📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz (Método de Gauss)

Algoritmo de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa mediante transformaciones elementales sobre la matriz ampliada (A|I).

▶ Ver Explicación Interactiva en Pizarra Digital

1. Fundamento Teórico de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una generalización del escalonamiento gaussiano que permite calcular la matriz inversa mediante operaciones elementales de fila aplicadas en paralelo a una matriz ampliada.

Esquema de la Matriz Ampliada

Se construye la matriz $$(A \mid I_n)$$ y se aplican operaciones elementales por filas hasta que la matriz del bloque izquierdo se transforme en la matriz identidad $$I_n$$:

(A \mid I_n) \xrightarrow{\text{Operaciones por filas}} (I_n \mid A^{-1})

Si en algún momento del proceso una fila del bloque izquierdo se anula por completo, significa que $$\text{rg}(A) < n$$, por lo que la matriz no es invertible.

📌 Ejemplo Concreto del Planteamiento Ampliado (A|I):

Para invertir la matriz $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$, se dispone la matriz ampliada agregando a su derecha la identidad $$I_2$$:

(M \mid I_2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \mid & 1 & 0 \\ 5 & 3 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}

Cualquier operación elemental que se realice para transformar el bloque izquierdo en $$I_2$$ se aplica simultáneamente al bloque derecho.

2. Protocolo de Ejecución

Fase descendente: Hacer ceros por debajo de la diagonal principal (escalonamiento).
Fase ascendente: Hacer ceros por encima de los pivotes empezando por la última fila.
Normalización: Si los pivotes no son $$1$$, dividir cada fila por su pivote correspondiente.

📌 Ejemplo Concreto de Fase Ascendente y Descendente en Gauss-Jordan:

Partiendo de $$(A \mid I) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}$$, donde la fase descendente ya está completada:

Aplicamos la fase ascendente restando 3 veces la fila 2 a la fila 1 ($$F_1 \leftarrow F_1 - 3F_2$$):

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 1 - 3(-2) & 0 - 3(1) \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 7 & -3 \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}

Al quedar la identidad a la izquierda, la matriz inversa es $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz de Orden 2x2

Enunciado: Invertir $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$$ mediante Gauss-Jordan:

Paso 1: Matriz ampliada inicial

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 3 & 7 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}

Paso 2: Cero bajo el pivote ($$F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1$$)

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \mid & -3 & 1 \end{pmatrix}

Paso 3: Cero sobre el segundo pivote ($$F_1 \leftarrow F_1 - 2F_2$$)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 7 & -2 \\ 0 & 1 & \mid & -3 & 1 \end{pmatrix}

Conclusión: $$\mathbf{A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$$.

Ejemplo 2: Matriz de Orden 3x3

Enunciado: Calcular la inversa de $$B$$ por Gauss-Jordan:

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Paso 1: Fase descendente

$$F_3 \leftarrow F_3 - F_1$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \mid & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$F_3 \leftarrow F_3 - F_2$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \mid & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Paso 2: Fase ascendente

$$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_3$$: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \mid & 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$
$$F_1 \leftarrow F_1 - F_3$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \mid & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$
$$F_1 \leftarrow F_1 - F_2$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Conclusión: $$\mathbf{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$.

Ejemplo 3: Detección Inmediata de Singularidad

Enunciado: Aplicar Gauss a la matriz $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$:

Paso 1: Operación de eliminación

$$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Conclusión: Al obtener una fila completa de ceros a la izquierda, es imposible llegar a la identidad $$\implies C$$ no tiene inversa.

← Anterior 1.4.2 Inversa por adjuntos Siguiente → 1.4.4 Propiedades de la inversa