Determinante de $$B$$

$$|B| = 1(-m^2 - 3) - 1(0 - 4m) = -m^2 + 4m - 3$$

Paso 2: Resolver $$-m^2 + 4m - 3 = 0$$

$$m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies m_1 = 1, \quad m_2 = 3$$

Para todo $$m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}$$, la matriz $$B$$ es invertible.

Paso 3: Cálculo de la inversa para $$m = 2$$

Para $$m = 2$$: $$|B(2)| = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$.
$$B(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Adjunta traspuesta: $$(\text{Adj}(B))^t = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$.

Conclusión: Para $$m = 2$$, la matriz inversa es $$\mathbf{B(2)^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$$.

Ejemplo 3: Matriz con Parámetro en una Línea

Enunciado: Hallar para qué valores de $$k$$ es regular $$C = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$:

Paso 1: Determinante

$$|C| = k(1 - 3) - 1(1 - 2) + 2(3 - 2) = -2k + 1 + 2 = 3 - 2k$$

Paso 2: Ecuación $$|C| = 0$$

$$3 - 2k = 0 \iff k = \frac{3}{2}$$

Conclusión: La matriz $$C$$ admite inversa si y solo si $$\mathbf{k \neq \frac{3}{2}}$$.

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